陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 用数量积解题易错点分析素材 北师大版必修4

用数量积解题易错点分析
平面向量的数量积是高中数学的重要概念之一.在学习这一内容时,受实数运算性质的 影响,容易产生思维定势,如果进行简单的类比,则会产生知识上的负迁移.下面剖析几例 加以说明. 1. 忽视向量夹角的范围致错 例 1 若两向量 e1,e2 满足 e1 ? 2 , e2 ? 1 , e1,e2 的夹角为 60 ,若向量 2 t e1 ? 7e2 与向 量 e1 ? t e 2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 错解:设向量 2 t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e 2 的夹角为 ? ,由 ? 为钝角,知 cos ? ? 0 ,故
· e2 ? 7 t e22 ? 2t 2 ? 15t ? 7 ? 0 ,解得 ( 2 t e1 ? 7e2 )· ( e1 ? t e 2 )= 2 t e12 ? (2t 2 ? 7) e1

1 ?7 ? t ? ? . 2
分析:本题忘了排除 cos ? ? ?1 ,即排除两向量反向时 t 的值.

1 正解:由上面可知, ?7 ? t ? ? ,再设向量 2 t e1 ? 7e2 与向量 e1 ? t e 2 反向,则 2
2t e1 ? 7e2 ? k ( e1 ? t e 2 ) (k ? 0 ) ,
? 14 , ? 2t ? k, 14 ?t ? ? 从而 ? 解得 ? 时,两向量夹角为 π . 2 即当 t ? ? 2 ?7 ? tk, ? k ? ? 14. ?
?t

? 14 ? ? 14 1 ? 的取值范围是 ? . ? 7 , ? , ? ? ? ? ? ?? 2 ? 2? ? ? ? 2 ?

2. 乱用实数的运算性质致错
· BD 2 ? AB 4 ? AD 4 ,求 ?DAB 的度数. 例 2 已知平行四边形 ABCD 中, AC 2

错解:设 AB ? a , AD ? b ,则 AC ? a ? b , BD ? b ? a ,
· BD 2 ? (a ? b)2 · (b ? a)2 ? (b2 ? a 2 )2 ? a 4 ? b4 ? 2(a · b)2 ? a 4 ? b4 ? AB 4 ? AD 4 , 由 AC 2
· b ? 0 ,??DAB ? 90 . 故a

· n)2 ? (m)2 · (n)2 ,事实上, 分析:一般来说,对于向量 m,n , (m · n)2 ? (m)2 · (n)2 . (m · n)2 ? m · n cos2 ? ≤ (m)2 · (n2 ) ,而上述解答两次运用了等式 (m
1
2 2

正解:
AC 2 · BD 2 ? (a ? b)2 · (b ? a)2 ? (a 2 ? b2 ? 2a · b· ) (a 2 ? b2 ? 2a · b) ? (a 2 ? b2 )2 ? 4(a · b)2

? a 4 ? b4 ? 2a 2 · b2 ? 4(a · b)2 ? a 4 ? b4 ? AB 4 ? AD 4 .

? a ·b ? 1 ? 2a · b ? 4(a · b) ,则 ? ? , ?a b? ? 2 ? ?
2 2 2

2

? cos ?DAB ?

a ·b 2 . ?? a b 2

故 ?DAB 为 45 或 135 .

例 3 已知 a,b 都是非零向量,且向量 a ? 3b 与 7 a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7 a ? 2b 垂直,求

a 与 b 的夹角.
) (7a ? 5b) ? 0 , ① 错解:由题意可得 (a ? 3b· (a ? 4b· ) (7a ? 2b) ? 0 ,



· b ? 23b2 , ③ 将①,②式展开并相减,得 46a

1 因 b ? 0 ,故 a ? b , 2



1 2 b a ·b 2 1 1 2 2 将 a ? b 代入②,得 a ? b ,则 a ? b ,设 a 与 b 夹角为 ? , cos ? ? ? 2 ? , a b 2 2 b
0 ≤? ≤180 ,故 ? ? 60 .

分析:上面解法从表面上看结果是正确的,但认真分析就会发现,上面解法中有一个原 则性的错误,即由③得出④.前式的两端均为实数,而后式的两端均为向量,我们并没有学 过向量除法,即使 b ? 0 ,也不能随便约去,这是实数运算与向量运算的重要区别之一.
· b ? 23b2 , 2a · b ? b2 , 正解:由上面解法,有 46a

· b ? b 2 代入①或②均可得: a 2 ? b 2 ,则 a ? b . 将 2a

设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? ?
0 ≤? ≤180 ,故 ? ? 60 .

a ·b 1 ? . a b 2

3. 忽略共线向量致错
b ?3 , c ?6, 例 4 已知同一平面上三向量 a,b,c , 两两向量所成的角皆相等. 且 a ? 2,
2

求 2a ? 3b ? 6c 的值. 错解:易知 a,b,c 皆为非零向量,设 a,b,c 两两所成的角都为 ? ,则 3? ? 360 , 故 ? ? 120 ,
?a · b ? a b cos120 ? ?3 .
· c ? ?9 , c · a ? ?6 . 同理, b

由 2a ? 3b ? 6c ? 4a2 ? 9b2 ? 36c2 ? 2(6a · b ? 18b · c ? 12c · a) ? 889 ,

2

? 2a ? 3b ? 6c ? 889 .
分析:上述解法只考虑到了一种情况,还应考虑当向量 a,b,c 共线同向时,两两向量 所成角都为 0 ,同样符合题意,此时 2a ? 3b ? 6c ? 2 a ? 3 b ? 6 c ? 49 .

4. 混淆向量平行与线段(直接)平行致错 例5
1) B(1 ,, 0) C (1 ,, 2) D(2, 1) .求证: AB ∥ CD . 已知点 A(0,,

错证:

AB ? (1 , ? 1), CD ? (1 , ? 1) ,

又 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 ? 0 ,
? AB ∥ CD ,? AB ∥ CD .

分析:此题错误的原因是混淆了向量的平行和线段(直线)的平行.平行向量是方向相 同或相反的向量. 所以,A,B,C,D 四点共线时,AB 与 CD 仍为平行向量, 但此时线段 AB 与 CD 不平行,因为线段(直线)的平行不包括重合的情况,所以此题的正确证法,应在原 证法基础上添加: 又
AB ? (1 , ? 1) , AC ? (11) , ,而 1? 1 ? (?1) ? 1 ? 0 .

? AB 与 AC 不平行.
? A,B,C 三点不共线.? AB ∥ CD .

3


相关文档

陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 一元二次不等式解法典型例题素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 向量在中学数学中的应用例题讲解素材 北师大版必修4
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 三角恒等变形公式汇总典例剖析素材 北师大版必修4
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 简单的线性规划问题知识汇总素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 基本不等式知识汇总素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 不等关系与不等式1典型例题素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 例谈回归分析的应用素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 回归分析注意问题两例素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 统计案例 例析回归分析思想素材 北师大版选修1-2
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 复数的概念要点解读素材 北师大版选修1-2
电脑版