椭圆题型研究

1.已知椭圆 G:

.过点(m,0)作圆

的切线 l 交椭圆 G 于 A,B

两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 表示为 m 的函数,并求 的最大值.

2. (本小题满分 14 分) 已知点 P 是⊙ O : x2 ? y 2 ? 9 上的任意一点,过 P 作 PD 垂 直 x 轴于 D ,动点 Q 满足 DQ ? (1)求动点 Q 的轨迹方程; ( 2 )已知点 E (1,1) ,在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M 、 N ,使

????

? 2 ??? DP . 3

??? ? 1 ???? ? ???? OE ? (OM ? ON ) (O 是坐标原点),若存在,求出直线 MN 的方程,若不存在,请 2
说明理由.

x2 y2 6 3.已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 b a 3
点构成的三角形的面积为

5 2 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 C 相交于 A,B 两点.

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②已知点 M(- ,0),求证: MA · MB 为定值. 3
①若线段 AB 中点的横坐标为- 4. (本题 12 分)已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 过 A(a,0) 、 B(0,?b) 2 a b 2
4 5 . 5

两点的直线到原点的距离是 (1)求椭圆的方程 ;

(2)已知直线 y ? kx ? 1(k ? 0) 交椭圆于不同的两点 E 、 F ,且 E 、 F 都在以 B 为 圆心的圆上,求 k 的值.
2 y2 y2 5. (普通班)已知椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 x 2 ? ? 1有 2 a b 相同的离心率,斜率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1) ,与椭圆 C 交于不同两点 A、B.

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(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. (实验班)已知函数 f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) (a ? R). (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ?

2 e2

对任意 x ? ?? 2,?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 3 x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右顶点,(1, )为椭圆上一点,椭 2 2 2 b a

6.设 A,B 分别为椭圆

圆长半轴长等于焦距. (1)求椭圆的方程; (2)设 P(4,x)(x≠0),若直线 AP,BP 分别与椭圆相交于异于 A,B 的点 M,N,求证: ∠MBN 为钝角. 7.已知 F 1 、 F2 分别是椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,右焦点 F2 (c,0) 到 a 2 b2

上顶点的距离为 2,若 a ? 6c . (Ⅰ)求此椭圆的方程; (Ⅱ) 点 A 是椭圆的右顶点, 直线 y ? x 与椭圆交于 M 、N 两点 ( N 在第一象限内) ,

??? ? ???? ? ??? ? ? NP NQ ? ???? ? ? ???? ? ? F1 F2 ? 0 ,求证:向量 PQ 与 又 P 、 Q 是此椭圆上两点,并且满足 ? ??? ? | NP | | NQ | ?
???? ? AM 共线.
8.设椭圆

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂 2 a b 2

直的直线被椭圆截得的线段长为 2 (1)求椭圆方程; (2)过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,当 ?OAB 面积最大时,求 AB

9.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆 C 上, a2 b2

且 PF1 ? F1 F2 , | PF1 |?

4 14 , | PF2 |? , 3 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)试确定 t 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线 y ? 3x ? t 对称. 10.已知 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) 为椭圆的焦点,且直线 x ? y ? 7 ? 0 与椭圆相切. (Ⅰ)求椭圆方程;

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(Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,求△ ABF 2 的面积 S 的最大值,并求此时直 线的方程。 11. ( (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭 圆的短半轴为 2 2 a b

半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切。 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 设 P(4,0), A, B是椭圆C上关于x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; (3) 在(2)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,求 OM ? ON 的取 值 范围。

x2 y 2 3 ? 2 ?1 e? 2 ( a ? b ? 0 ) b 2 ,顶点 M , N 的距离为 12.如图,设椭圆 C : a 的离心率

5 , O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点. (ⅰ)试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请说明 理由; (ⅱ)求 | AB | 的最小值.

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2、P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满 13.已知椭圆 2 4
足 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值。
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x2 y2 14.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,直线(m+3)x+(1-2m)y-m-3=0 (m ? R) 恒过的 a b
定点 F 为椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到焦点 F 的最大距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 MN 为垂直于 x 轴的动弦,且 M,N 均在椭圆 C 上,定点 T(4,0),直线 MF 与直线 NT 交于点 S. ①证:点 S 恒在椭圆 C 上; ②求△MST 面积的最大值. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) , ( 3 , 0) 的距离之和等于 4,设 点 P 的轨迹为曲线 C,直线过点 E (?1,0) 且与曲线 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,请说明 理由. 16.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 a2 b2

P 在椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6.
(I)求椭圆 C 的方程; (II)若点 P 的坐标为 ?2,1? ,不过原点 O 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设线段 AB 的中点为 M ,点 P 到直线的距离为 d ,且 M , O, P 三点共线.求 大值. 17.已知 A1,A2,B 是椭圆

12 13 2 2 AB ? d 的最 13 16

x2 y 2 ? =1(a>b>0)的顶点(如图) ,直线 l 与椭圆交于异 a 2 b2

于顶点的 P,Q 两点,且 l∥A2B,若椭圆的离心率是

3 ,且|A2B|= 5 。 2

(1)求此椭圆的方程; (2)设直线 A1P 和直线 BQ 的倾斜角分别为α ,β ,试判断α +β 是否为定值?若是, 求出此定值;若不是,说明理由。
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18.已知椭圆 形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 与椭圆相交于不同的两点 在线段 的垂直平分线上,且
2 2

的离心率

,连接椭圆的四个顶点得到的菱

,已知点 ,求

的坐标为 的值.

,点

19.已知曲线 C:(5-m)x +(m-2)y =8(m∈R). (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y=kx+4 与曲 线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线.

x2 y 2 20. 如图, 点 P(0, -1)是椭圆 C1: 2 ? 2 =1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2: a b
x2+y2=4 的直径. l1, l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线, 其中 l1 交圆 C2 于 A, B 两点, l2 交椭圆 C1 于另一点 D.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 如图,在等边 ?ABC 中,O 为边 AB 的中点, AB ? 4 ,D、E 为 ?ABC 的高线上的点, 且 OC ? 2 3 OD , OC ? 3 OE .若以 A,B 为焦点,O 为中心的椭圆过点 D,建立适当的 直角坐标系,记椭圆为 M
C

E D

A

O

B

(1)求椭圆 M 的方程; (2)过点 E 的直线 l 与椭圆 M 交于不同的两点 P,Q,点 P 在点 E, Q 之
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间,且 EP ? ? EQ ,求实数 ? 的取值范围.

?

?

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