福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期数学(理)联考期末试卷及参考答案

泉州五中、莆田一中、漳州一中 2015 届高三 上学期期末考试 理科数学试卷
(全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合 题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置.) 1、设集合A={x|0<x<2},集合 B ? {x | log2 x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} ( )

2、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 要将 y ? f ( x) 的图象 A.向左平移

?
4

)( x ? R) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象,只
( )

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移
2 正视图 2 侧视图

3、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积是 ( ) A. 8 3 C. B.

16 3 3

4 3

8 3 3

D. 16 3
俯视图 (第 3 题图)

4、已知向量 a = (m2,4), b =(1,1)则“m= -2”是“ a // b ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
B.必要而不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件 ( D. b ? c ? a ( ) )

5、若 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log4 6 ,则下列结论正确的是 A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a

6、已知数列 ?an? 满足 an ?1 ? an ? n ,若 a1 ? 1, 则 a8 ? a4 ? A. —1 B. 1 C. 2 D. 4 2 2 2 7、若实数 a,b 满足 a +b ≤1,则关于 x 的方程 x -2x+a+b=0 无 实数根的概率为 . A.

(

)

1 4

B.

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

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8、双曲线

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线的离心率等于 a 2 b2
( )

A.

5 2

B. 5

C. 6

D.

6 2

9、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)+f(x)=0,且在[3,4]上是增函数,A、B 是锐角三角形的两个内 角,则 ( ) A. f(sinA)<f(cosB) B.f(sinA)>f(cosB) C. f(sinA)>f(sinB) D.f(cosA)>f(cosB) 10、如图:已知方程为

x2 y 2 ? ? 1 的椭圆, A, B 为顶点,过右焦点的 4 2

y
M B A

弦 MN 的长度为 y , 中心 O 到弦 MN 的距离为 d , 点 M 从右顶点 A 开 始按逆时针方向在椭圆上移动到 B 停止,当 0? ? ?MFA ? 90? 时,记

x

O
N

F

x ? d ,当 90? ? ?MFA ? 180? ,记 x ? 2 2 ? d ,函数 y ? f ( x) 图
像是
y 4 3 2 1 x O 1 2 3 4

(

)
y 4 3 2 1 x O 1 2 3 4
1 2 3 4 4 3 2 1

y

x

A
4 3 2 1

B

C

y

x O
1 2 3 4

D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11、已知 i 是虚数单位,复数 z ?

1 ? 2i = 1? i

.

12、在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 ,则 bc cos A 的值 为 . 13、从 6 名候选人中选派出 3 人参加 A 、 B 、 C 三项活动,且每项活动有且仅有 1 人参加,甲不参 加 A 活动,则不同的选派方法有 种. 14、正偶数列有一个有趣的现象:①2 ? 4 ? 6 ;②8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 16 ;
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③18 ? 20 ? 22 ? 24 ? 26 ? 28 ? 30, 按照这样的规律,则 2012 在第 个等式中。

15、定义一个对应法则 g : o?(m, n) ? o( m, n) (m ? 0) ,现有点 A?(1, ?3) 与 B?(9,5) ,点 M ? 是线段

A?B ? 上一动点,按定义的对应法则 g : M ? ? M ,当点 M ? 在线段 A?B ? 上从点的 A? 开始运动到点 B ?
结束时,则点 M ? 的对应点 M 所形成的轨迹与 x 轴围成的面积为

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16、已知函数 f ( x) ? cos ? x ? 3 sin ? x cos ? x ?
2

1 (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 2

(I)求 ? 值及 f ( x ) 的单调递增区间; (II)在△ ABC 中, a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 所对边,若 a ? 1 , b ? 求 B 的大小. 17、如图, ABCD 是正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , D E? D A ? 3 A.F (Ⅰ) 求证: AC ? BE ; (Ⅱ) 求面 FBE 和面 DBE 所形成的锐二面角的余弦值.
E

A 3 , 2, f( )? 2 2

F A D

B

C

18、抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品 A 假定 1、A 2、A 3,

1 1 A1 正面向上的概率为 , A2 正面向上的概率为 , A3 正面向上的概率为 t(0<t<1),把这三枚金属 2 3
制品各抛掷一次,设 ? 表示正面向上的枚数。 (1)求 ? 的分布列及数学期望 E? (用 t 表示); (2)令 an ? (2n ? 1) cos(

6n? E? )(n ? N * ) ,求数列 {an } 的前 n 项和. 5 ? 6t

19、 已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0),F2 (1,0), 过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点, 且|PQ|=3, (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若存 在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
y
M

x F1 O F2
N

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20、已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) 2

(Ⅰ)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设函数 ? ( x) ? e
2x

? be x , x ? [0, ln 2], 求函数? ( x) 的最小值;

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴 的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切 线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 21、本题设有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多 做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所 选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵 M 满足 M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3x ? 8xy ? 6 y ? 1 上,求所得曲线的方程.
2 2

? 1 2 ? ? 7 10 ? ??? ?. ?3 4? ? 4 6 ?

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程 ?

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ? ? y ? sin ?

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标 (4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 为曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. (3)(本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式: 2x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (Ⅰ)求整数 m 的值; (Ⅱ)已知 a, b, c ? R ,若 4a ? 4b ? 4c ? m ,求 a ? b ? c 的最大值
4 4 4 2 2 2

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2014 届高三上学期期末理科数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 3 1 43 11. ? i 12. 13.100 14.31 15. 4 2 2 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
16、解: (I) f ( x) ?

9.A

10.B

1 ? cos 2? x 3 1 ? ? sin 2? x ? ? sin(2? x ? ) ,……(3 分) 2 2 2 6

∵ f ( x) 最小正周期为 ? ,∴ ? ? 1 ,

…………(4 分)

f ( x) ? sin(2 x ? ) , f ( x) 增区间是 [k? ? , k? ? ](k ? Z) ;…………(7 分) 6 3 6

?

?

?

? A 3 (II)∵ f ( ) ? , a ? b ,∴ A ? , 6 2 2
∵ a ? 1 , b ? 2 ,由正弦定理 sin B ?
3? . 4 4 17、(Ⅰ)证明: 因为 DE ? 平面 ABCD ,

…………(9 分) …………(11 分) …………(13 分)
E

b sin A 2 ? , a 2

∵ a ? b ,∴ B ?

?

或B ?

所以 DE ? AC .

……………………1 分

因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 所以 AC ? 平面 BDE , 从而 AC ? BE …………………3 分 ……………………4 分
A D F

(Ⅱ)解:因为 DA, DC, DE 两两垂直, 所 以 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz 如 图 所 示. …………5 分 设 AD ? 3 ,可知 DE ? 3, AF ? 1. ……………………6 分

B

C

则 D(0,0,0) , A(3, 0, 0) , F (3,0,1) , E (0,0,3) , B(3,3, 0) , C (0,3, 0) , 所以 BF ? (0,?3,1) , EF ? (3,0,?2) ,
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………………7 分

设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 令 z ? 3 ,则 n ? (2,1,3) .

? ?n ? BF ? 0 ? ?n ? EF ? 0

,即 ?

?? 3 y ? z ? 0, , ? 3x ? 2 z ? 0.

…………………10 分

因为 AC ? 平面 BDE ,所以 CA 为平面 BDE 的法向量, CA ? (3, ?3,0) ,

所以 cos ? n, CA ? ?

n ? CA n CA

?

7 14

…………………………12 分

所以面 FBE 和面 DBE 所形成的锐二面角的余弦值为

7 . …………13 分 14

18、

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19、

解: (1) 设椭圆方程为

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1………1 由 PQ|=3,可得 ? a 2 b2

2b 2 =3,……………………………………………2 分 a
解得 a=2,b= 3 ,…………………………………………………3 分

x2 y 2 ? =1……………………………………………4 分 4 3 (2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R, 1 则△ F1 MN 的周长=4a=8, S F1MN ? (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 2 因此 S F1MN 最大,R 就最大,………………………………………6 分
故椭圆方程为

S AMN ?

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0,………………………8 分 ?1 ? ? 3 ?4
得 y1 ? 则S

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 y ? , , 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4
?
2

AMN

12 m 2 ? 1 1 AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = ,……………9 分 3m 2 ? 4 2

令 t= m ? 1 ,则 t≥1,

12 m 2 ? 1 12t 12 ? 2 ? 则 S AMN ? ,………………………10 分 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t 1 1 令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3- 2 , t t
当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,

12 =3, 3 12 3 即当 t=1,m=0 时, S AMN ≤ =3, S AMN =4R,∴ Rmax = , 3 4 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π . 16 9 故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π ………………13 分 16
有 f(t)≥f(1)=4, S
AMN



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2 0 、 解 : ( 1 ) 依 题 意 : ∵ h( x)在(0,??) 上是增函数,

h( x) ? ln x ? x 2 ? bx.

1 ? 2 x ? b ? 0对x ? (0,??) 恒成立,……………………2 分 x 1 1 ∴ b ? ? 2 x. ∵ x ? 0, 则 ? 2 x ? 2 2 . ∴b 的取值范围为 (??,2 2 ]. ………4 分 x x
∴ h( x ) ? (2)设 t ?e x , 则函数化为y ? t 2 ? bt , t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ∴当 ?

b 2 b2 ) ? , t ? [1, 2] …5 分 2 4

b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2] 上为增函数, 2

当 t=1 时, y min ? b ? 1. …6 分

b2 b b 当 1 ? ? ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时, y min ? ? ; …………7 分 4 2 2
当?

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] 上为减函数, 2

当 t=2 时, ymin ? 4 ? 2b. ……………8 分 综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1.

b2 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为 ? . 2

当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为4 ? 2b …9 分
(3)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x 2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 . 2

C1 在 M 处的切线斜率为 k1 ?

a ( x1 ? x 2 ) 2 . C2 在点 N 处的切线斜率 k 2 ? ? b. 2 x1 ? x 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 即

a ( x1 ? x 2 ) 2 ? ? b. x1 ? x 2 2

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2 2( x 2 ? x1 ) a ( x 2 ? x12 ) a 2 a 则 ? ? b( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? bx 2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x 2 2 2 2

x2 ? 1) x2 x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 ? ? ………12 分 ? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 ? ln ,? ln x2 x1 x1 ? x 2 x1 1? x1 2(
设u ?

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1 …………………………① x1 1? u

1 4 (u ? 1) 2 2(u ? 1) ? 令 r (u ) ? ln u ? ? . , u ? 1. 则 r (u ) ? ? u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 1? u
∵u ?1 ∴ r ?(u ) ? 0.

所以 r (u )在[1,??) 上单调递增,故 r (u ) ? r (1) ? 0 , 则 ln u ?

2(u ? 1) u ?1

这与①矛盾,假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.……14 分

? ?2 1 ? ?1 2? ?1 ? ? 21、 (1)解: (Ⅰ)记矩阵 A ? ? 1 ? . ……2 分 ? ,故 A ? ?2 ,故 A ? ? 3 3 4 ? ? ? ? 2 2? ? ?2 1 ? ? 7 10 ? ?1 ? 7 10 ? ? ? ?1 2 ? . ……3 分 由已知得 M ? ? 1??? ?A ?? ?? 3 ? ? ?4 6 ? ?4 6 ? ?1 1 ? ? 2 2?
(Ⅱ)设二阶矩阵 M 所对应的变换为 ?

? x? ? ?1 2 ?? x ? ? x? ? x ? 2 y ,得 ? , ?? ? ?? ? ? y? ? ?1 1 ?? y ? ? y? ? x ? y

解得 ?
2

? x ? ? x? ? 2 y ? , ? y ? x? ? y ?
2

……5 分

又 3x ? 8xy ? 6 y ? 1 , 故 有 3(? x? ? 2 y?) ? 8(? x? ? 2 y?)( x? ? y?) ? 6( x? ? y?) ? 1 , 化 简 得
2 2

x?2 ? 2 y?2 ? 1 .故所得曲线的方程为 x2 ? 2 y 2 ? 1 . ……7 分

(2)解: (I)把极坐标系下的点 P (4,

?
2

) 化为直角坐标,得 P(0,4) 。……1 分

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 ,
第 10 页 共 11 页

所以点 P 在直线 l 上.

……3 分

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,……4 分

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 从而点 Q 到直线 l 的距离为 d ? 2
? 2 cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 6 2
……6 分 ……7 分

?

?
6

)?2 2,

由此得,当 cos(? ?

?
6

) ? ?1 时,d 取得最小值 2.

(3) ( I )由 | 2 x ? m |? 1,得

m ?1 m ?1 ?x? 2 2 m ?1 m ?1 ?3? m?5 ?2? ? 不等式的整数解为 2, ? 2 2 又不等式仅有一个整数解 2, ? m ? 4 ……3 分 4 4 4 (Ⅱ)显然 a ? b ? c ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由柯西不等式可知: (a ? b ? c ) ? (1 ? 1 ? 1 )[(a ) ? (b ) ? (c ) ] 2 2 2 所以 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? 3 即 a ? b ? c ? 3
当且仅当 a ? b ? c ?
2 2 2

3 时取等号,最大值为 3 3

………7 分

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