2014届高三数学(第17讲三角函数--第20讲函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用,含精细解析)

45 分钟滚动基础训练卷(四) (考查范围:第 17 讲~第 20 讲 分值:100 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.函数 y=|sinx|-2sinx 的值域是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[0,3] D.[-3,0] π π π 2.函数 f(x)=tanω x(ω>0)图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f? ?的值 4 4 ?4? 是( ) A.0 B.1 π C.-1 D. 4 3.[2013· 南阳模拟] sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80°的值为( ) 2 1 A. B. 3 2 1 1 C. D. 4 3 4.设点 P 是函数 f(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴的 π 距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是( ) 8 π A. B.π 2 π C.2π D. 4 π 5.已知函数 y=2sin2?x+ ?-cos2x,则它的周期 T 和图象的一条对称轴方程是( ) ? 4? π A.T=2π ,x= 8 3π B.T=2π ,x= 8 π C.T=π ,x= 8 3π D.T=π ,x= 8 π π 6.若将函数 y=tan ?ω x+ ? (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 6 4? ? π? tan?ω x+ 的图象重合,则 ω 的最小值为( ) 6? ? 1 1 A. B. 6 4 1 1 C. D. 3 2 π π 7.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?上的简图是( 3? ? ? 2 ? )

图 G4-1 8.如图 G4-2,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的 π 函数关系式为 s=6sin2π t+ ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) 6

图 G4-2 A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 1 9.函数 y=lgsinx+ cosx- 的定义域为________. 2 π π 10.已知函数 f(x)=2sinω x(ω>0)在区间- , 上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 3 4 ________. ?sinx,sinx≤cosx, ? 11.对于函数 f(x)=? 给出下列四个命题: ? ?cosx,sinx>cosx, ①该函数是以π 为最小正周期的周期函数;②当且仅当 x=π +kπ (k∈Z)时,该函数取 5π π 得最小值-1;③该函数的图象关于 x= +2kπ (k∈Z)对称;④当且仅当 2kπ <x< +2k 4 2 2 π (k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的序号都填上) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 14 分,共 42 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 12.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx +φ)+B 的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 8 千元,7 月份价格最低为 4 千元; 该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份),且满足 g(x)=f(x-2)+2. (1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式; (2)问哪几个月能盈利?

π 13.已知函数 f(x)=sin2ω x+ 3sinω xsin?ω x+ ?(ω>0)的最小正周期为π . 2? ? (1)求 ω 的值; 2π (2)求函数 f(x)在区间?0, ?上的取值范围. 3 ? ?

π π 14.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值; π (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? 2?

45 分钟滚动基础训练卷(四) 1. [解析] 当 0≤sinx≤1 时, B y=sinx-2sinx=-sinx, 此时 y∈[-1, 当-1≤sinx<0 0]; 时,y=-sinx-2sinx=-3sinx,此时 y∈(0,3],求其并集得 y∈[-1,3]. π π π 2.A [解析] 由题意知 T= ,由 = 得 ω=4, 4 ω 4 π? ∴f(x)=tan4x,∴f? =tanπ =0. ?4? 3.C [解析] 方法一:sin220°+cos280°+ 3sin20°cos80° 1 1 = (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2 + 3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) 1 1 3 3 3 =1- cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 2 4 4 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= . 4 4 4 2 2 方法二:设 x=sin 20°+cos 80°+ 3sin20°cos80°, y=cos220°+sin280°- 3cos20°sin80°,则 1 x+y=1+1- 3sin60°= , 2 x-y=-cos40°+cos160°+ 3sin100° 1 =-2sin100°sin60°+ 3sin100°=0,∴x=y= , 4 1 2 2 即 x=sin 20°+cos 80°+ 3sin20°cos80°= . 4 π T π 4.A [解析] 依题意得 = ,所以最小正周期为 T= . 4 8 2 π? π? 5. [解析] ∵y=2sin2?x+ -cos2x=1-cos?2x+ -cos2x=1+sin2x-cos2x=1 D 4? 2? ? ? π π π + 2sin?2x- ?,所以其周期 T=π ,对称轴方程的表达式可由 2x- =kπ + (k∈Z)得 4 2 4? ? kπ 3π 3π x= + (k∈Z),故当 k=0 时的一条对称轴方程为 x= ,故答案为 D. 2 8 8 π π? π π 6.D [解析] 函数 y=tan?ω x+ 的图象向右平移 后得到 y=tan?ω ·?x- ?+ ? 6 4? 6? 4? ? ? ? π ωπ π π ωπ ωπ π ? π? =tan?ω x- 又因为 y=tan?ω x+ , ∴令 - = +kπ , ∴ = + 的图象. 4 6 6 12 6 6 4? 6? ? ? 1 +kπ (k∈Z),得 ω 的最小值为 . 2 π π π 3 7.A [解析] 令 x=0 得 y=sin?- ?=- ,淘汰 B,D.由 f?- ?=0,f? ?=0, 2 ? 3? ? 3? ?6? 淘汰 C,故选 A. 2π 8.D [解析] T= =1,故选 D. 2π

? ? π ? 9. ?x?2kπ <x≤ +2kπ , k∈Z 3 ? ? ?

?sinx>0, ? [解析] (1)要使函数有意义必须有 ? 即 1 ? ?cosx-2≥0,

?sinx>0, ? ? 1 ? ?cosx≥2, ?2kπ <x<π +2kπ , ? 解得? π (k∈Z), π ? ?- 3 +2kπ ≤x≤ 3 +2kπ
π ∴2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z, 3
? ? π ? ∴函数的定义域为?x?2kπ <x≤ +2kπ , k∈Z. 3 ? ? ? 2π 3 T π 3 10. [解析] 由题意知 ≤ ,T= ,∴2ω≥3,ω≥ , 2 4 3 2 ω 3 ∴ω 的最小值等于 . 2 11.③④ [解析] 画出 f(x)在一个周期[0,2π ]上的图象.

3 由图象知,函数 f(x)的最小正周期为 2π ,在 x=π +2kπ (k∈Z)和 x= π +2kπ (k∈Z) 2 5 时,该函数都取得最小值-1,故①②错误;由图象知,函数图象关于直线 x= π +2kπ (k 4 π 2 ∈Z)对称,在 2kπ <x< +2kπ (k∈Z)时,0<f(x)≤ ,故③④正确. 2 2 π π 12.解:(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得 A=2,B=6,ω= ,φ=- , 4 4 π π? 所以 f(x)=2sin? x- +6(1≤x≤12,x 为正整数), 4? ?4 π 3 ? g(x)=2sin? x- π +8(1≤x≤12,x 为正整数). ?4 4 ? π π 2 3 9 (2)由 g(x)>f(x),得 sin x< ,得 2kπ + π < x<2kπ + π ,k∈Z.∴8k+3<x<8k+9, 4 2 4 4 4 k∈Z, ∵1≤x≤12,k∈Z, ∴k=0 时,3<x<9,∴x=4,5,6,7,8; k=1 时,11<x<17,∴x=12. ∴x=4,5,6,7,8,12. 故 4,5,6,7,8,12 月份能盈利. 1-cos2ω x 3 13.解:(1)f(x)= + sin2ω x 2 2 π 3 1 1 1 = sin2ω x- cos2ω x+ =sin?2ω x- ?+ . 2 2 2 6? 2 ? 因为函数 f(x)的最小正周期为π ,且 ω>0, 2π 所以 =π ,解得 ω=1. 2ω

π 1 (2)由(1)得 f(x)=sin?2x- ?+ . 6? 2 ? 2π π π 7π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 3 6 6 6 π? 1 所以- ≤sin?2x- ≤1, 2 6? ? π? 1 3 所以 0≤sin?2x- + ≤ , 6? 2 2 ? 3 即 f(x)的取值范围为?0,2?. ? ? π? 14.解:(1)∵x∈?0, , 2? ? π π 7π ∴2x+ ∈? , ?, 6 ?6 6 ? π? ? 1 ? ∴sin?2x+ ∈?-2,1?, 6? ? π ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a], 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b].又-5≤f(x)≤1. ?b=-5, ?a=2, ? ? ∴? 解得? ? ? ?3a+b=1, ?b=-5. π (2)由(1)知 f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ? π 7π g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 6 ? ? 2? ? π? =4sin?2x+ -1, 6? ? 又由 lgg(x)>0,得 g(x)>1, π ∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ? π? 1 ∴sin?2x+ > , 6? 2 ? π π 5 ∴ +2kπ <2x+ < π +2kπ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 由 +2kπ <2x+ ≤2kπ + ,得 6 6 2 π kπ <x≤kπ + ,k∈Z. 6 π π 5 由 +2kπ ≤2x+ < π +2kπ 得 2 6 6 π π +kπ ≤x< +kπ ,k∈Z. 6 3 π ∴函数 g(x)的单调递增区间为?kπ , +kπ ?(k∈Z), 6 ? ? ?π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z). 单调递减区间为 3 ?6 ?


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