必修1第一章集合与函数 §1.1.2 集合间的基本关系

第2讲 § 1.1.2 集合间的基本关系 一、知识要点: 1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有包 含关系, 其中集合 A 是集合 B 的子集(subset) , 记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作 “A 含于 B” (或“B 包含 A”) . 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 A ? B(或B ? A) B A B A 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即集合 A 与集合 B 的元 素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 即 A ? B ? ? ?A ? B ?B ? A 3. 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记作 A ? B(或 B ? A ) . ? 4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,规定:空集是任何集合的子集,即 ? ? A;空集是任 何非空集合的真子集,即 ? A(A≠ ? ). 5. 子集性质: 1 A ? A ;○ 2 若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ;③若 A ? B ? A ,则 A ? B ;④若 A ? B ? A ,则 B ? A . ○ 6、理解子集、真子集概念的注意点 (1)集合 A 是集合 B 的子集不能理解为集合 A 是由集合 B 的部分元素组成的, 有以下三种情况: A 是空集; A 是由 B 的部分元素组成的集合;A 是由 B 的全部元素组成的集合. (2)若 A ? B,则集合 A、B 的关系可细分为“真子集”、“相等”两种:若 A ? B,且至少存在一个元素 b ? B,b ? A,则 A B;若 A ? B,且 B ? A,则 A=B, 7、辨清五大关系 (1)元素与集合的关系:给出一个元素与给定的集合之间只有“属于”、“不属于”两种关系,分别用 “ ? ”和“ ? ”表示,体现的是“个体与集体的关系”. (2)集合与集合之间的关系:给定两个集合,它们之间的关系有“子集关系” 、 “非子集关系”两种,分 别用符号“ ? ”和“ ”表示,体现的是“集体与集体的关系”. (3){0}与 ? 的关系:{0}是含有一个元素 0 的集合, ? 是不含任何元素的集合 (4)a 与{a}的关系 (5) ? 与{ ? }的关系 8.子集、真子集的相关结论 (1)任何集合都是它自身的子集,但不是它自身的真子集;空集是任何集合的子集,且是任何非空集合 的真子集.对于含参集合 A,若 A ? B,则需考虑 A= ? 和 A≠ ? 两种情况,解题时应特别注意. (2)对于含有 n 个元素的有限集合,它的子集个数为 2 ,真子集个数为 2 -1,非空子集个数为 2 -1,非 n 空真子集个数为 2 -2. 二、例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空: (1){x|x 是菱形} {x|x 是平行四边形};{x|x 是等腰三角形} {x|x 是等边三角形}. 2 (2) ? 0 {0}; {0}; N {0}. {x ? R | x ? 2 ? 0; } ? 解: (1) , ; (2)=, ∈, , . n 1 【例 2】 设集合 A ? {x | x ? , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} , 则下列图形能表示 A 与 B 关系的是 ( ) . 2 2 A B B A n n n ? 1 A B A B A. B. C. D. 3 1 1 3 3 1 1 3 解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , B ? {???, ? , ? , , , ???} , 2 2 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 易知 B A,故答案选 A.另解:由 B ? {x | x ? , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2 【例 3】若集合 M ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值. ? ? 解:由 x ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? . 2 (i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; 1 1 1 1 1 (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . a a a 2 3 1 1 故所求实数 a 的值为 0 或 或 ? . 2 3 点评:在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 从而需要分情况 讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值. ?a ? b ? ax 解:若 ? ? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1. 2 a ? 2 b ? ax ? 当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. ?a ? b ? ax 2 1 若? 所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x≠1, 所以只有 x ? ? . ? 2ax2-ax-a=0.因为 a≠0, 2 ?a ? 2b ? ax 1 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ? . 2 点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合. 【例 5】已知集合 A ? ?x ?1 ?

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