2015-2016学年高中数学必修4同步课件:1.3.1 三角函数的周期性_图文

第1章

三角函数

1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性

栏 目 链 接

1.理解周期函数的最小正周期的意义,会求简单函数的最小正 周期. 2.理解正弦函数,余弦函数的周期性的意义.
栏 目 链 接

栏 目 链 接

1.对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义

f(x+T)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做 域内的每一个值时,都有________________
周期 周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的____________ .对于一个周
期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这

最小正周期 . 个最小正数就叫做 f(x)的______________
2π 期,最小正周期是________________ .

栏 目 链 2 k π( k ∈Z且 k ≠0) 周期函数 2 .正弦函数是____________, _________________ 都是它的周 接

周期函数 2k π(k∈Z且k≠0) 3.余弦函数是________________ , ________________ 都是它的 2π 周期,最小正周期是__________________ .

自变量的系数 有关. 4.函数的周期与解析式中__________________

栏 目 链 接

知识点1

最小正周期

对于函数 f(x),如果存在一个非零的常数 T,使得定义域内的 每一个 x 值,都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
栏 目 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小 链 接

的正数,那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义,我们有: 正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小 正周期是 2π.

余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小 正周期是 2π. 说明:(1)周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函 数 f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数 T 都是它的周期,而最 小正数是不存在的, 所以常数函数没有最小正周期, 又如, 函数 D(x) 栏
? ?1,x是有理数, =? ?0,x是无理数. ?
目 链 接

设 r 是任意一个有理数,那么,当 x 是有理数时,x+r 也是有 理数,而当 x 是无理数时,x+r 也是无理数,即 D(x)与 D(x+r)或 者都等于 1,或者都等于 0,因此在两种情况下都有:

D(x+r)=D(x).
所以 D(x)是周期函数,任何非零有理数 r 都是它的周期,而最 小正有理数不存在,所以 D(x)也没有最小正周期. (2)如果不加特别说明,教材中提到的周期,一般都是指最小正 周期. 难点释疑:对周期函数概念的理解: (1)设 f(x)的定义域为 A,对任意 x∈A,存在常数 T≠0,则 x +T∈A. 例如 f(x)=sin x(x≠0)不是周期函数,我们可用反证法证之.
栏 目 链 接

若 f(x)=sin x(x≠0)的周期为 T(T≠0),∴-T≠0. 设 x0=-T 是这个定义域内一点,但 x0+T=0 不在定义域内, ∴f(x0+T)=f(x0)对于定义域有的点不成立, ∴f(x)=sin x(x≠0)不是周期函数.
栏 目 链 接

(2)对周期函数与周期定义中的“当 x 取定义域内每一个值时” , 要特别注意 “每一个值” 的要求, 如果只是对某些 x 有 f(x+T)=f(x), π 那么 T 就不是 f(x)的周期.例如,分别取 x1=2kπ+ (k∈Z),x2 4
? ? ?π π ? π π? π? π = ,则由 sin?2kπ+ + ?=sin?2kπ+ ?(k∈Z),sin? + ? 栏 4 2? 4? 2? 目 6 ? ? ?6

π π π ≠sin ,可知对于 而言,虽然正弦函数对 2kπ+ (k∈Z)都有 6 2 4
? ? π π? π? sin?2kπ+ + ?=sin?2kπ+ ? (k∈Z).但由于它不是对“每一 4 2? 4? ? ? ? π? 个”自变量都有 sin?x+ ?=sin 2? ?

链 接

π x,所以 不是正弦函数的周期. 2

(3)周期函数的周期不唯一.例如 2kπ(k∈Z,k≠0)都是正弦函 数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代 栏 数上证明:设 T 是函数 f(x)的周期,那么对于任意的 k∈Z,k≠0,
目 链 接

kT 也是函数 f(x)的周期.

知识点2

函数y=Af(ωx+φ)的周期

函数 y=Asin(ωx+φ)及函数 y=Acos( ωx+φ)(其中 A,ω, 2π φ为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T= .

ω

栏 目 链 接

若函数 y=f(x)的周期为 T,则函数 y=Af(ωx+φ)的周期为

T (其中 A,ω,φ为常数,且 A≠0,ω≠0). | ω|

栏 目 链 接

题型1

利用周期函数的定义判断函数的周期性

例1 判断函数 f(x)=2sin2x+|cos x|的周期性.
分析:根据周期函数的定义结合诱导公式判断之. 解析:由于对任意的 x∈R,有:
栏 目 链 接

f(x +π) =2sin2(x +π) +|cos(x+π)| =2sin2x + |cos x| = f(x).
∴f(x)=2sin x+|cos x|是周期函数. 方法指导:要理解周期函数的定义,重点是能利用定义判别有 关三角函数的周期性.
2

例2 求下列函数的最小正周期:
(1)y=3cos x,x∈R; (2)y=sin 3x,x∈R;
? π? (3)y=2cos?2x- ?,x∈R. 6? ?
栏 目 链 接

分析:利用周期函数的定义结合 y=sin x 与 y=cos x 的最小 正周期是 2π的结论求解.

解析:(1)∵3cos(x+2π)=3cos x, ∴由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为 2π.
? 2 ? (2)∵sin 3?x+ π?=sin(3x+2π)=sin 3x, 3 ? ?

2π ∴由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为 . 3
? ? π? π? (3)∵2cos?2?x+π?- ?=2cos?2x- ?, 6? 6? ? ?

栏 目 链 接

∴由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为π .

◎规律总结: 认识周期函数的定义, 关键要认识到 f(x+T)=f(x) 中,T 是相对于自变量 x 而言的,突出 x+T 的函数值与 x 的函数值 栏 相等,T
目 才是函数的周期.本题也可利用函数 y=Asin(ωx+φ)及 链 接

函数 y=Acos(ωx+φ)(其中 A,ω,φ为常数,且 A≠0,ω>0) 2π 的最小正周期 T= 求之.

ω

变 式 训 练

1.求下列函数的周期: (1)y=cos 2x+sin 2x; (2)y=|sin x|+|cos x|.
解析:(1)f(x+π)=cos 2(x+π)+sin2(x+π) =cos(2x+2π)+sin(2x+2π) =cos 2x+sin 2x=f(x), ∴f(x)的周期为π.
? ? ? π? ? π ?? ? π? ? (2)f?x+ ?=?sin?x+ ??+?cos?x+ ? ? 2? ? 2 ?? ? 2 ?? ? ? ?
栏 目 链 接

=|cos x|+|sin x|=f(x), π ∴f(x)的周期为 . 2

题型2

证明函数的周期性

例3 求证:若对于非零常数 m 和任意的 x,等式 f(x +m)=
1+f?x? 成立,则 f(x)为周期函数. 1-f?x?
栏 目 链 接

分析:问题给出了 f(x+m)与 f(x)之间的函数关系,结合周期 函数的定义,很自然的想法是 f(x+2m)与 f(x)之间能否产生联系. 1+f?(x)? 1+ 1-f?(x)? 1+f?(x+m)? 证明:f(x+2m)= = 1-f?(x+m)? 1+f?(x)? 1- 1-f?(x)? 1 =- , f?(x)? 1 ∴f(x+4m)=- =f(x). f?(x+2m)? ∴f(x)是以 4m 为周期的周期函数.

栏 目 链 接

变 式 训 练

2.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,
? 1? 对于任意的 x1,x2∈?0, ?,都有 f(x1+x2)= 2? ?

f(x1)·f(x2).
?1 ? ?1? (1)设 f(1)=2,求 f? ?,f? ?; ?2 ? ?4?
栏 目 链 接

(2)证明 f(x)是周期函数.

分析:本题主要考查抽象函数的概念、偶函数的概念、函数图 象对称的概念、函数周期的概念,同时考查运算和推理能力、综合 运用知识的能力以及灵活运用知识的能力.
? 1? (1)解析:由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈?0, ?,知 f(x) 2? ? 栏 目 链 ?x? ?x? 接 =f? ?·f? ?≥0,x∈[0,1]. ?2? ?2? ?1 1 ? ?1? ?1? ? ?1 ??2 ?1 ? ∵f(1)=f? + ?=f? ?· f? ?=?f? ?? , 又 f(1)=2, ∴f? ?= 2. ?2 2 ? ?2? ?2? ? ?2 ?? ?2 ? ?1? ?1 1? ?1? ?1 ? ? ?1??2 ?1? 1 1 ∵f? ?=f? + ?=f? ?·f? ?=?f? ?? =2 ,∴f? ?=2 . 2 4 ?2? ?4 4? ?4? ?4 ? ? ?4?? ?4?

(2)证明: 依题意 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 则有 f(x) =f(2-x),x∈R. 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),x∈R. ∴f(-x)=f(2-x),x∈R. 将上式中-x 以 x 代换,则有 f(x)=f(x+2),x∈R. 这说明 f(x)在 R 上是周期函数,且 2 是它的周期.
栏 目 链 接


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