2015届高考数学总复习第六章 第九节数学归纳法课件 理_图文

第六章 第九节 数学归纳法 探索、归纳、猜想与证明 【例1】 如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0 <y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai, 0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形 (A0是坐标原点). (1)写出a1,a2,a3; (2) 求出点 An(an,0)(n∈N*) 的横坐标 an 关于 n 的表达式并证 明. 自主解答: 解析:(1)由题意解得a1=2,a2=6,a3=12. an-1+an an-an-1 (2)依题意,得xn= 2 ,yn= 3· 2 , 由此及y2 xn得 n=3· ? ? ? an-an-1?2 3 3· 2 ? =2(an+an-1), ? 即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*). 下面用数学归纳法予以证明: ①当n=1时,命题显然成立. ②假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即有ak=k(k+1), 则当n=k+1时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1), 2 得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1],即a 2 k+1 -2(k +k+ 1)ak + 1 + [k(k - 1)]· [(k + 1)(k + 2)] = 0 ,解得 ak + 1 = (k + 1)(k + 2)(ak+1=k(k-1)<ak不合题意,舍去),即当n=k+1时,命题 也成立.由①②可知,命题成立. 点评:解“归纳——猜想——证明”题的一般步骤:(1) 准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础; (2) 通 过观察、分析、比较、联想,猜出一般结论; (3) 用数学归 纳法证明猜想的正确性. 变式探究 1.在数列{an}中,a1=tan x,an+1= 1+an . 1-an (1)写出a2,a3,a4; (2)猜想{an}的通项公式,并加以证明. ?π ? 1+tan x 解析:(1)a2= =tan?4+x?, 1-tan x ? ? ?π ? 1+tan?4+x? ? π ? ? ? +x?, a3= =tan?2· ?π ? 4 ? ? ? ? 1-tan 4+x ? ? ? π ? +x?. a4=tan?3· 4 ? ? ? (2)猜想:an=tan? ? π ? ?. + x (n-1)· 4 ? 下面用数学归纳法证明之. ①当n=1时,显然成立; ②假设n=k(k≥1,k∈N*)时猜想正确, ? 即ak=tan? ? π ? ? (k-1)· 4+x?. 则当n=k+1时, ? ? 1+ak 1+tan? ak+1= = ? 1-ak 1-tan? ? ?π =tan?4+ ? ? =tan? ? π ? ? (k-1)· 4+x? π ? ? (k-1)· 4+x? π ? ? (k-1)· 4+x? π ? ? (k+1-1)· 4+x?,猜想也正确. * 由①,②知对任何n∈N ?π ? ,an=tan?4?n-1?+x?都正确. ? ? 用数学归纳法证明恒等式 【 例 2】 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 12 + 22 + … + n2 = n?n+1??2n+1? (n∈N*). 6 思路点拨:明确初始值n0的取值并验证n=n0时命题的 真假( 必不可少 ) ,“假设n=k时命题正确 ”并写出命题形 式.分析“n=k+1”时命题是什么,并找出与“n=k”时命 题形式的差别,并弄清左端应增加的项. 自主解答: 解析:(1)当n=1时,左端=1, 1×?1+1??2+1? 右端= =1,左端=右端,等式成立. 6 (2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立, k?k+1??2k+1? 即1 +2 +?+k = . 6 2 2 2 当n=k+1时,12+22+?+k2+(k+1)2= k?k+1??2k+1? ?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] 2 +(k+1) = . 6 6 所以,当n=k+1时,等式仍然成立. 由(1),(2)可知,对于一切n∈N*等式恒成立. 点评:用数学归纳法证明恒等式时应注意:明确初始 值n0的取值并验证n=n0时命题的真假(必不可少).“假设 n=k时命题正确”并写出命题形式.分析“n=k+1”时命 题是什么,并找出与“ n = k” 时命题形式的差别.弄清左 端应增加的项,明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形 常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.可 明确为:两个步骤、一个结论;递推基础不可少,归纳假 设要用到,结论写明莫忘掉. 变式探究 2.用数学归纳法证明:对任意的n∈N*, 1 n + = . ?2n-1??2n+1? 2n+1 1 1 + +? 1×3 3×5 1 1 证明:(1)当n=1时,左边= = , 1 ×3 3 1 1 右边= = ,左边=右边,等式成立. 2×1+1 3 (2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立, 1 1 1 k 即有 + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 1 1 则当n=k+1时, + +? 1×3 3×5 1 1 + + ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? k?2k+3?+1 k 1 = + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立. 用数学归纳法证明不等式 【例3】 (2013· 徐州模拟)已知数列{an}中,1<a1<2,an+1 1 2 =1+an-2an(n∈N*),求证: ?1

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