湖北省孝感高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文

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孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试 数学试题(文科)
考试时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合的) 1.已知命题 p : " x ? R , sin x ≤1 ,则( A. ? p : x ? R , sin x ≥1 C. ? p : x ? R , sin x > 1 ) B. ? p : x ? R , sin x ≥1 D. ? p : x ? R , sin x > 1

2 2.已知集合 A ? x y ? log 2 x ? 3 x ? 10 , B ? x ? 2 ? x ? 5 则 (CR A) ? B 等于(

?

?

??

?

?

)

A.?x | ?5 ? x ? ?2? 3. 下列命题中错误 的是( ..

B.?x | ?2 ? x ? 2? )

C.?x | ?2 ? x ? 5?

D.?x | ?5 ? x ? 5?

A. ?x ? R, ( x ? 3)( x ? 7) ? ( x ? 4)( x ? 6) B. ?x ? R, x ? 2 ? x ? 3 ? 5 C. ?x ? R , 若 a ? b, 则 ax D. ?x ? R,
2

? bx 2

x2 ? 3 x2 ? 2

?2
0.2

4.设 a ? log 1 5 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则(
2

?1? ?3?

1

) C. c ? a ? b D. b ? a ? c ) D. y ? 2
?x

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

5.下列函数中,既是偶函数又是在区间 (??, 0) 上单调递增的函数是( A. y ? ln x
x

B. y ? x

2

C. y ? tan x )

6.曲线 y ? sin x ? e 在点 ? 0,1? 处的切线方程是( A. x ? 3 y ? 3 ? 0

B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. 3 x ? y ? 1 ? 0
1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7.函数 y ?

x 的图象大致为( ln x



A.

B.

C.

D.

8.设抛物线 y 2 = 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点,且 PA ^ l , A 为垂足,如果直 线 AF 的斜率为 - 1,则 PF 等于( A. 2 B. 4 C. 8 ) D. 12 ) D. (?1,0)

9.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 ( A. (0,1) B. (1,2) C. ( ?2,?1)

10. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 4) ,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? 2 ,则 f (2015) ? f (2012) 的值为(
x

) D.

A. ?2

B. ?1

C.

1 2

3 2

11.双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A, B 两点,公共弦 AB 2 a b
)

恰好过它们的公共焦点 F ,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 B. 1? 2 C. 2 2

D. 2 ? 2

12.已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x2 ? ( m2 ? 1) x, ( x ? R, m ? 0) ,若 f ( x) 有三个互不相同的零点 3 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意 x ?? x1, x2 ? , f ( x) ? f (1) 成立,则 m 的取值范围是( )

A. ?

?1 ? ,1 ? ?2 ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

C. ? ,

?1 3? ?2 3 ? ? ? ?

D. ?

? 3 ? ? 3 ,1? ? ? ?

2

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.函数 f ( x) ? log 1 (2 x ?1) 的定义域为
2

.

14.以椭圆

x2 y 2 + = 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 8 5

.

15.已知 p : x - 1 ? 2, q : x2 数 a 的取值范围是

2x + 1- a2 ? 0,(a
.

0) ,若 ?p 是 q 的充分不必要条件,则实

16.如果对任意一个三角形,只要它的三边 a, b, c 都在函数 f ( x) 的定义域内,就有

f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长, 则称 f ( x) 为“和美型函数”.现有下列函数:
① f ( x) ? ④ h( x) ? ln x, x ? [2, ??) . x ; ② g ( x) ? sin x, x ? (0, ? ) ; ③ ? ( x) ? 2 x ; . (写出所有正确的序号)

其中是“和美型函数”的函数序号为 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 p : x ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 .相 .等 .的 负 .实 .数 .根 , q : 方 程
2

4 x2 + ( 4m - 2)x + 1= 无实数根 0 .
(Ⅰ)若 p 为真,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 p 为假 q 为真,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x,(a ? 0)
3 2 2

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)已知方程 f ( x) ? 5 ? 0 有三个不相等的实数解,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知两点 A(?3, 0) 及 B (3, 0) ,动点 Q 到点 A 的距离为 10,线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P.
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)求 | PA | ? | PB | 的值; (Ⅱ)求点 P 的轨迹方程.

20. (本小题满分 12 分)甲、乙两地相距 1000 km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超 过 80 km/h ,已知货车每小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变
1 倍,固定成本为 a 元. 4 (Ⅰ)将全程运输成本 y (元)表示为速度 v ( km/h )的函数,并指出这个函数的定义域;

成本是速度平方的

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶?

21 . ( 本 小 题满 分 12 分) 如 图 所 示, 已 知 椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍, a2 b2
且过点 C ?2,1? ,点 C 关于原点 O 的对称点为点 D . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

x

(Ⅱ)点 P 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为 0 ,试问直线 CP 和 DP 的 斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由; (Ⅲ)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M 、N 两点,求 ?CMN 的面积的最大值,并求此 时直线 l 的方程.

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 象在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅰ)用 a 表示出 b,c ;

b ? c(a ? 0), g ( x) ? ln x ,其中函数 f ( x) 的图 x

(Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1,?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明: 1 ?

1 1 1 n ( n ? 1) . ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试

数学试题(文科)参考答案 一.选择题 1~5 CBDAD 6~10 CDBAA 11~12 BC 二.填空题 x2 y 2 ?1 ? 13. ? ,1? 14. ? ? 1 15. ? 0, 2? 3 5 ?2 ? 三.解答题 17. 解: (Ⅰ)由题意知: ?

16. ①④

?? ? m2 ? 4 ? 0 ? ?m? 0
2

?m ? 2

(Ⅱ)若 q 为真, ? ? ?4m ? 2? ?16 ? 0 当 p 为假 q 为真时, ? 1

??
??

1 3 ?m? 2 2
1 3 ?m? 2 2

? ? m?2 3 ? ?m? ? 2 ? 2

综上可知: m ? ? ? , ?

? 1 3? ? 2 2?

3 2 18.(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ?x? ? x ? 2 x ? 4 x, (a ? 0) ,

f ' ?x? ? 3x 2 ? 4 x ? 4 = ?x ? 2??3x ? 2? ? 0
? x ? ?2或x ? 2 3

2? ? ?2 ? ? 函数 f ?x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?2?, ? ,?? ? ,单调递减区间 ? ? 2, ? 3? ? ?3 ?
当 x ? ?2 时,函数 f ?x ? 的极大值 f ?? 2? ? 8 当x??

2 40 ?2? 时,函数 f ?x ? 的极小值 f ? ? ? ? 27 3 ?3?
3 2 2

(Ⅱ)设 ? ? x ? ? f ? x ? ? 5 ? x ? ax ? a x ? 5
5

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? ' ?x? ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ? ?x ? a??3x ? a?
? ?a,

?? (?a) ? 0 a ? 是函数 f ?x ? 的极值点,由题意知: ? a ?a ? 3 ?( ) ? 0 3 ? ? 3 综上可知, a 的取值范围为: a ? 3
19.(Ⅰ)因为线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P,∴ | PB | = | PQ | , ∴ | PA | ? | PB | = | PA | + | PQ | = | AQ | =10; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 | PA | ? | PB | =10(常数) ,又 | PA | ? | PB | =10>6= | AB | ,∴点 P 的轨迹 是中心在原点,以 A, B 为焦点,长轴在 x 轴上的椭圆,其中 2a ? 10, 2c ? 6 ,所以椭圆的轨迹

方程为

x2 y2 ? ? 1. 25 16

20.(Ⅰ)可变成本为

1 2 1000 。 v ,固定成本为 a 元,所用时间为 4 v

?y?

1000? 1 2 a? ? ?1 ? v ? a ? ,即 y ? 1000 ? v? ?。 v ?4 v? ? ?4

定义域为 ?0,80?

v 2 ? 4a ?1 a ? (Ⅱ) y ? 1000 。 ? ? 2 ? ? 250? v2 ?4 v ?
'

令 y ? 0, 得v ? 2 a .
'

? v ? ?0,80?

? 当 2 a ? 80, 即 a ? 1600 时, y ' ? 0, y 为 v 的减函数.
在 v ? 80 时, y 最小.

? 当 2 a ? 80, 即 0 ? a ? 1600 时,

v
y'

?0,2 a ?
?

2 a
0

?2

a ,80
+

?
6

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y
在 v ? 2 a 时, y 最小.

递减

极小值

递增

答:以上说明当 0 ? a ? 1600(元) 时, 火车以 2 akm / h 的速度行驶, 全程运输成本最小: 当 a ? 1600 (元)时,火车以 80 km / h 的速度行驶,全程运输成本最小. 21. (Ⅰ)? 2a ? 2 ? 2b,? a ? 2b.

? 椭圆 E 过点 C ?2,1? ,

?

22 1 ? 2 ? 1,? b ? 2 , a ? 2 2 , 2 4b b

? 椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ?1。 8 2

(Ⅱ) 依题意, 得 D 点的坐标为 ?? 2,?1? , 且点 D 在椭圆 E 上, 直线 CP 和 DP 的斜率 kcp 和 k DP 均存在,设 P ? x, y ? ,则 k CP ?

y ?1 y ?1 , k DP ? , x?2 x?2

? kCP ? k DP ?

y ?1 y ? 1 y 2 ?1 ? ? 。 x ? 2 x ? 2 x2 ? 4

又? 点 P 在椭圆 E 上,?

x2 y2 ? ? 1 ,? x 2 ? 8 ? 4 y 2 , 8 2

kCP ? k DP ?

y 2 ?1 1 ?? , 2 x ?4 4

1 ? 直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值 ? 。 4 1 (Ⅲ)? 直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l , 2 1 ? 设直线 l 的方程为 y ? x ? t , 2 1 ? ? y ? 2 x?t 2 2 由? 2 ,消去 y 整理,得 x ? 2tx ? 2t ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 2 ?8
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,

?? ? 4t 2 ? 4 2t 2 ? 4 ? 4 4 ? t 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?2t 则? ? x1 ? x2 ? 2t 2 ? 4 ?

?

? ?

?

? MN ?

?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

?1? ? 1 ? ? ? ? x1 ? x2 = 5 ? 4 ? t 2 ?? 2 ? t ? 2?, ?2?

2

点 C 到直线 MN 的距离为 d ?

t 1 1? 4

?

2t 5

,

? S ?CMN ?

2t 1 1 4 2 2 2 MN ? d ? 5 ? 4 ? t2 ? = t ? 4 ? t ? t 4 ? t ? ? 2. 2 2 2 5
2

?

?

2 2 当且仅当 t ? 4 ? t , t ? 2 时取等号,

? S ?CMN 的面积最大值为 2,此时直线 l 的方程为 y ?

1 x? 2。 2

22. (Ⅰ) f ? x ? ? a ?
'

? f ?1? ? a ? b ? c ? 0 ? b ? a ?1 b ,则有 ? ,解得 ? 。 2 x ? f ' ?x ? ? a ? b ? 1 ?c ? 1 ? 2a
a ?1 a ?1 ? 1 ? 2a , ? 1 ? 2a ? ln x, 令 ? ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) ? ax ? x x
2

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 f ? x ? ? ax ?

1? a ? ? a ? x ? 1? ? x ? ? a ? 1 1 ax ? x ? ? a ? 1? a ? ? ' ? , x ? ?1,??? ,则 ? ?1? ? 0, ? ? x ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x2
(i)当 0 ? a ? 若1 ? x ?

1 1? a 时, ?1。 2 a

1? a ' ,则 ? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 是减函数,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ( x). a

故 f ? x ? ? g ( x) 在 ?1,??? 上不恒成立. (ii)当 a ?

1 1? a 时, ?1。 2 a
8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 若 x ? 1 ,则 ? ' ? x ? ? 0,? ? x ? 是增函数,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ( x), 故当 x ? 1 时, f ? x ? ? g ( x) . 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? ,?? ? 。 (Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知当 a ? 令a ?

?1 ?2

? ?

1 时,有 f ? x ? ? g ( x) ? x ? 1? 。 2

1? 1? 1 , 有 f ?x ? ? ? x ? ? ? ln x 2? x? 2 1? 1? ? x ? ? ? ln x 。 2? x?
令x?

且当 x ? 1 时,

k ?1 ,有 k

ln

k ?1 1 k ?1 k 1? 1 1 ? ? ( ? ) ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) k 2 k k ?1 2 ? k k ?1 ? ?

1?1 1 ? ? ln(k ? 1) ? ln k ? ? ? ?, k ? 1,2,3,.....,n , 2 ? k k ?1?
将上述 n 个不等式依次相加,得

ln?n ? 1? ?

1 ?1 1 1? 1 ? ? ? ?? ? ? ? , 2 ?2 3 n ? 2?n ? 1?
1 1 1 n ? ? ? ? ? ln?n ? 1? ? 2 3 n 2?n ? 1?
1 ? 1, 不等式成立. 4

整理得 1 ?

解法二:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? ln 2 ? ②假设当 n ? k 时,不等式成立,就是

1?

1 1 1 k ? ? ? ? ? ln?k ? 1? ? 2 3 k 2?k ? 1? k ?2 1 1 1 1 k 1 ? ln?k ? 1? ? ? ?? ? ? ? ln?k ? 1? ? ? 2?k ? 1? 2 3 k k ?1 2?k ? 1? k ? 1

那么 1 ?

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由(Ⅱ)知,当 a ? 令a ?

1 时,有 f ?x ? ? ln x?x ? 1? 。 2

1? 1? 1 , 有 f ?x ? ? ? x ? ? ? ln x?x ? 1? 。 2? x? 2
k?2 1 ? k ? 2 k ?1 ? k ?2 ,得 ? ? ? ln?k ? 2? ? ln?k ? 1?. ? ? ln k ?1 2 ? k ?1 k ? 2 ? k ?1

令x?

? ln?k ? 1? ?

k ?2 k ?1 ? ln?k ? 2? ? . 2?k ? 1? 2(k ? 2)

1 1 1 1 k ?1 ? ln?k ? 2? ? 。 ? 1? ? ?? ? ? 2 3 k k ?1 2?k ? 2?
这就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 根据①和②,可知不等式对任何 n ? N 都成立。
?

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