第一章 极限与连续习题课_图文

第一章 极限与连续

第一章 极限与连续习题课

一、主要内容

(一)函数的定义 (二)极限的概念 (三)连续的概念

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第一章 极限与连续习题课

基本初等函数

复合函数 初等函数 分段函数

函 数 的定义
反函数 反函数与直接 函数之间关系

函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性

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1.函数的定义 1.函数的定义
是两个变量, 是一个给定的数集. D 设 x 和 y 是两个变量, 是一个给定的数集. x 如果对于每个数 ∈D,变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应, 则称 y 是 x 的函数,记作 的函数, 确定的数值和它对应, y = f (x). 数集 D 叫做这个函数的定义域 , 叫做自变量, x 叫做自变量,

y 叫做因变量. 叫做因变量.

函数值全体组成的数集 W = { y y = f ( x ), x ∈ D} 称为函数的值域 .
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函数的分类
有 理 初 等 函 数 分函数 分 函数 函数 数 非 初 等 函 幂指函数 分段函数 函数 函数

函 数

函 数

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2.函数的性质 2.函数的性质 (1) 单值性与多值性 单值性与多值性:
若对于每一个 x ∈ D ,仅有一个值 y = f ( x ) 与之对 仅有一个值 则称 为单值函数,否则就是多值函数 否则就是多值函数. 应,则称 f ( x ) 为单值函数 否则就是多值函数

y
y = ex

y

( x ? 1)2 + y2 = 1

o
o

x

x

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(2) 函数的奇偶性 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于 ?x ∈ D , 有

f (? x ) = f ( x ) f (? x ) = ? f ( x ) y

称 f ( x )为偶函数 ; 称f ( x )为奇函数;
y

y= x
o 偶函数

y = x3
x

o

x

奇函数

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(3) 函数的单调性 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为 ,区间I ? D,如果对于区间I上 设函数 的定义域为D,区间 ,如果对于区间 上 的定义域为 恒有: 任意两点 x1 x2,当 x1 < x2 时,恒有: 及 (1) f ( x1 ) < f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间 上是单调增加的; 在区间I上是单调增加的; 上是单调增加的 则称函数 或(2) f ( x1 ) > f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间 上是单调递减的; 在区间I上是单调递减的; 上是单调递减的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 单调函数

y

y = x2

当 x ≤ 0 时为减函数; 当 x ≥ 0 时为增函数;

o x 四川职业技术学院数学教研室

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(4) 函数的有界性 函数的有界性:
若X ? D, ?M > 0, ?x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立, 则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .

y
1 y= x

在( ?∞ ,0)及( 0,+∞ )上无界; 在( ?∞ ,?1]及[1,+∞ )上有界 .

?1

o

1

x

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(5) 函数的周期性 函数的周期性:
的定义域为D, 设函数 f(x) 的定义域为 ,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x ∈ D,有 ( x ± l ) ∈ D .且 f(x+l)=f(x) 使得对于任一 有 且 恒成立,则称 则称f(x)为周期函数 称为 f(x) 的周期 (通 周期.( 恒成立 则称 为周期函数,l 常说周期函数的周期是指其最小正周期 周期) 常说周期函数的周期是指其最小正周期).
y

T =1

1

y = x ? [x]

o

1

x

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3.反函数 3.反函数
由y = f ( x )确定的 y = f
?1

( x )称为反函数 .

y=e

x

y = ln x

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4.反函数与正函数之间的关系 4.反函数与正函数之间的关系
设函数 f ( x )是一一对应 函数 , 则
y

y = f ?1 ( x )

(1) f ( f ? 1 ( x )) = f ? 1 ( f ( x ))
=x x? Df
?1

( f ( x ), x )

y = f ( x)
( x , f ( x ))
x

(2 ) y = f ( x )与 y = f ( x )的
图象对称于直线 y = x .

o

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5.基本初等函数 5.基本初等函数 1)幂函数 y = x )
? x

(?是常数 ) (a > 0, a ≠ 1)

2)指数函数 y = a )

(a > 0, a ≠ 1) y = cos x; y = tan x; 4)三角函数 y = sin x; ) y = cot x; y = sec x; y = csc x .
5)反三角函数 y = arcsin x; y = arccos x; )

3)对数函数 y = log a x )

y = arctan x; y = arc cot x
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6.复合函数 6.复合函数
设函数 y = f (u) 的定义域 D f ,而函数 u = ?( x ) 而函数 的 值 域 为 Z?, 若 D f ∩ Z? ≠ ?, 则 称 函 数

y = f [?( x )]为 x 的复合函数 复合函数.

7.初等函数 7.初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 一个式子表示的函 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函 称为初等函数 数,称为初等函数 称为初等函数. 四川职业技术学院数学教研室

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数列极限
lim xn = a
n→∞ x→∞

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函 数 极
x→x0



无穷大
lim f ( x) = ∞

lim f ( x) = A

lim f ( x) = A

两者的 关系

极限存在的 充要条件

左右极限 极限四则 运算法则

无穷小的比较 等价无穷小 及其性质

无穷小
lim f ( x) = 0

无穷小 的性质

两个重 要极限

求极限的常用方法 四川职业技术学院数学教研室

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1.极限的定义 1.极限的定义
无限增大时, 定义 1 当 n 无限增大时 ,如果数列无限接近 则称 A 为当 n → ∞ 时数列 于一个确定的常数 A , 的极限, xn 的极限, 记为

lim xn = A 或xn → A( n → ∞ ) n→∞ 定义 2 当 x → ∞ 时,若函数 f ( x ) 无限接近 于一个确定的常数 A ,则称 A 为当 x → ∞ 时函数 f ( x ) 的极限,记为 lim f ( x ) = A 或f ( x ) → A( x → ∞ )
x→∞

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定义 3 当 x → +∞ 时, 若函数 f (x) 无限接近于一个确定 的常数 A ,则称 A 为当 x → +∞ 时函数 f (x) 的极限,记为
定义 4 当 x → ?∞ 时, 若函数 f (x) 无限接近于一个确定 的常数 A ,则称 A 为当 x → ?∞ 时函数 f (x) 的极限,记为
x→?∞

x→+∞

lim f ( x) = A 或f ( x) → A( x → +∞)

lim f ( x) = A 或f ( x) → A( x → ?∞)
x→?∞ x→+∞

lim f ( x) = A ? lim f (x) = lim f (x) = A
x→∞

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定义 4 当 x → x0 时,若函数 f ( x ) 无限接近 于一个确定的常数 A ,则称 A 为当 x → x0 时函数

f ( x ) 的极限,记为 lim f ( x ) = A 或f ( x ) → A( x → x0 )
x → x0

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?

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定义 5 当 x → x0 时,若函数 f (x) 无限接近于一个确定的 常数 A ,则称 A 为当 x → x0 时函数 f (x) 的左极限,记为
x→ x→x0

lim f ( x) = A 或f ( x) → A( x → x ) 或 f ( x0 ? 0) = A ?
+ 0 时,若函数

? 0

f (x ) 无限接近于一个确定的 常数 A ,则称 A 为当 x → x0 时函数 f ( x ) 的右极限,记为
x → x0

定义 6 当 x → x

+ lim f ( x ) = A 或f ( x ) → A( x → x0 ) 或 f ( x0 + 0) = A +

左极限和右极限统称为单侧极限. 左极限和右极限统称为单侧极限. 四川职业技术学院数学教研室

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2.无穷小与无穷大 2.无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小 无穷小. 无穷小 极限为零的变量称为无穷小

记作 lim f ( x ) = 0 (或 lim f ( x ) = 0).
x → x0 x →∞

无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大

记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞

无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零 的无穷小的倒数为无穷大. 的无穷小的倒数为无穷大. 四川职业技术学院数学教研室

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无穷小的运算性质 性质1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 性质1 在自变量的同一变化过程中 有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 的代数和仍是无穷小 性质2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 性质2 在自变量的同一变化过程中 有限个无穷小 的乘积仍是无穷小. 的乘积仍是无穷小 性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小

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3.无穷小的比较 3.无穷小的比较
定义: 定义:设α, β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说β 是比α高阶的无穷小 , α 记作 β = o(α ); α
β ( 2 ) 如果 lim = C (C ≠ 0 ), 就说 β 与 α 是同阶的无穷小 ; α β 特殊地 如果 lim = 1, 则称 β 与 α 是等价的无穷小 ; α 记作 α ~ β;

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4.极限的四则运算法则 4.极限的四则运算法则
设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则 (1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ? g( x)] = A? B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)

推论 lim [c ? f (x)] = c ? lim f (x) 1
推论2 lim [ f ( x)]n = [ lim f ( x)]n (n ∈Z + )
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)

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α →0

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5.两个重要极限 5.两个重要极限
(1) (2)

sin x lim =1 x→0 x 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x lim(1 + x) = e
x→0 1 x

某过程

lim

sinα

α

= 1;

α →0
lim (1 + α)α = e.
1

某过程

β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′ 四川职业技术学院数学教研室

6.等价无穷小的性质 6.等价无穷小的性质

α →0

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7.求极限的常用方法 7.求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限; 利用左右极限求分段函数极限; 利用左右极限求分段函数极限 f.利用两个重要极限求极限; 利用两个重要极限求极限; 利用两个重要极限求极限

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续 定 义 间断点定义


?x→0

lim ?y = 0

x→x0

lim f ( x) = f ( x0 )

左右连续

连续的 充要条件
连续 的

连续

第一类 第二类 可 跳 无 振 去 跃 穷 荡 间 间 间 间 断 断 断 断 点 点 点 点

的连续

的连续

连续 的

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1.连续的定义 1.连续的定义
及其近旁有定义 有定义, 定义 1 设函数 y = f (x) 在点 x0 及其近旁有定义,如果当自变 量在点 趋向于零时, 量在点 x0 处的增量 ?x 趋向于零时, 对应的函数的增量 ?y 也趋 向于零,即 lim?y = 0 或 lim[ f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )] = 0,那 向于零, ?y
?x→0 ?x→0

连续, 的连续点. 么 就称函数 f (x) 在点 x0 连续 , x0 称为 f (x) 的连续点.

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定义 2 设函数 y = f (x ) 在点 x0 及其左右近旁有 定义,如果函数 f (x ) 当 x → x0 时的极限存在,且 等 于 它 在 点 x 0 处 的 函 数 值 f ( x0 ) , 即
x→ x0

lim f ( x) = f ( x0 )

那么就称函数 f (x ) 在点 x 0 连续.

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2.单侧连续 2.单侧连续
若函数 f ( x )在 ( a , x 0 ]内有定义 , 且 f ( x 0 ? 0 ) = f ( x 0 ), 则称 f ( x )在点 x 0 处左连续 ; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且 f ( x 0 + 0 ) = f ( x 0 ), 则称 f ( x )在点 x 0 处右连续 .

3.连续的充要条件 3.连续的充要条件
定理 函数f ( x ) 在 x0 处连续 ? 是函数f ( x )在 x0 处
既左连续又右连续 .

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4.间断点的定义 4.间断点的定义
函数f ( x )在点x 0处连续必须满足的三个 条件 :

(1) f ( x)在点 0处有定义 x ;

(2) lim f ( x)存在 ;
x→x0 →

(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0

如果上述三个条件中只

要有一个不满足 , 则称

函数 f ( x )在点 x 0 处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0 为 f ( x )的不连续点 ( 或间断点 ).
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5.间断点的分类 5.间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x 0 处左 , 右极限都
存在 , 但 f ( x 0 ? 0) ≠ f ( x 0 + 0 ), 则称点 x 0为函数 f ( x )的跳跃间断点 .

(2)可去间断点 如果 f ( x )在点 x 0 处的极限存在 , 可去间断点
但 lim f ( x ) = A ≠ f ( x 0 ), 或 f ( x )在点 x 0 处无定
x → x0

义则称点 x 0为函数 f ( x )的可去间断点 .
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跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 第一类间断点 特点: 函数在点x 特点: 函数在点 0处的左 , 右极限都存在 . 第 一 类 间 断 点
0
x0

y 可去型

y

跳跃型

x

0

x0

x

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第二类间断点 如果f ( x )在点x 0处的左 , 右极限
至少有一个不存在 , 则称点 x 0为函数 f ( x )的第二 类间断点.
第 二 类 间 断 点
0
x0

y
y = sin 1 x

x 振荡型

无穷型

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6.闭区间的连续性 6.闭区间的连续性
如果函数在开区间 ( a , b )内连续 , 并且在左端点 x = a 处右连续 , 在右端点 x = b 处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [ a , b ]上连续 .

7.连续性的运算性质 7.连续性的运算性质
定理 若函数 f ( x ), g ( x ) 在点 x 0 处连续 , 则

f (x) f ( x ) ± g ( x ), f ( x ) ? g ( x ), ( g( x 0 ) ≠ 0) g( x) 在点 x 0 处也连续 . 四川职业技术学院数学教研室

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8.初等函数的连续性 8.初等函数的连续性
定理1 定理1 设函数 = ?( x)在点x = x0连续, 且?( x0 ) u

= u0 , 而函数y = f (u)在点u = u0连续, 则复合函数 y = f [?( x)]在点x = x0也连续.
定理2 定理2 若 lim ?( x ) = a , 函数f ( u)在点a连续, 则有
x → x0 x → x0

lim f [?( x )] = f (a ) = f [ lim ?( x )].
x → x0

定理3 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理3 基本初等函数在定义域内是连续的 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间内都是连续的 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 四川职业技术学院数学教研室

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9.闭区间上连续函数的性质 9.闭区间上连续函数的性质 定理1 最大值和最小值定理) 定理 1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间 上连续的函数一定有最大值和最小值. 上连续的函数一定有最大值和最小值.
定理 2 零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 [a, b] (零点定理) 上连续, 异号( 上连续,且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) ? f (b) < 0), 那么在开区间 (a, b)内至少有函数 f (x)的一个零 点,即至少有一点 ξ(a < ξ < b),使 f (ξ) = 0.
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二、典型例题
[例1] 求函数 = log( x?1) (16 ? x2 )的定义域 y . 解

16 ? x 2 > 0,
x ? 1 > 0, x ? 1 ≠ 1,
即(1,2) U ( 2,4).

?x <4 ? ?x > 1 ?x ≠ 2 ?

1 < x < 2及 2 < x < 4,

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2 4 2n n→∞

[例2] 当x < 1时 求lim (1+ x)(1+ x )(1+ x )L(1+ x ). ,
将分子、分母同乘以因子(1 解 将分子、分母同乘以因子 -x), 则

(1 ? x)(1 + x)(1 + x )(1 + x )L(1 + x ) 原式= lim n→∞ 1? x 2 2 4 2n (1 ? x )(1 + x )(1 + x )L(1 + x ) = lim n→∞ 1? x 2n 2n 2n+1 (1 ? x )(1 + x ) 1? x = lim = lim n→∞ n→∞ 1 ? x 1? x 1 2n +1 . (Q当 x < 1时, lim x = 0.) = n→ ∞ 1? x 四川职业技术学院数学教研室
2 4 2n

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1

1 + tan x x3 ∞ [例3] 求lim( ) . (1 型) x→0 1 + sin x 1 1 + tan x x3 解 原式= lim 1 + ( [ ? 1)] x→0 1 + sin x 1+sinx tan x?sinx

tan x ? sin x 1 sin x(1 ? cos x) 1 Qlim ? 3 = lim ? 3 x→0 x→0 (1 + sin x)cos x x 1 + sin x x sin x 1 ? cos x 1 1 = lim ? ? = ? 2 x→0 x x (1 + sin x)cos x 2

tan x ? sin x tan x?sinx (1+sinx) x3 = lim[(1+ ) ] x→0 1+ sin x

∴原式= e . 四川职业技术学院数学教研室

1 2

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? x ? 1, x > 1 ? [例4]讨论 ( x) = ? πx f . 的连续性 ?cos 2 , x ≤ 1 ? 解 将f ( x )改写成

?1 ? x , x < ?1 ? πx ? f ( x ) = ?cos , ? 1 ≤ x ≤ 1 2 ? ? x ? 1, x > 1 ?
显然f ( x )在( ?∞ ,?1), ( ?1,1), (1,+∞ )内连续 .
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当x = ?1时, 时
x → ?1

lim? f ( x ) = lim? (1 ? x ) = 2. Q xlim? f ( x ) ≠ xlim+ f ( x ) → ?1 → ?1
x → ?1
+

πx = 0. 故f ( x )在x = ?1间断 . lim f ( x ) = lim cos x → ?1 x → ?1 2 当x = 1时, 时 πx = 0. Q lim f ( x ) = lim f ( x ) lim f ( x ) = lim cos x →1 x →1 x →1 x →1 2 故f ( x )在x = 1连续 . lim f ( x ) = lim ( x ? 1) = 0.
+
?

?

?

+

x →1+

x →1+

∴ f ( x )在( ?∞ ,?1) U ( ?1,+∞ )连续 .
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【课后练习 课后练习】 课后练习 P13 复习题一. 复习题一.

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