2013-2014版高中数学 1.4.1&1.4.2 全称量词与存在量词课件 新人教A版选修2-1_图文

1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词

一、全称量词与全称命题 全称量词 所有的 ” 短语“_______ “任意一个”在 逻辑中通常叫做 全称量词,并用符 号“___ ? ”表示 全称命题 全称量词 含有_________ 的命题叫做全 称命题 符号表示 符号简记为: ?x∈M,p(x) ____________ 任意 读作:对_____x 属于M,有p(x) 成立 _____

思考:全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?
提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示

几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表
示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小

于0”,可以表示为“?x∈N,x≥0”.

二、存在量词与特称命题 存在量词 短语“_________ 存在一个 ” “至少有一个”在 逻辑中通常叫做存 在量词,并用符号 ? ”表示 “___ 含有_________ 存在量词 的命题叫做特 称命题 特称命题 符号表示 符号简记为:

______________ ?x0∈M,p(x0),
读作:“存在M中的元 素x0,使p(x0)_____ 成立 ”

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )

(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在 性”.( )

(3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量 词.( )

提示:(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故说

法是错误的.
(2)结合全称量词和存在量词的含义知 ,这种说法是正确的.

(3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具
备“任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命

题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误
的.

答案:(1)× (2)√

(3)×

【知识点拨】 1.全称命题及其真假的判断方法

(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命
题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语

是“都”.

(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是 实数”,就是“所有的有理数都是实数”. (3)要判断全称命题“?x∈M,p(x)”为假命题,只需要在集合M 中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立即可;要判断全称命题为 真命题,必须对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.简单地 说,判断全称命题真假的步骤为“先找反例后证明”.

2.特称命题及其真假的判断方法 (1)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种 性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等. (2)要判断特称命题“?x0∈M,p(x0)”为真命题,只需要在集 合M中找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为 假命题,必须说明集合M中不存在元素x0,使得p(x0)成立.简单 地说,判断特称命题真假的步骤为“先找正例后证明”.

类型 一

全称命题的构成与真假判断

【典型例题】 1.(2013·聊城高二检测)下列是全称命题且是真命题的 是( ) B.?x∈Q,x2∈Q D.?x,y∈R,x2+y2>0

A.?x∈R,x2>0 C.?x0∈Z,x02>1

2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假: (1)x2+2x+3≥2. (2)负数都没有对数. (3)终边相同的角的正弦值相等. 【解题探究】1.全称命题的形式是什么? 2.判断全称命题真假的方法是什么?

探究提示: 1.全称命题的一般形式为“?x∈M,p(x)”. 2.若某一集合存在不满足某一性质的反例 ,则全称命题是假命

题,不存在反例,就是真命题.
【解析】1.选B.由于x=0时,x2=0,故A假;任意有理数的平方都 是有理数,故B真;选项C为特称命题;由于,当x=y=0时,x2+y2=0, 故D假.综上所述,选B. 2.(1)?x∈R,x2+2x+3≥2.x2+2x+3=(x+1)2+2≥2.真命题. (2)所有的负数都没有对数.真命题. (3)所有终边相同的角的正弦值相等.真命题.

【拓展提升】全称命题的形式定义与真假判断
(1)全称命题的统一形式为“?x∈M,p(x)”,?表示“任 意”“所有”等量词,集合M表示给定的范围,p(x)表示某一性 质. (2)判断全称命题的真假,可以先找反例,若找到一个反例,说 明全称命题是假命题,若找不到反例,就可以尝试证明命题是 真命题.

【变式训练】1.“?x∈Z,2x+1都是奇数”是
真、假).

命题(填

2.用全称量词把下列语句写成全称命题,并判断真假:
(1)sin2x=2sinxcosx.

(2)三角形有外接圆.
(3)非负实数有两个偶次方根.

【解析】1.“?x∈Z,2x+1都是奇数”是真命题. 答案:真 2.(1)?x∈R,sin2x=2sinxcosx.真命题. (2)任意三角形都有外接圆.真命题. (3)所有的非负实数都有两个偶次方根 .假命题.

类型 二

特称命题的构成与真假判断

【典型例题】

1.特称命题“?x0∈R, x02<x0”是

命题(填真、假).

2.用存在量词将下列语句写成特称命题,并判断真假: (1)2sinx0=3能成立. (2)素数也可以是偶数. (3)公比大于1的等比数列可以是递减数列.

【解题探究】1.题1中使不等式成立的未知数的范围是什么?

2.特称命题的形式是什么?
探究提示:

1.不等式化为x0(x0-1)<0,即0<x0<1,故不等式成立.
2.特称命题的一般形式为“?x0∈M,p(x0)”.

【解析】1.由于“当0<x0<1时,x02<x0成立”,所以特称命题
“?x0∈R,x02<x0”是真命题.

答案:真
2.(1)?x0∈R,2sinx0=3.假命题. (2)有的素数是偶数.真命题. (3)存在公比大于1的等比数列是递减数列.真命题.

【拓展提升】特称命题的形式定义与真假判断 (1)特称命题的统一形式为“?x0∈M,p(x0)”,“?”表示“存 在”“至少有一个”等量词. (2)判断特称命题的真假,可以先找满足性质的元素,若找到一 个元素,说明特称命题是真命题,若找不到,就是假命题.

【变式训练】1.“?x0∈N,x0是奇数且是合数”是 题(填真、假). 2.用存在量词将下列语句写成特称命题,并判断真假: (1)奇函数也可以是偶函数. (2)不是每一个四边形都有外接圆.



【解析】1.“?x0∈N,x0是奇数且是合数”是真命题. 答案:真 2.(1)存在函数既是奇函数又是偶函数,如f(x)=0,x∈R,真命 题. (2)有的四边形没有外接圆.真命题.

类型 三

含有一个量词的命题及其综合应用

【典型例题】 1.若“?x0∈R,x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m的取值范围 是 .

2.已知命题p:“?x0∈R,sinx0<m”,命题q:“?x∈R, x2+mx+1>0恒成立”,若p∧q是真命题,求实数m的取值范围.

【解题探究】1.一元二次方程有实根的条件是什么?是否可以

利用函数y=x2+2x+2的图象解答?
2.题2中p,q的真假如何?

探究提示:
1.利用关于x的一元二次方程有实根的充要条件 (判别式Δ≥0)

解决.也可以采用数形结合的思想将题目转化为y=x2+2x+2的
图象与直线y=m有公共点. 2.命题p,q都是真命题.

【解析】1.方法一:由于“?x0∈R,x02+2x0+2=m”是真命题,则 实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域,即 {m|m≥1}. 方法二:依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解, ∴Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1. 答案:[1,+≦)

2.由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题. 因为“?x0∈R,sinx0<m”是真命题,所以m>-1. 又因为“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命题, 所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2. 综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).

【互动探究】若题2变为:已知命题p:“?x∈R,sinx<m”,命题
q:“?x0∈R,x02+mx0+1≤0”,若p∧q是真命题,如何求实数m的

取值范围?
【解题指南】转化为正弦函数的最大值以及判别式的符号解

题.

【解析】由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.
因为“?x∈R,sinx<m”是真命题,所以m>1. 又因为“?x0∈R, x02+mx0+1≤0”是真命题,所以 Δ=m2-4≥0,解得m≤-2或m≥2. 综上所述,实数m的取值范围是[2,+≦).

【拓展提升】能成立与恒成立问题的解法
(1)若含有参数的方程能成立,求参数的取值范围一般转化为

求函数的值域.
(2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立,则

f(x)min≤m;若不等式f(x)≥m在区间D上能成立,则f(x)max≥m.

(3)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则 f(x)max≤m;若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立, 则f(x)min≥m. (4)特称命题是真命题,可以转化为能成立问题,全称命题是真 命题,可以转化为恒成立问题解决.

【易错误区】应用函数与方程思想时忽视变量的取值范围致 误 【典例】若?x0∈R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则实数a的取值范围 是 .

【解析】依题意,若?x0∈R,使cos2x0+2sinx0+a=0,则得

a=-cos2x0-2sinx0=2sin2x0-2sinx0-1=2(sinx0- 1 )2- 3 , 2 2 1 2 3 令t=sinx0,则a=2(t- ) ,-1≤t≤1①. 2 2 1 由于函数a(t)在-1≤t≤ 1 上单调递减,在 <t≤1上单调递增, 2 2 所以当t= 1 时,取最小值a=- 3 ;当t=-1时,取最大值a=3. 2 2 3 所以- ≤a≤3. 2 故当- 3 ≤a≤3时满足条件,所以a的取值范围是[- 3 ,3]. 2 2 答案:[- 3 ,3] 2

【误区警示】

【防范措施】
重视函数与方程思想的应用 函数与方程的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函 数的性质,解决有关求值、解方程、解不等式以及讨论参数的 取值范围等问题;二是在解题中通过构造函数,把所研究的方 程问题或不等式问题转化为讨论函数的有关性质问题 .本例就 是将方程有解的问题转化为三角函数的值域求解的 ,其中,通

过换元法转化为二次函数在闭区间上的值域,一定要注意中间
变量的取值范围.

【类题试解】若不等式t2-2at+1≥sinx对一切x∈[-π ,π ]及 a∈[-1,1]都成立,则t的取值范围是 .

【解析】因为x∈[-π,π],所以sinx∈[-1,1],于是由题意可

得对一切a∈[-1,1]不等式t2-2at+1≥1恒成立.
由t2-2at+1≥1得2t·a-t2≤0.

令f(a)=2t·a-t2,则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数,
当t=0时,显然f(a)≤0成立,

当t≠0时,要使f(a)≤0在a∈[-1,1]上恒成立,

2 2 ? f 1 ? 2t ? t ? 0, ? ? ? t ? ? 2t ? 0, 则 ? 即 ? ?2 2 ? ? ? t ? 2t ? 0, ?f ? ?1? ? ?2t ? t ? 0,

解得t≤-2或t≥2. 故t的取值范围是t≤-2或t=0或t≥2. 答案:t≤-2或t=0或t≥2

1.下列全称命题是真命题的是(
A.实数都有倒数

)

B.自然数都是正整数

C.小数都是有理数

D.无理数都是无限不循环小数

【解析】选D.由于0没有倒数,故A错误;由于0不是正整数,故B

错误;由于无限不循环小数是无理数,故C错误,D正确.

2.下列命题是全称命题的个数是(
①任何实数都有平方根;

)

②所有的素数都是奇数;
③有的等差数列也是等比数列;

④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选D.命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每
一个三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题.

3.下列特称命题是假命题的是(

)

A.?x0∈R,sinx0=cosx0
B.?x0∈R,sinx0>cosx0

C.?x0∈R,sinx0+cosx0=2
D.?x0∈R,sinx0+cosx0=sinx0cosx0

【解析】选C.当x0= ? 时,sinx0=cosx0,A正确; 4 当x0= ? 时,sinx0>cosx0,B正确; 2 ? 由于sinx0+cosx0= 2 sin(x0+ )≤ 2 ,故C错误; 4 令t=sinx0+cosx0= 2 sin(x0+ ? ),则- 2 ≤t≤ 2 , 42 t ?1 sinx0+cosx0=sinx0cosx0,即t= ,得t2-2t-1=0, 2 解得t=1- 2 ,或t=1+ 2(舍去).D正确.

4.特称命题“有些向量的坐标等于其终点的坐标”是 命题(填“真”或“假”). 【解析】当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标等于其终点 的坐标. 答案:真

5.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是

.

【解析】对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,∴a≤3.

答案:(-≦,3]

6.若存在x0∈R,使ax02+2x0+a<0成立,求实数a的取值范围.
【解析】当a≤0时,显然存在x0∈R,使ax02+2x0+a<0;

当a>0时,必须Δ=4-4a2>0,解得-1<a<1,故0<a<1.
综上所述,实数a的取值范围是(-≦,1).


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