高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修21_图文

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 一、阅读教材P126~128回答 1.直线与圆的位置关系 设直线l :Ax + By +C=0……①,圆C:(x-a)2+(y - b)2=r2……②, 圆心C(a,b)到直线l的距离为d,联立①②得方程组, 消去x或y后,所得一元二次方程的根的判别式为Δ 若直线和圆相交,则满足 d<r 或Δ>0 若直线和圆相切,则满足d=r 或Δ=0 若直线和圆相离,则满足 d>r 或Δ<0 . 2.直线l与圆交于A、B两点,圆心到直线的距离为d, 圆的半径为r,则弦长|AB|= . 二、解答下列各题 1 . 已 知 ⊙ C : x2 + y2 - 8x + 2y - 8 = 0 的 圆 心 C(4,-1) ,半径r= 5 ,圆心C到直线l:4x-3y+6 =0的距离d=5,直线l与圆C的位置关系是 相切 . 2.圆x2+y2-4x+3=0与直线2x-y+5=0的位置关系 是 相离 . 本节学习重点:直线与圆的位置关系. 本节学习难点:圆的几何性质与切线问题、弦长问 题. 1.直线与圆位置关系的判定有两种方法 (1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组 的解的个数来讨论,若有两组不同的实数解,即 Δ>0 ,则 相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实 数解,即Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判 断:当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切; 当d>r时,直线与圆相离. 2.直线与圆相交有两个交点,设弦长为 l,弦心距为 d, 半径 ?l? r,则有?2?2+d2=r2.即半弦长,弦心距,半径构成直角 ? ? 三角形. 代数法求弦长:|AB|= 1+k2|x1-x2|(k 是直线 AB 的斜 率,x1、x2 是两交点横坐标). 3.圆的切线方程的求法 ①求过圆C外一点P(x0,y0)的⊙C的切线方程. 几何方法:设切线y-y0=k(x-x0),由圆心C到切线距 离等于圆的半径 r ,列方程求k ,若有两解即得切线方程, 若只有一解,则另一条为x=x0. 代数方法:设切线 y - y0 = k(x - x0) 与圆方程联立,消 元由Δ=0求出k,讨论方法同上. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)求圆的切线 1 方程.圆心 C(a,b),k=-k ,则切线方程为 y-y0=k(x PC -x0),如果 kPC 不存在,则 k=0,如果 kPC=0,则切线方程 为 x=x0. 特别的,过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方 程为:x0x+y0y=r2. 4 . (1) 直线若过定点,定点在圆内则直线与圆必相 交. (2) 直线与圆相离时,圆上点到直线的距离 d ,圆心到 直线距离为m,则m-r≤d≤m+r; 直线与圆相交时,圆上点到直线距离为d,圆心到直线 距离为m,则0≤d≤m+r. (3) 过圆心的直线将圆平分,垂直平分弦的直线过圆 心. (4)过圆内一点的直线被圆截得最长弦为直径,最短弦 为以该点为中点的弦. 与圆有关的最值问题,常常用数形结合法求解. [例1] 有公共点? [解析] 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没 解法1:将y=x+b代入x2+y2=2中消去y得2x2 +2bx+b2-2=0※ 其判别式Δ=(2b)2-8(b2-2)=-4(b+2)(b-2), 当-2<b<2时,Δ>0,方程※有两个不等实根,直线与 圆有两个公共点. 当b=±2时,Δ=0,方程※有两个相等实根,直线与 圆有一个公共点. 当 b< - 2 或b>2 时,Δ<0 ,方程 ※无实数根,直线与圆 无公共点. |b| 解法 2:圆心 O(0,0)到直线 y=x+b 距离 d= ,圆半径 2 r= 2. 当 d<r ,即- 2<b<2 时,直线与圆相交,有两个公共 点. 当 d = r ,即 b =±2 时,直线与圆相切,有一个公共 点. 当 d>r ,即 b< - 2 或 b>2 时,直线与圆相离,无公共 点. [ 点评 ] 讨论直线与圆的位置关系,可以用代数法, 即将直线与圆的方程联立,消元后用判别式 Δ 作判断;也 可以用几何法,求圆心到直线的距离d和圆的半径r,用d与 r大小判断.一般地,说几何法更简便. (1)直线3x-4y+6=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关 系是 A.相离 C.相交且过圆心 则实数k的取值范围为 A.R ? 6 6? ? C.?- , ? 12 ? ? 12 ? ( B.相切 D.相交但不过圆心 ( ) (2) 若直线 y = kx - 2k 与圆 (x - 3)2 + y2 = 1 恒有两个交点, ) B.(-∞,0)∪(0,+∞) ? 1 1? D.?-5,5? ? ? (3)直线y=kx被圆x2+y2=2截得的弦AB长等于( A.4 B.2 ) C.2 2 [答案] (1)C (2)A (3)C D. 2 [解析] (1)圆心(2,3)在直线3x-4y+6=0上, ∴直线与圆相交且过圆心,故选C. |3k-2k| (2)由题意可知 <1,此不等式恒成立,故选 A. 1+k2 或直线 y=k(x-2)过定点(2,0),定点(2,0)在圆(x-3)2+y2 =1 上.由于斜率 k 存在,故总有两个交点. (3)直线 y=kx 过圆心,被圆 x2+y2=2 所截得的弦长恰为 圆的直径 2 2,故选 C. [例 2] 求满足下列条件的圆 x2+y2=4 的切线方程: (1)经过点 P( 3,1);(2)斜率为-1, (3)过点 Q(3,0) [解析] (1)∵点 P( 3,1)在圆上. ∴所求切线方程为 3x+y-4=0 (2)设圆的

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