高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

第四章 圆的方程 第四章 4. 2 直线、圆的位置关系 第四章 4.2.1 直线与圆的位置关系 课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答 课前自主预习 温故知新 1.直线与圆的位置关系有三种: 两 个公共点; (1)直线与圆相交?直线与圆有____ (2)直线与圆相切?直线与圆有___ 一 个公共点; 没有 公共点. (3)直线与圆相离?直线与圆______ 2.点到直线的距离公式: 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= |Ax0+By0+C| A2+B2 _________. 3.圆 x2+y2+4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为( ) A.(4,-6),r=16 C.(-2,3),r=4 B.(2,-3),r=4 D.(2,-3),r=16 [答案] C [解析] 由圆的一般式方程可知圆心坐标为(-2,3),半径 1 2 r= 4 +?-6?2+12=4. 2 |2+2+1| 4.点P(1,-2)到直线y=2x+1的距离为d= = 12+22 5. 新课引入 大海上初升的红日,冉冉升起中,展现着迷人的风采, 同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相 离,本节我们从方程的角度来探讨这三种位置关系. 自主预习 阅读教材P126~128,回答下列问题. 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及 判断 置关系 公共点个数 相交 两 个 ____ 相切 一 个 ____ 相离 0 个 ___ 几何法:设圆心到直线的距离d= 判 定 方 法 |Aa+Bb+C| A2+B2 代数法:由 ? ?Ax+By+C= ? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r d<r d=r d>r Δ>0 Δ=0 Δ<0 消元得到一元二次方程的判别式Δ 直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( ) A.过圆心 C.相离 B.相切 D.相交 [答案] D [解析] 圆心C(1,-1),半径r=3,C到直线3x+4y+12 |3-4+12| 11 =0的距离d= 2 2 = 5 <r=3.所以直线与圆相交. 3 +4 思路方法技巧 命题方向 直线与圆的位置关系 [例1] 若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交; ②相切;③相离,试分别求实数a的取值范围. [解析] 解法一:(代数法) ? ?4x-3y+a=0, ? 2 2 ? x + y =100, ? 由方程组 900=0, 消去y,得25x2+8ax+a2- 则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得 -50<a<50; ②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50. 解法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, |a| |a| 则圆心到直线的距离d= 2 2= 5 . 3 +4 |a| ①当直线和圆相交时,d<r,即 5 <10,所以-50<a<50; |a| ②当直线和圆相切时,d=r,即 5 =10,所以a=50或a= -50; |a| ③当直线和圆相离时,d>r,即 >10,所以a<-50或 5 a>50. 代数法和几何法都是处理直线与圆的位置关系的通法, 具有普遍性,都要熟练掌握.代数法用圆的一般方程比较方 便,而几何法用圆的标准方程比较方便. 由这两种解法可看到,几何法确实比代数法运算量小, 也比较简单、直观. 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值 时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没有公共 点? [解析] 解法1:将y=x+b代入x2+y2=2中消去y得2x2+ 2bx+b2-2=0※ 其判别式Δ=(2b)2-8(b2-2)=-4(b+2)(b-2), 当-2<b<2时,Δ>0,方程※有两个不等实根,直线与圆 有两个公共点. 当b=± 2时,Δ=0,方程※有两个相等实根,直线与圆有 一个公共点. 当b<-2或b>2时,Δ<0,方程※无实数根,直线与圆无公 共点. |b| 解法2:圆心O(0,0)到直线y=x+b距离d= ,圆半径r= 2 2. 当d<r,即-2<b<2时,直线与圆相交,有两个公共点. 当d=r,即b=± 2时,直线与圆相切,有一个公共点. 当d>r,即b<-2或b>2时,直线与圆相离,无公共点. [点评] 讨论直线与圆的位置关系,可以用代数法,即将 直线与圆的方程联立,消元后用判别式Δ作判断;也可以用几 何法,求圆心到直线的距离d和圆的半径r,用d与r大小判 断.一般地,说几何法更简便. 命题方向 弦长问题 [例2] 直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交 截得的弦长为4 5,求l的方程. [解析] 根据题意知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于A(x1,y1), B(x2,y2), 方法一:联立方程组 ? ?y-5=k?x-5?, ? 2 2 ? ?x +y =25, 消去y,得(k2+ 1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. ∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)· 25k(k-2)>0, 解得k>0. 10k?1-k? 25k?k-2? 又x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . k +1 k +1 由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2). ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 2 2 100 k ? 1 - k ? 25k?k-2? 2 ?

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