专题3.3.2 函数的极值与导数 2017-2018学年高二数学人教版(选修1 1) Word版 含解析

第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (2016 四川文)已知 a 为函数 f ( x) ? x3 – 12 x 的极小值点,则 a ? A.–4 C.4 【答案】D B.–2 D.2 2.设函数 f ( x) ? xe x ,则 A.x=1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 【答案】D 【 解 析 】 本 题 考 查 函 数 的 极 值 点 . 由 题 意 得 f ?( x) ? ex ( x ? 1) , 令 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?1 ; 令 B.x=1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,所以 f ( x) 在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1, ??) 上单调递增,所以 x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点.故选 D. 3.设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图象如图所示,则下列结论中 一定成立的是 A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) 【答案】D B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【解析】由函数的图象可知, f ?(?2) ? 0 , f ?(2) ? 0 ,并且当 x ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? 2 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 有极大值 f (?2) .又当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,则 函数 f ( x) 有极小值 f (2) .故选 D. 4.函数 f ( x) ? A. 0 ? b ? 1 C. ?1 ? b ? 1 【答案】C 1 3 1 x ? (2b ? 1) x 2 ? b(b ? 1) x 在 (0, 2) 内有极小值,则 3 2 B. 0 ? b ? 2 D. ?1 ? b ? 2 5.设函数 f ( x ) ? ln x ? A. (?1, 0) 1 2 ax ? bx ,若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,则实数 a 的取值范围为 2 B. (?1, ??) D. (0, ??) C. (??, ?1) ? (0, ??) 【答案】B 【解析】 f ( x ) ? ln x ? 1 2 1 ax ? bx 的定义域为 (0, ??) , f ' ( x) ? ? ax ? b ,由题意可知 f ' (1) ? 0 ,即 2 x 1 (ax ? 1)( x ? 1) b ? 1 ? a ,? f ' ( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? .①若 a ? 0 ,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 x x 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减,所以 x ? 1 是 f ( x) 的极大值点.②若 a ? 0 ,则由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ? 1 . ? x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点, a 1 ? 1 ,解得 ? 1 ? a ? 0 .综合①②可得,实数 a 的取值范围是 (?1, ??) .故选 B. a a x 6.已知 a ? R ,若 f ( x) ? ( x ? )e 在区间 (0,1) 上只有一个极值点,则实数 a 的取值范围为 x ?? A. (0, ??) C. (1, ??) 【答案】A 【解析】由题易得 f ?( x) ? e x ( B. (??,1] D. (??, 0] x3 ? x 2 ? ax ? a ) ,设 h( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a ,则 h?( x) ? 3x2 ? 2 x ? a , 2 x 当 a ? 0 时, h?( x ) ? 0 在 (0,1) 上恒成立,即函数 h( x) 在区间 (0,1) 上为增函数,而 h(0) ? ?a ? 0 , h(1) ? 2 ? 0 ,则函数 h( x) 在区间 (0,1)上有且只有一个零点 x0 ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 (0, x0 ) 上, f ?( x ) ? 0 ,在 ( x0 ,1) 上 f ?( x) ? 0 ,故 x ? x0 为函数 f ( x) 在 (0,1) 上唯一的极小值点; 当 a ? 0 时, h?( x ) ? 3x2 ? 2x ? 0在区间 (0,1) 上恒成立,则函数 h( x) 在 (0,1) 上为增函数,又此时 h(0) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 在区间 (0,1) 上为单调递增函数,所以 f ( x) 在区间 (0,1) 上无极值; 当 a ? 0 时, h( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a ? x3 ? x 2 ? a(x ? 1),因为 x ? (0,1) ,所以总有 h( x ) ? 0 成立,即 f ?( x) ? 0 成立,故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上为单调递增函数,所以函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上无极值. 综上, a ? 0 ,故选 A. 二、填空题:请将答案填在题中横线上. 7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是______________

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