示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 探究案例

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探究案例——钢琴与指数曲线 整体设计 教材分析 本节是 《函数概念与基本初等函数Ⅰ 的附加内容, 》 教材在编写时有意设计了这一内容, 目的是为了让学生从生活中抽象出数学问题并用数学方法来解决. 数学是人类生活的工具, 对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点去领悟, 更 要从数学活动的亲身实践中去体验, 这充分说明了数学来自生活又运用于生活, 数学与人们 的生活经验存在着密切的联系.如何把数学教学生活化,把学生的生活经验课堂化,化抽象 的数学为有趣、生动、易于理解的事物,让学生感受数学其实是源于生活且无处不在的,了 解数学的学习就是建立在日常生活中, 学习数学是为了更好地解决生活中存在的问题, 更好 地体现生活,这应当是当前数学教学改革重要的课题之一. 教材先简单介绍了音乐中音高与频率以及频率与琴弦长度的关系, 建立了琴弦长度与音 高的函数关系,得到了琴弦长度恰好是指数曲线这一结论,对具体的音高、频率等音乐和物 理的知识,则不要拓展加深.为了提高学生的学习兴趣,开始时可以通过优美的钢琴曲引入 课题, 也可以通过学生感兴趣的其他问题来引入, 这些引入的情境都要是学生熟悉和感兴趣 的生活中的例子. 三维目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式,初步体会应用函数模型解决实际问题. 2.感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数模型在数学学科和其他学科的沟 通中的重要性. 3.体会运用函数思想来处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值, 使学生体会到生 活中处处有数学. 重点难点 教学重点: 把生活中的问题抽象成数学问题. 教学难点: 建立合理的数学模型. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 设计思路一(情境景导入) 播放一段优美的钢琴曲…… 我们发现, 在大型音乐会或者演出时所使用的钢琴基本上都是三角形的, 专业人士称之 为“三角钢琴”(见课本 89 页图 1), 那为什么要把钢琴制造成三角形?是为了美观还是音质的 需要? 设计思路二(事例导入) 现在我们来玩一下我们童年时大多都玩过的一个小游戏:把一根钢锯条插入桌子的缝 隙,再用手拨动它,我们会听到钢锯条发出声音.如果我们要让声音变得低沉或者高昂一些, 应该怎么办?是不是让钢锯条的振动幅度(振幅)变小?(学生试验)改变振幅只能改变音量的 大小而无法改变音调的高低.当我们把钢锯条插入得深一些的时候,会发现发出的声音的音 高变高了, 插入浅一些的时候音高就变低了.这说明音调的高低(即音高)由钢锯条的长度来决 定,根据物理学原理,钢锯条的长度影响的是振动的频率,所以音高是由频率决定的,而音 量是由振幅决定的.

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这个钢锯条其实可以看作一种最简单的“乐器”, 大多数乐器的发声原理其实和这个小实 验的原理是一样的,譬如大家都熟悉的钢琴就是这样一种“击弦乐器”. 推进新课 新知探究 钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声的键盘乐器.若是就发声原理来说,钢琴应该是属于 “击弦乐器”.从左往右逐个试弹所有琴键,我们听到琴声逐渐由低到高,这是因为琴声的高 低与琴弦振动的频率有关,而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关.粗略地说,琴弦长则振 动慢,频率小,故发出的声音低;琴弦短,则振动快,频率大,故发出的声音高. 阅读:课本 89 至 90 页内容. 生活中到处都有数学, 我们要学会用数学的眼光观察世界, 用数学这一强大的工具发现 自然界的奥秘. 为什么专业演出的钢琴都是三角形的?看看课本第 90 页图 2 即会明白了.图中那些虚线 就代表钢琴中的琴弦,为了提高音质,这些琴弦都要安装在一个共鸣箱中,所以钢琴比较合 适的外形就应该是三角形的. 同学们还能找出一些三角形的乐器吗? 此外, 还有很多乐器虽然外观不是三角形的, 但是也是通过琴弦的长度不同演奏出不同 的旋律,例如大家十分熟悉的琵琶、二胡、古筝等民族乐器以及小提琴、吉他等西洋乐器. 当然,在我们的日常生活中,还有许多事例都与数学有关,或者说可以用数学知识来解决生 活中的问题. 应用示例 例题 心理学家研究发现: 一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化. 讲课开始时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态, 随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力 y 随时间 t 的变化规律有如下 关系式:

?? t 2 ? 24t ? 100, (0 ? t ? 10), ? y= ?240, (10 ? t ? 20), ?? 7t ? 380, (20 ? t ? 45). ?
(1)讲课开始后第 5 分钟时与讲课开始后第 25 分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (3)一道数学综合题, 需要讲解 24 分钟, 为了效果较好, 要求学生的注意力最低达到 180, 那么经过适当安排, 老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?如果不能讲 解完,说明理由;如果能够讲解完,请说明老师应该在哪个时间段内讲解. 解:(1)讲课开始后第 5 分钟时,t=5,注意力 y=-52+24× 5+100=195, 讲课开始后第 25 分钟时,t=25,注意力 y=-7× 25+380=205, 所以讲课开始后第 25 分钟时学生的注意力更集中. (2)由于函数 y=-t2+24t+100 的对称轴为直线 t=12,所以当 0<t≤10 时单调递增,所以当 t=10 时 y 取得最大值 240, 又当 10<t≤20 时 y=240, 又由于函数 y=-7t+380 在 20<t≤45 时单调递减,所以当 t=20 时 y 取得最大值 240, 因此讲课开始后 10 分钟,学生的注意力最集中,能持续 20-10=10 分钟. (3)由题意,学生的注意力 y 关于时间 t 的函数图象如下图所示:

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由于讲解这道数学综合题需要学生的注意力最低达到 180, 所以图象中在直线 y=180 上 方(或上)的部分符合要求, 由-t2+24t+100=180,得 t=4 或 t=20(舍去), 由-7t+380=180,得 t≈28.57, 因为 28.57-4>24, 所以老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目, 具体安排应该在讲课开始 后第 4 分钟到第 28.57 分钟内讲解. 知能训练 请同学们寻找一些生活中的问题,并用数学的方法来解决. 分析:这里要求教师有扎实的基本功,以免被学生提出的问题左右了思维,对学生提出 的过于复杂或者目前难以解决的问题,教师应该及时修改,把问题简单化,同时又趣味化. 如果学生一时无法提出问题,老师应该及时提示,引导学生向正确的方向思考. 点评: 本题意在使学生明了学习数学是为了更好地解决生活中存在的问题, 更好地体验 生活,让学生体会数学就在他们身边,数学就在他们的生活中,生活中处处有数学. 课堂小结 生活离不开数学,数学离不开生活,数学知识来源于生活,而最终服务于生活.因此, 在我们的日常生活中, 应该经常注意发现, 有些实际问题其实用数学的方法来解决有时是比 较方便的. 作业 根据水费问题的分析,回家搜集自家水费收据并计算人均月用水量,回来进行比较后, 评选家庭“节约用水模范户”,并请同学们互相介绍节水小窍门. 设计感想 “兴趣是最好的老师.”在我们的生活中,到处都充满着数学,教师在教学中要善于从学 生的生活中抽象数学问题.在平时教学活动中,我们应该十分重视学生已有的生活经验,设 计学生感兴趣的生活素材以丰富多彩的形式展现给学生,激发学生的求知欲望. 数学教学要紧密联系学生的生活实际, 从学生的生活经验和已有的知识出发, 创设生动 有趣的情境,引导学生从数学角度去观察事物、思考问题,发展学生的思维能力,让学生体 验学习数学的乐趣、感悟数学的作用.生活离不开数学,数学离不开生活,数学知识来源于 生活,而最终服务于生活.对于函数这一类抽象的数学问题,如果我们在教学过程中能够经 常和日常生活联系,在生活中找到数学的原型,又把数学寓于生活中,使学生觉得数学并不 是枯燥乏味的,并逐渐使学生对数学产生兴趣,则可以为学生的终身可持续发展打好基础. 让数学贴近生活,让学生发现生活中处处有数学是我们数学教学的一个目标. 生活是数学产生的根源.数学教学只有注入数学知识的生活源泉,才会激发起学生的真 情实感,才会使课堂充满生机活力.教师应该引导学生善于发现生活中的数学问题,启发学 生运用数学知识解决生活中的问题.

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