高一数学下学期期末练习试题沪教版


2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷
本试卷共有 21 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。 一、填空题(本大题满分 36 分) 1、函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点坐标是 ________

为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) 。当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ?

___________

11、已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ? 若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =_________时, f (ak ) ? 0 . 12、将函数 y ?

? ? ?? , ? ,且公差 d ? 0 . ? 2 2?

2、 对任意不等于 1 的正数 a , 函数 f ( x) ? loga ( x ? 3) 的反函数的图像都过点 P, 则点 P 的坐标是_______

6?) 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ? (0 ? ? ? ? ) , 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0,

cos
3、行列式

?
3 3

sin cos

?
6

得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值为____________. 的值为__________ 二、选择题(本大题满分 16 分) 13、 “ x ? 2k? ?

sin

?

?
6

?
4

? k ? Z ? ”是“ tan x ? 1 ”成立的

[答](



4 5 x
4、若行列式 1 x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,则 x 满足的条件是___________

(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分条件. (D)既不充分也不必要条件. 14、若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间
x

7 8 9
5、若向量 a、 b 满足 a ? 1, b ? 2, 且 a 与 b 的夹角为 6、函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin ?

? ,则 a ? b =____________ 3

1 2

1

[答] (



?? ? ? x ? 的最大值是______________ ?2 ?

1 1 ) (D) ( 0, ) 2 3 1 1 1 15、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , 则此人能 [答]( 13 11 5
(A) ( (B) ( (C) ( ,

2 , 1 ). 3

1 2 , ). 2 3

1 3



7、设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x , 则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是__________________ 8、方程 x ? 2 x ?1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?
2

A)不能作出这样的三角形 B)作出一个锐角三角形.C)作出一个直角三角形.D) 作出一个钝角三角形. 16、在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是(
2 2 2



(A)锐角三角形.

(B)直角三角形.

(C)钝角三角形.

(D)不能确定.

1 的图像交点的横坐标。 x

若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1 , x2 ,
4

? 4? xk (k ? 4) 所对应的点 ? ? xi , x ? ? (I=1,2,…,k)均在 1 ? ?

直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是_________________

时 ,不等式 sin 9、当 0 ? x ? 1

?x
2 3

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是___________
三、解答题(本大题满分 48 分) 17、 (本题满分 8 分)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,

??? n ? 2 n ? 1 n ? ?1 2 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 n 1 2 ? 中,记位于第 i 行第 j 列的数 10、在 n 行 n 列矩阵 ? 3 4 5 ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ?

1

求函数 y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

18、 (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? cos ? 2 x ?

21、 (本题满分 12 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,

? ?

??

? ,直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x)、g ( x) 的图像分别交于 M、 6?

以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设: ①失事船的移动路径可视为抛物线 y ?
12 49

N 两点。

? ? ?? (1) 当 t ? 时,求 | MN | 值;(2) 求 | MN | 在 t ? ?0, ? 时的最大值. 4 ? 2?

x2 ;

y

P

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? O A x

19. (本题满分 10 分)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB 。小区的两个出入口 设置在点 A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 。已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分 钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米, 求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) C A D O B 2012 年上海市复兴高级中学高一年级第二学期期末数学练习卷答案: 1、 (0,?2) ;2、 (0,?2) ;3、0;4、 x ?

o

8 ;5、 7;6、2; 3 2 . 3

20、 (本题满分 10 分)若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1) 若 x ? 1比 1 远离 0,求 x 的取值范围;
2

7、(-1,0)∪(1,+∞) ;8、(-∞, -6)∪(6,+∞) ; 9 ;10、45;11、14;12、 arctan 13、A ;14、C ;15、D ;16、C ;

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a ? b 比 a b ? ab 远离 2ab ab ;
3 3 2 2

17、解: (1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ?2 x ,得 ? 1 ? x ? 1 . 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ? 1 得1 ? ?1 x ? 1 ? 0 ?

2?2 x x ?1

? 10

(3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D ? ?? x x ?

?? ??

? k? ? ? , k ? Z , x ? R ? .任取 x ? D ,f ( x) 等于 sin x 和 cos x 2 4 ?
2

? ?1 ? x ? 1 . 由? 2 得? 2 . ?x?1 ?x?1 3 3 3 1 ? ? x ? 3 ? 3 (2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此 y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) y 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ? [0, lg 2]
因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ?
2 3

21、解: (1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|= 由 tan∠OAP= 3 ?12 ? 由 vt ? 因为 t 2 ?
7 2

7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x2

949 2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.

3 18、 ⑴ ;⑵ 3 2

19、 ( 445)

7 30

7 7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向为北偏东 arctan 30 弧度.

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t 2 ) .

20、 (本题满分 10 分) 若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 远离 m . (1)若 x ? 1比 1 远离 0,求 x 的取值范围;
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 . t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,所以 v2 ? 144? 2 ? 337 ? 252 ,即 v ? 25 .

因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a ? b 比 a b ? ab 远离 2ab ab ;
3 3 2 2

(3) 已知函数 f ( x ) 的定义域 D ? ?? x x ?

?? ??

? k? ? ? , k ? Z , x ? R ? .任取 x ? D ,f ( x) 等于 sin x 和 cos x 2 4 ?

中远离 0 的那个值.写出函数 f ( x ) 的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

? sin x ? ? (1) x ? (??,? 2 ) ? ( 2. ? ?) (2)略(3) f ( x) ? ? ? cos x ? ?
性质: (1)偶函数 关于 y 轴对称(2)周期 T ?

x ? (k? ? x ? (k? ?

? ?
4

, k? ? , k? ?

?

3? ) 4 )

4

4

?
2

(3) (

k? ? k? k? k? ? 2 ? , ) 单调增 , ( , ? ) 单调减 (4)最大值为 1,最小值为 2 4 2 2 2 4 2

21、 (本题满分 12 分) 海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直 角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则救援船恰在失事船的正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设: y P ①失事船的移动路径可视为抛物线 y ? 12 x 2 ;
49

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援; ③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? O A
3

x


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