襄阳五中2017届高三第三次适应性考试数学(理)试题

襄阳五中 2017 届高三第三次适应性考试 数学(理科)试题

9. 运行如下程序框图,如果输入的 t ??0,5? ,则输出 S 属于( 是 输入 t 开始 t ? 2? S ? t 2 ? 4t 否 222 A. ? ?4,10?

) 输出 S 结束

3

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的) . 1. 设集合 A ? {x | log2 ( x ? 1) ? 2} , B ? y y ? 16 ? 2x ,则 ?R A ? B ? ( A.

F

? 0,3?
2017

B.

?0, 4?

?

C. ?3, 4 ?

?

?

?



D.

? ?1,3?
5 ? 2i ( i 是虚数单 z1

B. ? ?5, 2? C. ? ?4,3? D. ? ?2,5? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 10.已知向量 OA ? 3 , OB ? 2 ,OC ? mOA ? nOB , 若 OA 与 OB 的夹角为 60° , 且 OC ? AB , 则实数 A.

2

S ? 5t

2

2

2. 已知复数 z1 ? a ? 5i 在复平面上对应的点在直线 5x ? 2 y ? 0 上,复数 z ?

m 的值为( n

) B. D. 4

A

2

?( ) 位) ,则 z A. 1 B. ? 1 C. ? i 2 3. 若 tan ? ? 2 ,则 2cos 2? ? 3sin 2? ? sin ? 的值为(
A.

D. i )

2 2 B. ? C. 5 D. ? 5 5 5 4. 在 x ?? 4,6? , y ??2, 4? 内随机取出两个数,则这两个数满足 x ? y ? 3 ? 0 的概率为(
A.



1 C. 6 4 11.如图, 在四边形 ABCD 中, AB ? BC ? 2 ,?ABC ? 90? , D DA ? DC .现沿对角线 AC 折起,使得平面 DAC ? 平面 4 ABC ,且三棱锥 D ? ABC 的体积为 ,此时点 A , B , C , 3 D 在同一个球面上,则该球的体积是( )

1 6

2

C

D

2

1 4

B.

1 8

C.

1 10

D.

1 16


5. 若圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 16 ? 0 与直线 y ? kx 交于不同的两点,则实数 k 的取值范围为( A. (? 3, 3) B. (? 5, 5) C. ( ?

27 8 2 ? B. C. D.12? ? A 2 3 2 12.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? ln x 存在极值,若这些极值的和大于 5 ? ln 2 ,则实数 a 的取值范围
为( A. ? ??,4? ) B. ? 4, ??? C. ? ??,2? D. ? 2, ???

9 A. ? 2

A

B

C B

1

1

1

5 5 , ) 2 2

D. ( ?

3 3 , ) 2 2

1

6. 70 年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一个数 学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数 N ,并且按照以下的规律进行变换:如果是

第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 7 13.若 ?1 ? x ?? a ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a7 x ,其中 a ? 6

N .不单单是学生,甚至连教师、 2 研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无论 N 是 怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底 1 .准确地说,是无法逃出落入底部的 4 ? 2 ? 1 循环, 永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算,自然数 27 经过十步运算得
个奇数,则下一步变成 3 N ? 1 ;如果是个偶数,则下一步变成 到的数为 A. 142 ( ) B. 71 C. 214
2

? ? sin x ? cos x ? dx ,则
0

π

a0 ? a1 ? a2 ??? a6 的值为

.

D. 107
2 2

7. 在 △ABC 中, a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边,且 a ? 3b ? 3c ? 2 3bc sin A , 则 C 的值为( )

? A. 3

? B. 6

? C. 4

?? D. 3
2 2 正视图

20 8. 某几何体的三视图如图所示, 若该几何体的体积为 , 则图中 x 的 3
值为( A. 3 ) B. 1 C. 2 D.

x x 侧视图

?? 1 ? x ? x ? a?0 ?? ? , x ? 0 ? y 满足约束条件 ? x ? y ? 6 , 14.已知函数 f ? x ? ? ?? 2 ? ,若 f ? ? f ? ?2 ? ? ? ? a ,实数 x , ? x ? 2, x ? 0 ?2 x ? y ? 6 ? ? 3 x ? 4 y ? 10 则目标函数 z ? 的最大值为 . x?2 2 15.过点 P ? 2,0? 的直线交抛物线 y ? 4 x 于 A, B 两点,若抛物线的焦点为 F ,则 △ABF 面积的
42 40

5 2

最小值为 16.以下四个命题:
36

38

.

y 俯视图

2 ①已知随机变量 X ? N 0, ? ,若 P( X ? 2) ? a ,则 P( X ? 2) 的值为
34

?

?

1? a ; 2

高三第三次适应性考试

数学(理科)试题第 1 页(共 8 页)

高三第三次适应性考试 数学(理科)试题

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32

E

②设 a, b ? R ,则“ log2 a ? log 2 b ”是“ 2a ?b 12 ? 1 ”的充分不必要条件;

?1? ③函数 f ? x ? ? x ? ? ? 的零点个数为 1; 10 ?2? ④命题 p : ?n ? N,3n ? n2 ? 1 ,,则 ? p 为 ?n ? N,3nz? n2 ? 1 .
E 8 . 其中真命题的序号为 F M 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) G 17.(本小题满分 12 分) N

1 2

x

参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 0.050 0.010 0.001

P ? K 2 ? k0 ?

k0
20.(本小题满分 12 分)

2.706

3.841

6.635

10.828

(1)求 ?an ? 的通项公式;
M

已知数列 ?an ? 为公差不为 0 的等差数列,满足 a1 ? 5 C ,且 a2 , a9 , a30 成等比数列.
6

B
4

1 1 1 D b1 ? ,求数列 (2)若数列 ?bn ? 满足 ? ? an ? n ? N? ? ,且 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 3 A bn?1 bn
2

已知椭圆的两个焦点为 F1 ? 5, 0 , F2

???? ? ???? ? MF1 ? MF2 ? 8 .

?

?

?

???? ? ???? ? 5, 0 , M 是椭圆上一点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,

?

15

18.(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 C ? ABDE 中,DB ? 平面 ABC , AE / / DB , △ABC 是边长为 2 的等边三角形, 10 5 10 AE ? 1 , M 为 AB 的中点. 5 D (1)求证: CM ? EM ; 2 (2)若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2 , 求二面角 B ? CD ? E 的大小. E

A

(1)求椭圆的方程; (2) 点 P 是椭圆上任意一点, 右顶点, 直线 PA A1、A2 分别是椭圆的左、 ,PA2 与直线 x ? 1
15

分别交于 E , F 两点,试证:以 EF 为直径的圆交 x 轴于定点,并求该定点的坐标. 21.(本小题满分 12 分)
x

3 5 2

P E

已知函数 f ? x ? ? e (sinx ? cos x) .

4

A
6

M

B C

A B 19.(本小题满分 12 分)

D
8

? π? x ? ? ? 2015 π 20 17 π ? ? π ?1 ? (2)若 x ? ? ? ,过点 M ? , , 0 ? 作函数 f ? x ? 的图象的所有切线,令各切点 ? 2 2 ? ? ? 2 ?
(1)如果对于任意的 x ? ?0, ? , f ? x ? ? kx ? e cos x 恒成立,求实数 k 的取值范围; 2 的横坐标按从小到大构成数列 ?xn ? ,求数列 ?xn ? 的所有项之和. 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 .注意:只能做所选定的题目 .如果多做,则按所做的第 一个题目计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 点 P 0,3 , 以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C

近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息,微信是现代生 活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验, 支付环节由此变得简 便而快捷.某商场随机对商场购物的 100 名顾客进行统计,其中 40 岁以下占

3 ,采用微信支付 5

?

?

2 1 , 40 岁以上采用微信支付的占 . 3 4 (1)请完成下面 2 ? 2 列联表:
的占

40 岁以下
使用微信支付 未使用微信支付 合计

40 岁以上

合计

1 ? x?? t ? 4 2 ? 2 的极坐标方程为 ? ? .直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) . 2 1 ? cos ? ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ? (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; 1 1 ? (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 A, B ,求 的值. PA PB
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 .

并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”? (2) 采用分层抽样的方法从 100 名顾客中抽取 10 人参与抽奖活动, 一等奖两名, 记 “ 40 岁以下” 得一等奖的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.
高三第三次适应性考试

(Ⅰ)解不等式 f ? x ? ? x ? 0 ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? a ? 2a 在 R 上的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.
2

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高三第三次适应性考试 数学(理科)试题

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D
2

A

A
20 15 10 5 5 10 15

高三年级第三次适应性考试
1 C 7 B 13. 1 14. 8 2 D 8 C 15. 2 2
2

理科数学·参考答案
4 B 10 A
B A P

z
2

D

3 A 9 A 16.②③

5 C 11 A
C D E

6
4

E A
6

C 12 B
8

M

B

y
C

x

17.【解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ),由 a2 , a9 , a30 成等比数列可知

19.【解析】 (1)由已知可得, 40 岁以下的有 100 ?
10

3 2 ? 60 人,使用微信支付的有 60 ? ? 40 人, 5 3

? a1 ? d ?? a1 ? 29d ? ? ? a1 ? 8d ?

,又 a1 ? 5 ,解得 d ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 .??????4 分
12

40 ? 40 岁以上使用微信支付的有 y
x+y-4=0 x+2y=0 3x-2y+4=0 (3,1) x

1 ? 10 人.所以 2 ? 2 列联表为: 4
40 岁以下
40 20 60

1 1 1 1 (2)由 ? ? an ? n ? N? ? ,得 ? ? an?1 ? n ? 2, nA(1,1) ? N? ? , bn?1 bn bn bn?1

40 岁以上
10 30 40

合计 50 50 100

14

?1 1? 1 1 ?1 1 ? ? 1 1 ? 当 n ? 2 时, ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? bn ? bn bn?1 ? ? bn?1 bn?2 ? ? b2 b1 ? b1 1 1 ? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ? ? ? n ? 1?? 2n ? 6 ? ? 3 ? n ? n ? 2 ? ,?????????8 分 b1 2 1 1 1 1?1 1 ? 对 b1 ? 上式也成立,∴ ? n ? n ? 2 ? ? n ? N? ? ,∴ bn ? ? ? ? ?, 3 bn n ? n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?
∴ Tn ?

使用微信支付 未使用微信支付 合计

由列联表中的数据计算可得 K 的观测值为 k ?

2

100 ? ? 40 ? 30 ? 20 ?10 ?

2

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 3 1 1 ? 3n2 ? 5n ?1 .?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2? ? n n ? 2 ?? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ? ?? 3 ? ? 2 4 ?

?12 分 18. 【解析】 (1)因为 △ABC 是等边三角形, M 为 AB 的中点,所以 CM ? AB .又因为 DB ? 平 面 ABC , ? DB ? CM ,可得 CM ? 平面 ABDE ,因为 EM ? 平面 ABDE ,所以 CM ? EM ; (4 分) (2)如图,以点 M 为坐标原点, MC , MB 所在直线分别为 x, y 轴,过 M 且与直线 BD 平行的直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系.因为 DB ? 平面 ABC ,所以 ?DMB 为直线 DM 与平面 ABC 所 成的角.(6 分)

60 ? 40 ? 50 ? 50 50 ? 10.828 ,所以有 的把握认为“使用微信支付与年龄有关”. .. . . .5 分 3 (2) 采用分层抽样的方法从 100 名顾客中抽取 10 人, 则从“ 40 岁以下”的人中抽取 6 人, 从“ 40 2 C4 2 岁以上”的人中抽取 4 人, X 的所有可能取值为 0,1, 2 ,又 P ? X ? 0 ? ? 2 ? , C10 15 P ? X ? 1? ?
X
P
数学期望 E ( X ) ? 0 ?
1 2 C1 C6 8 1 6 C4 , ? P X ? 2 ? ? ,故分布列如下: ? ? 2 2 C10 15 C10 3

?

50 ,由于 3

0

1

2

BD ?2, 即 BD ? 2 , 故 B ?0 ,1 ,0 ? ,C 3, 0, 0 ,D ? 0,1,2? , E ? 0, ?1,1? , MB ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 于是 BC ? 3, ?1, 0 , BD ? ? 0,0, 2 ? , CE ? ? 3, ?1,1 , CD ? ? 3,1, 2 ,设平面 BCD ??? ? ? m ? BC ? 0 ??? ? 与平面 CDE 的法向量分别为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? , n ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则由 ? 得 ? m ? BD ? 0
由题意得 tan ?DMB ?

?

?

?

?

?

? ?

?

2 15

8 15

1 3

? 3 x1 ? y1 ? 0 ? 3 2 3? ? , ,令 x1 ? 1 ,得 y1 ? 3 ,所以 m ? 1, 3, 0 .同理求得 n ? ? 1, ? ? , (10 ? ? 3 3 ? ? ? ? ? 2 z1 ? 0

?

?

2 8 1 6 ? 1 ? ? 2 ? ? . .. . . .12 分 15 15 3 5 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 20.【解析】 (1)由 MF 1 ? MF 2 ,由勾股定理,得 1 ? MF 2 ,即 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,得 MF ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 2 2 MF1 ? MF2 ? (2c) 2 ? 20 ,且 MF1 ? MF2 ? 8 ,解得 MF1 ? 4, MF2 ? 2 ,根据椭圆的定义, ???? ? ???? ? 2 2 2 可得 MF1 ? MF2 ? 2a ? 6 ,即 a ? 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的方程为

分)

m?n ? 0 ,则二面角 B ? CD ? E 的大小为 90 ? .(12 分) 所以 cos m, n ? m n
高三第三次适应性考试

x2 y 2 ? ? 1. . . . . .4 分 9 4
高三第三次适应性考试 数学(理科)试题 第 6 页(共 8 页)

数学(理科)试题第 5 页(共 8 页)

(2)由(1)得 A 1 的方程为 y ? 1 ? ?3,0 ? , A 2 ? 3,0? ,设 P ? x0 , y0 ? ,则直线 PA 与直线 x ?

y0 ? x ? 3? ,它 x0 ? 3

? 3 5 y0 ? 3 5 ?? 3 5 的交点的坐标为 E ? ,直线 PA2 的方程为 , ? 3 ? ? ?? ? 2 x0 ? 3 ? 2 ? 2 ? ?? ?

? 3 5 y0 ? 3 5 ?? y0 3 5 它与直线 x ? 的交点的坐标为 F ? , 再设以 EF 为 , ? 3 ? x ? 3? , ? ? ?? ? 2 x0 ? 3 ? 2 ? x0 ? 3 2 ? ?? ? 直径的圆交 x 轴于点 Q ? m,0? ,则 QE ? QF ,从而 kQE ? kQF ? ?1 ,即

y?

21.【解析】 (1)令 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? e cos x ? e xsinx ? kx ,要使
x

? y0 ? 3 5 ? y0 ? 3 5 9 2 ? 3? ? 3? 2 ? ? y x0 ? 3 ? 2 x ? 3 2 ?? 0 ? ? ? ?1 ,即 4 0 ? ? ? 3 5 ? m ? ,解得 m ? 3 5 ? 1 .故以 ? ? 2 ? 2 ? x0 ?9 2 3 5 3 5 ? ? ?m ?m 2 2 ?3 5 ? ?3 5 ? ? 1, 0 ? 1, 0 EF 为直径的圆交 x 轴于定点,该定点的坐标为 ? 或? . . . . . . . . .12 分 ? ? ? 2 ? ? 2 ?. . ? ? ? ?

π? π? ? ? ?π ? tanx0 ? 2 ? x0 ? ? ,令 y1 ? tanx , y2 ? 2 ? x ? ? ,这两个函数的图象关于点 ? , 0 ? 对称,则 2? 2? ? ? ?2 ? π 它们交点的横坐标关于 x ? 对称, 从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 ?xn ? 的项也关于 2 π ? 2015π 2017 π ? , x ? 成对出现,又在 ? ? 内共有 1008 对,每 对和为 π ,∴数列 ?xn ? 的所有项之 2 2 ? 2 ? ? 和为 1008π . . . . . .12 分 x2 y 2 22.【解析】 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 ? ? 1 ,直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 3 .??5 2 4
分 (2)点 P 0,3 在直线 l :
2

?

?

3x ? y ? 3 上,将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得

2 12 3 ? ? 1 ? ? 2? ? t ? ? ? 3 ? t? ? 4 , ?5t 2 ? 12t ? 4 ? 0 ,设两根为 t1 , t 2 , t1 ? t2 ? ? , ? ? 5 2 ? ? 2 ? ?

? t1· t2 ? ?

f ? x ? ? kx ? ex cos x
x

恒成立,

只需当 x ? ?0, ? 时, g ? x ?min ? 0 , g? ? x ? ? e ?sinx ? cosx ? ? k ,令 h ? x ? ? e ?sinx ? cosx ? , 2
x

? π? ? ?

4 4 14 ? 0 ,故 t1 与 t 2 异号,? PA ? PB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? , 5 5 PA ? PB 4 1 1 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ?t1 ? t2 ? , ? ? ? ? 14 .??????10 分 5 PA PB PA · PB

? π? ? π? x 则 h? ? x ? ? 2e cosx ? 0 对 x ? ?0, ? 恒成立,? h ? x ? 在 x ? ?0, ? 上是增函数,则 ? 2? ? 2?

23.【解析】 (1)不等式 f ? x ? ? x ? 0 可化为 x ? 2 ? x ? x ? 1 ,当 x ? ?1 时,

? π? h ? x ? ? ?1, e 2 ? , . . . . . . . . . .2 分 ? ?

? ? x ? 2? ? x ? ? ? x ? 1? ,解得 x ? ?3 ,即 ?3 ? x ? ?1 ;当 ?1 ? x ? 2 时, ? ? x ? 2? ? x ? x ? 1, 解得 x ? 1 ,即 ?1 ? x ? 1 ;当 x ? 2 时, x ? 2 ? x ? x ? 1 ,解得 x ? 3 ,即 x ? 3 ,综上所述,不 等式 f ? x ? ? x ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 1 或 x ? 3} .?????5 分
2 2 (2)由不等式 f ? x ? ? a ? 2a 可得 x ? 2 ? x ? 1 ? a ? 2a ,? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 3 ,

? g ? x ?min ? g ? 0? ? 0 , ?k ?1 ①当 k ? 1 时, g? ? x ? ? 0 恒成立, g ? x ? 在 x ? ?0, ? 上为增函数, 2
满足题意; ②当 1 ? k ? e 2 时, g? ? x ? ? 0 在 x ? ?0, ? 上有实根 x0 , h ? x ? 在 x ? ?0, ? 上是增函数,则当 ? 2? ? 2?
π

? π? ? ?

3 ? 0 , ∴ a ? 2a ? 3 , 即 a ? 2a ? 解得 a ? ?1 或 a ? 3 , 故实数 a 的取值范围是 a ? ?1 或 a ? 3 .? 10 分
2 2

? π?

? π?

x ??0, x0 ? 时, g? ? x ? ? 0 ,? g ? x0 ? ? g ? 0? ? 0 不符合题意;
π

③当 k ? e 2 时, g? ? x ? ? 0 恒成立, g ? x ? 在 x ? ?0, ? 上为减函数,? g ? x ? ? g ? 0? ? 0 不符合 ? 2? 题意,? k ? 1 ,即 k ? ? ??,1 .
x

? π?

(2)? f ? x ? ? e ?sinx ? cosx ? ,? f ' ? x ? ? 2e cosx ,
x

?

. . . . . . . . . .5 分

设切点坐标为 x0 , e

?

x0

? sinx0 ? cosx0 ? ? ,则切线斜率为 f ' ? x0 ? ? 2ex cosx0 ,从而切线方程为
0

? π ?1 ? ? x0 ? ,即 y ? ex0 ?sinx0 ? cosx0 ? ? 2ex0 cosx0 ? x ? x0 ? ,??e x0 ? sinx0 ? cosx0 ? ? 2e x0 cosx0 ? ? 2 ?

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