高中数学核心知识点常考题型精析:推理与证明(理)

2015
一、 出若 球都 中, A. C. 个球, 1+a

高考数学

心知识点常考

型精析

推理

证明



纳推理 表红球,b 个球的所有 、“a”表示 表蓝球,c 法可 1+a 表黑球, 加法原理及 1+b 法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中 “1”表示一个 列各式 出若
5

1.用 a

的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如 出来.

出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都 出或都 1+b
3 4 2 5 5 2

类推,

展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中 所有的蓝球都
2 3 4 5 5 2

出的所有 1+c 1+c
3 5 3 5

法的是 1+a 1+a
4 5 5 5

1+a+a +a +a +a 列各式

B. D.
4

1+b+b +b +b +b 1+b
5 5 2

2

3

4

5 3

1+c
4 5 10

1+b+b +b +b +b

1+c+c +c +c +c
10

2.观察 A.28

a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b = B.76 C.123 D.199 5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5 B.5625 C.0625 堆,求出 ,如 堆 堆 球个数的 B.55 去,直到 C.90 点数 6 6 8 V 棱数 9 10 12 . E
5 6 7 2011

3.观察 列各式 A.3125 4.有 10 个 堆并求出 A.45 5.观察 析 棱柱 五棱锥 立方体 6.观察 1 =1 1 ﹣2 = ﹣3 1 ﹣2 +3 =6
2 2 2 2 2 2 2 2 2



四 数 D.8125 ,再将 堆 球任意 的和 ,则所有 D.100

球,将它们任意

球个数的 能再

表中的数据 面数 5 6 6 F

多面体

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 列等式

1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10 … 照 7. 个 规律,第 n 个等式可 希腊 角形数 k 边形数中第 n 个数的表达式 角形数 方形数 N 五边形数 边形数 N … 可 推测 N n ,k 的表达式, 计算 N
第1

2

. 角形数 1,3,6,10,…,第 n n,k k≥3 , 列出了部

达哥拉

学派的数学家研究过各种多边形数,如 .记第 n 个 k 边形数 N

, n ,4 =n , , n ,6 =2n ﹣n, 10,24
共 44
2 2

=



8.

x∈R,|x| 1 时,有如

表达式

1+x+x +…+x +…=

2

n







dx+

xdx+
2

x dx+…+
3

2

x dx+…=
n+1

n

dx

从而得到如 请 据 × + 9.观察 列 ,

等式

1× + ×

+ ×

+…+

×

+…=ln2

材料所蕴含的数学思想方法,计算 × 等式
2

+

×

3

+…+

×

n+1

=





… 照 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 照 规律,第 n 个等式 x x = f1 f2 f3 x x x = , = = = , , , x>0 . ,观察 规律,第五个 列等式 等式 . 10.观察

11.设函数 f f1 f2 f3 f4 … 据
*

x =f x =f x =f x =f

实,

纳推理可得 . n≤4 时,在所有 n=6 时,黑色 的着色方案中,黑色 方形互 相邻的着色方案 种, 结果用数

n∈N n≥2 时,fn x =f fn﹣1 x = 12.给 n 个自 而 相连的 方形着黑色或白色. 方形互 共有 值表示 相连的着色方案如 种, 少有 所示 个黑色 推断,

方形相邻的着色方案共有

第2

共 44

13.设 n≥2,n∈N, Tn,则 T2=0,T3= 14.观察 式 15.观察 列等式 . 列等式

2x+ ﹣
3 3 2

n



3x+

n

=a0+a1x+a2x +…+anx ,将|ak| 0≤k≤n ﹣ ,…,T n …,
3 3 3 2

2

n

的最小值记 .

,T4=0,T5=
3 3 3 2

中 Tn = 据

1 +2 =3 ,1 +2 +3 =6 ,1 +2 +3 +4 =10 ,…,

3

述规律,第五个等



规律,第 n 个等式可 列式子 1+ +…+ 列等式 ? ,1+ +

. ,1+ . + + ,…, 据 式子可 猜

16.观察 想 1+ +

17.给出

× =1﹣

… 等式推出一个一般结论 对于 n∈N , 18.观察 2 =7+9 3 =25+27+29 4 =61+63+65+67 … 照 规律,第 4 个等式可 .
第3 共 44
4 4 4 *

=



列等式,

19.设 n f 16

整数,

,计算得 .

,f 4 >2,



>3,观察

述结果,可推测一般的结论

20. 在△ABC 中, 等式 立 在凸五边形 ABCDE 中, 等式 边形 A1A2…An 21.观察等式
3 2

立 在凸四边形 ABCD 中, 等式 立. 据 . 情况,猜想在凸 n

n≥3
2

中的

立的

等式是

×1 + ×1 + ×1=1 , ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 ,… 等式都是 个等式 23.对大于或等于 2 的 2 =1+3 2 =3+5 据 述
3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2

立的,照 .



去,第 2015 个

立的等式是

. 1+2+3+4 ,…,推广到第 n

22.从 1=1,1﹣4=﹣

1+2 ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣ 整数的幂
2 3

算有如

解方式

3 =1+3+5 3 =7+9+11
3

2

4 =1+3+5+7… 4 =13+15+17+19…
2 3

解规律,若 m =1+3+5+…+11,p x =1﹣x ,f1 有
2

解中最小

整数是 21,则 m+p= x ﹣ 有 |, n≥1,n≥N

. ,

24.设函数 f0 则方程 . 25.某 1 2 3 4 5

x

=|f0

x ﹣ |,fn , 方程

x =|fn﹣1

个实数

个实数

学在一次研究性学
2 2 2 2 2 2 2 2

中发



五个式子的值都等于

一个常数.

sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17° sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15° sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12° sin ﹣18° +cos 48°﹣sin
2 2 2 2

﹣18° cos48°

sin ﹣25° +cos 55°﹣sin ﹣25° cos55° 试从 述五个式子中选择一个,求出 个常数 据 的计算结果,将该 学的发 推广 角恒等式,并证明你的结论.

、演 26. A. f 27.

推理 满足 f B. f 2x =2f x x 的是 C.f x =x+1 尺数, 十 V,求 D. f x =﹣ x 似 式 之,九而一,所得开 直径 d 的一个 列 似 x =|x| 数学 =x﹣|x|

列函数中,

著 九章算术 中“开立圆术”曰 置

立方除之,即立圆径,“开立圆术”相 d≈ 的一个是 .人们 用过一些类似的

于给出了已知球的体 似 式.

据 π=3.14159…..判断,

式中最精确

第4

共 44

A.

d≈

B.

d≈ 的球形弹子,

C.

d≈ 将他们

D.

d≈ 的

28.弹子跳棋共有 60 弹子尽可能的少,那 A.11 29. 面四个推 无限 无限 A.大前提 B. 大前提 C. 大前提 D.大前提 30.“因
x

大小相 B. 4

在在棋盘 . C.5

四面体球堆,试剩 D. 0

剩余的弹子共有 推理 段论形式 小前提 小前提 无限

过程符合演 循 循

推理 π 循

确的是 结论 小数 无限 π 是无限 结论 结论 循 循 小数 循 π 是无理数 π 是无理数

小数是无理数 小数是无理数 循 循
x

是无理数

π 是无限

π 是无限 π 是无限

小数 小数

小前提 小前提

小数是无理数 结论
x

π 是无理数

小数是无理数 y=

指数函数 y=a 是增函数 大前提 ,而 y=

是指数函数 小前提 ,所

是增函数 结论 ”, 面推理的错误是 A.大前提错 结论错 C. 推理形式错 结论错 纳推理的是 列推理是

B. 小前提错

结论错 结论错

D.大前提和小前提错都 椭圆

31. B. C.

A . A ,B

定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹

a1=1,an=3n﹣1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 圆 x +y =r 的面
2 2 2

和 Sn 的表达式

πr ,猜想出椭圆

2

+

=1 的面

S=πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 32.设 N=2
n

n∈N ,n≥2

*

,将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号 别 于奇数 偶数 置的数

1 ,2 ,… ,N 的 N 个 出,并按原 C
i

置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中 放入对 的前 和 个

序依次

置,得到排列 P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN,将 段作 C 换,得到 P2,

操作

换,将 P1

段, 段 个数,并对 个数,并对 段作 C 中的第 4 个 置. 1 2 N=16 时,x7 N=2
n

2≤i≤n﹣2 时,将 Pi

2 段, 段 于 P2

换,得到 Pi+1,例如, 于 P2 中的第 时,x173 于 P4 中的第

N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8, 时 x7 个 置 个 置.

n≥8

33.设 f x = 则 x2015= 34.对于数对序列 P =bk+max{Tk﹣1 P P 和 a1+a2+…+ak .

,x=f x 有唯一解,f x0 =

,f xn﹣1 =xn,n=1,2,3,…,

a 1 ,b 1



a 2 ,b 2

,…,

a n ,b n

,记 T1 P

P

=a1+b1,Tk P

,a1+a2+…+ak}

2≤k≤n ,

中 max{Tk﹣1 P ,T 2 个数对

,a1+a2+…+ak}表示 Tk﹣1

个数中最大的数, P 的值 a ,b , c ,d 组 的数对 较

对于数对序列 P 2,5 , 4,1 ,求 T1 记 m a,b,c,d 四个数中最小的数,对于 序列 P T2 P a ,b , c ,d 和 P′ , c ,d 5 ,2 , , a ,b 和 T2 P′ 的大小 在 五个数对 11,8

,试 ,

别对 m=a 和 m=d , 4 ,6

种情况 组

16,11

11,11 P

的所有数 .

对序列中,写出一个数对序列 P 使 T5 P
第5

最小,并写出 T5
共 44

的值

只需写出结论

35.设 A 是 的和

m×n 个实数组 m,n

的 m 行 n 列的数表,满足 的数表构 |,|C2

个数的绝对值 m,n

大于 1, 所有数 ,记 ri 记K A A A |r1 A

零,记 s

所有

的集合.对于 A∈S A |,…,|Cn A

的第ⅰ行各数之和 1≤ⅰ≤m ,Cj A |,|R2 A |,…,|Rm A |,|C1 A 1 如表 A,求 K A 的值 1 0.1 2 1 a 求K 3 有f 1 2 3 A 给定 αx1+ 的最大值 设数表 A∈S 2,3 1 ﹣0.3 形如 1 b

A 的第 j 列各数之和 1≤j≤n

|中的最小值.

﹣0.8 ﹣1 c ﹣1 ,求 K x2 ,则 A 的最大值. 及 D 中的任意 x 定 在D 数 x1、x2,恒 的 C 函数. f

整数 t,对于所有的 A∈S 2,2t+1 在D x2 ≤αf 1 ﹣α x1 + 1﹣ α 域 f

36.设 f x 是定

的函数,若对任何实数 α∈ 0,1

证明函数 判断函数 若f x 是定 域

是定

的 C 函数 是否 定 域 的 C 函数,请说明理 T,试证明 f x 是R 的 C 函数.

R 的函数,

最小

周期

、合情推理 37.对于集合 A,定 算“⊕” 通 法的 面给出 A=R, 普通 法 了一种 算“⊕”,使得集合 A 中的元素间满足条件 如果 元素 e 是集合 A 对 算“⊕”的 在元素 e∈A, 使得对任意 a∈A,都有 e⊕a=a⊕e=a,则 元素. 个集合及相 算“⊕” 普通 的 法
* *

元素.例如 A=R, 元素 1 是集合 R 对普

在 1∈R,使得对任意 a∈R,都有 1×a=a×1=a,所 算“⊕”

A={Am×n|Am×n 表示 m×n 矩 ,m∈N ,n∈N }, 算“⊕” 矩 加法 A={X|X?M} 中 M 是任意非空集合 , 算“⊕” 求 个集合的交集. 中对 A. 38.学生的语文、数学 文、 数学 绩都 果一组学生中没有哪 学生,则 A. 2 人 y z ,y z 确的是 A. y, z, w ∈S , x , B. y,w 编号 ?S y, z, w ∈S , x , C. y,w ∈S m∈N ,m
*

算“⊕”有

元素的集合序号 B. 绩均被评定 , 一 中 学生 B. 3 人 于学生 C. 个等级,依次 少有一门 学生 绩好, 并 C.4 人 集合 S={ x,y,z 立}.若 绩高于 , 则 在语文 D. “优秀”“合格”“ 合格”.若学生 “学生 绩相 学生 、 数学 绩 相 的语 的 绩好”. 如

一组学生最多有 D. 5 人 |x,y,z∈X, 条件 x 列选

39.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n}. x,z x y 恰有一个

x,y,z 和 z,w,x 都在 S 中,则 y, z, w ?S, x, D. y,w ∈S n , 别编号 ,全部商品共有 n 类

y, z, w ?S, x, y,w ?S
*

40.某电商在“

十一”期间用电子支付系统进行商品买

n∈N





1,2,…,n,买家共有 m

1,2,…,m.若

第6

共 44

aij= 数是 A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m C. a11a12+a21a22+…+am1am2 41.在

1≤i≤m,1≤j≤n,则

时购买第 1 类和第 2 类商品的人

B. a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2 D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m x 轴的 “ 半轴 余 始边,若终边 函数”对于 余 过点 P x0,y0 函数 y=sicosx,

面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ sicosθ=

|OP|=r r>0 ,定 有 学得到 该函数的值域 该函数 该函数 该函数的 则 些性质中 性质 [﹣

, “sicosθ”



]

象关于原点对 象关于直线 x= 调递增区间 确的个数有 B. 2 个 0,+∞ ,则 C.3 个 个数 a+ ,b+ ,c+ 的值 B. 都小于 2 大于 2 一种 算“⊕”, D. 有性质 少有一个 小于 2 D. 4 个 对 [2k﹣ ,2k+ ],k∈Z,

A. 1 个 42.设 a,b,c∈ A.都大于 2 C. 少有一个 43.在实数集 R 中定 对任意 a∈R,a⊕0=a 对任意 a,b,c∈R, 函数 f A. 4 44.若 数 f x 的一个“生 则使函数 y=g x A. C. 0 α 、 、丙 去过的城市 没去过 C 城市 们 可判断 人去过 α x =x⊕

对任意 a,b∈R,a⊕b=b⊕a a⊕b ⊕c=c⊕ ab + a ⊕c + b⊕ c ﹣2c.

x>0

的最小值 C.2 x0 +f x0+1 +…+f x0+n =63 点”坐标满足 D. 1 立,则 x 0 ,n
2

B. 3 在 x0∈N+,n∈N+,使 f



点” . 已知函数 f x =2x+1, x∈N 的“生 x 轴无交点的 a 的 值范围是 B. D. 学被 到是否去过 A,B,C

次函数 g x =ax +bx+c,

α 0 α 个城市时, 或 α>

45. 说 说 丙说

多,但没去过 B 城市 一城市 . x﹣1 +y =1 x≥1 和 x﹣3 +y =1 x≥3 , 条直 D,如 中 影部 ,记 D 绕 y 轴旋转一周而 的几何体
第7 共 44
2 2 2 2

去过的城市

46.在 xOy 面 ,将 个半圆 线 y=1 和 y=﹣1 围 的封 形记

?.过 0,y 一个

|y|≤1

作 ? 的水

截面,所得截面 值

4π .

+8π.试利用祖恒原理、

放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体

47.已知函数 f x ,若对给定的△ ABC,它的 f a 命 函数 f 函数 f 若函数 f 若函数 f 若函数 f x =x +1 是“保 x = x 是定 x>0 在R x =kx 是“保
2

边的长 a,b,c 均在函数 f x f x 是“保

的定

域内, 列

,f b

,f c



角形的

边的长,则

角形函数”,给出

角形函数” 是 “保 角形函数” 值范围是 0,+∞ x 是“保 角形函数” 0,+∞ ,则 f 角形函数”,则实数 k 的 的周期函数,值域 是“保

x = 的序号是

角形函数”,则实数 t 的 .

值范是[﹣ ,4].

中所有真命

48.函数 f x 的定 域 A,若 x1,x2∈A f x1 =f x2 时总有 x1=x2,则 函数,例如,函数 f x =2x+1 x∈R 是 函数. 列命 函数 f x =x x
2

f x

x∈R =2
x



函数 函数 x1 有 ≠f x2

指数函数 f 若f x 在定 域 若f x 中的真命 四、类 49.如

x∈R 是

x1≠x2,则 f 函数,x1,x2∈A 有 调性的函数一定是 函数 函数,则函数 f 是 . x 在定 域 写出所有真命

调性.

的编号

推理 ,P 是 曲线 的动点,F1、F2 是 曲线的焦

点, M 是∠F1PF2 的

线

的一点, 等腰 角形, M

. 有一

学用

方法研究|OM| 延长 F2M . 类

可知△PNF2 交 PF1 于点 N,

F2N 的中点, 得

似地 P 是椭圆

的动点, F1、 F2 是椭圆的焦点, M 是∠F1PF2



线

的一点,

.则|OM|的

值范围是

第8

共 44

A.

B.

C.

D.

50. 在

面几何中有如

结论

角形 ABC 的内

圆面

S1, 外接圆面 球体

S2, 则

= , V2 ,

推广到空间可 则 A. =

得到类似结论,已知

四面体 P﹣ABC 的内

V1,外接球体

B.

C.

D.

第9

共 44

2015

高考数学

心知识点常考 理
参考答案 试 解析

型精析

推理

证明

一、 出若 球都 中, A. C. 考点 析

纳推理 表红球,b 个球的所有 、“a”表示 表蓝球,c 法可 1+a 表黑球, 加法原理及 1+b 法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中 “1”表示一个 列各式 出若
5

1.用 a

的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如 出来.

出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都 出或都 1+b
3 4 5 5

类推,

展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中 所有的蓝球都
2 3 4 5 5 2

个球, 1+a

出的所有 1+c 1+c
5 5

法的是 1+a 1+a
5 5

1+a+a +a +a +a

B. D.

1+b+b +b +b +b 1+b
5 2

2

3

4

5 3

1+c
4 5

1+b+b +b +b +b 进行简

1+c+c +c +c +c

纳推理

的合情推理.

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推理和证明. 据“1+a+b+ab 表示出来,如 表示把红球和蓝球都 一种球, 得 出来”, 解决. 出若 所有 个球,可 法 1 个球都
2 3 4 5

“1”表示一个球都 别

、“a”表示 据

出一个红球,而“ab”则 , 一

红球蓝球黑球,

计数原理, 、或

解答 解 从 5 个无区别的红球中 个、5 个球,共 6 种情况,则 出若 个球, 黑球中 出若

1 个、2 个、3 个、4
5

1+a+a +a +a +a

从 5 个无区别的蓝球中

所有的蓝球都 出或都 个球,可 1 个球都 所有 法 1+

出,得 所有 法 1+b 从 5 个有区别的 、或 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个 c+ c +
2 2

球,共 6 种情况,则

c +
3 4

3

c +
5

4

c = 1+c 1+b
5

5

5

, 据
5

法计数原理得,适合要求的所有 故选 A. 点评 要考查了 属于中档 2.观察 A.28 考点 列各式 . 计数原理和

法是

1+a+a +a +a +a

1+c

. 规律,

纳推理, 合理的利用

目中所给的实例, 要遵循

a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b = B.76 C.123 D.199

2

2

3

3

4

4

5

5

10

10

纳推理. 阅读型.

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析 观察可得各式的值构 的递推规律求解. 解答 解

数列 1,3,4,7,11,…,所求值 数列 1,3,4,7,11,…, 数列中的第十 .

数列中的第十 规律 从第

. 起,
10

据数列 等于
10

观察可得各式的值构 前相邻 的和,所求值 数列

继续写出 故选 C. 点评 考查

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, …, 第十 要 数列的 用 .要充

123, 即 a +b =123, . 的 化特征,构

纳推理,实际

找数值、数

第 10

共 44

造出数列,从特殊到一般,进行 3.观察 列各式 A.3125 考点 析 解答 解
8 5 6

纳推理.
7 2011

5 =3125,5 =15625,5 =78125,…,则 5 B.5625 C.0625



四 数 D.8125

纳推理. 计算 规律的
5

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. 5
6

据所给的

的幂的形式,在写出 是一个周期,用 2011 除
7 10 11

面的几

,观察出

些幂的形式是有一定的

四个数
9

4 看出余数,得到结果.

5 =3125,5 =15625,5 =78125,

5 =390625,5 =1953125,5 =9765625,5 =48828125… 可 看出 些幂的最 4 是 4 周期 化的, 2011÷4=502…3, 5 的 故选 D. 点评 考查
2011





5 的

7



数相

,是 8125, 目的解法一般是看出式子的 化规律, 据

纳推理,考查幂的周期性, 种

规律做出要求的结果. 4.有 10 个 球,将它们任意 堆 球个数的 B.55 纳推理. 等差数列 答案. 解答 解 第 依 最 设 假设 完 完 该是 次 类推 一次 的和 该一堆是 1 个球, 一堆 1 个,则 1×1=1 T n, n﹣1 = n n﹣1 =45 次 堆时都是 出 1 个球, 一堆 n﹣1 个,则 一堆 n﹣2 个,则 1× 1× n﹣1 n﹣2 =n﹣1 =n﹣2 第一次 该一堆是 1 个球, 该一堆是 1 个球, 堆,求出 ,如 堆 球个数的 能再 ,再将 堆 球任意 的和

堆并求出 A.45 考点

去,直到 C.90

,则所有 D.100

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数列 次

推理和证明. 出一个, 别求出 一次的 ,然 等差数列的性质相加可得

析 用特殊值法,假设

则 Tn=1+2+…+

n=10 时,T10= ×10× 故选 点评 A

10﹣1

要考查等差数列的求和.属 一.解决



.在解答选择填空 用.

时,特殊值法是常用方法之

的关键在于特殊值法的

5.观察



表中的数据 面数 5 F 6
第 11

多面体 棱柱

点数

V

棱数 9
共 44

E

五棱锥 立方体

6 6

6 8

10 12 F+V﹣E=2 .

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 考点 纳推理. 纳法 析 通过 而发 解答 解 方体 棱柱 棱锥 据 E=2 再通过举四棱锥、 因 故答案 点评 式,着 6.观察 1 =1 1 ﹣2 = ﹣3 1 ﹣2 +3 =6 1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10 … 照 规律,第 n 个等式可
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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推理和证明. 方体、 棱柱、 棱锥的面数 F、 立, F、 点数 点数 V 和棱数 E,得到规律 得到 E, 的答案. F+V﹣E=2,进 式对任意凸多面体都

凸多面体的面数

V 和棱数

F=6,V=8,E=12,得 F+V﹣E=8+6﹣12=2 F=5,V=6,E=9,得 F+V﹣E=5+6﹣9=2 F=4,V=4,E=6,得 F+V﹣E=4+4﹣6=2. 几个例子,猜想 凸多面体的面数 F、 点数 V 和棱数 E 满足如 棱柱、…等等,发 F+V﹣E=2 点数、面数和棱数, 纳出一般结论,得到欧拉 础 . 述 式都 立. 关系 F+V﹣

纳出一般结论 F+V﹣E=2

几个特殊多面体,观察它们的 考查了

纳推理和凸多面体的性质等知识,属于

列等式



考点

纳推理. 压轴

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规律型. 边是 整数的 方和或差, 据 一规律得第 n 个等式 组求和法求和,最 边 利用 1 ﹣2 +3 ﹣4 +… ﹣ 母表示即可.
2 2 2 2

析 等式的 1 解答 解
2 2 2 2 n ﹣1 2

n .再 n 奇数和偶数讨论,结合 观察 列等式
2 2 2

1 =1 1 ﹣2 = ﹣3 1 ﹣2 +3 =6 1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10 … n 奇数和偶数讨论 边 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…
2 2 2 2 2 2 2

第 n 个等式

﹣1

n﹣1 2

n .

第 12

共 44

n n

偶数时,

组求和

1 ﹣2

2

2

+
2

3 ﹣4
2

2

2

+…+[ 3 ﹣4
2 2

n﹣1 +…+[

2

﹣n ]=﹣ n ﹣2
2

2

, n ﹣1
2

奇数时,第 n 个等式 +n =
2

边=

1 ﹣2

+



]=﹣





,第 n 个等式



故答案 点评 意看 7. 个 希腊 角形数 k 边形数中第 n 个数的表达式 角形数 方形数 N 五边形数 边形数 N … 可 考点 析 推测 N n ,k 的表达式, 计算 N 10,24 = 1000 . n ,6 =2n ﹣n,
2

. 化 ,找等式的规律时,既要 别看 右 边的规律, 要注

考查规律型中的数 右 边之间的联系.

达哥拉

学派的数学家研究过各种多边形数,如 .记第 n 个 k 边形数 N

角形数 1,3,6,10,…,第 n n,k k≥3 , 列出了部

, n ,4 =n , ,
2

纳推理. 计算 .

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观察已知式子的规律,并改写形式, 纳可得 k=24 入可得答案. , , , 纳推理可得 故 故答案 1000 纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决
第 13 共 44

,把 n=10,

解答



原已知式子可化



, =1100﹣100=1000

点评

考查

的关键,属





8.

x∈R,|x| 1 时,有如

表达式

1+x+x +…+x +…=

2

n







dx+

xdx+
2

x dx+…+
3

2

x dx+…=
n+1

n

dx

从而得到如 请 据 × +

等式

1× + ×

+ ×

+…+

×

+…=ln2

材料所蕴含的数学思想方法,计算 ×
2

+

×

3

+…+

×

n+1

=



考点 析

纳推理. 压轴

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规律型.
0 1 2 2 n n n

据 式定理得 Cn +Cn x+Cn x +…+Cn x = 1+x 得到结论. 式定理得 Cn +Cn x+Cn x +…+Cn x =
0 1 2 2 n n +…+Cn x = 0 1 2 2 n n

, 边 ,



整理

,整理即可

解答 解

1+x

n

对 Cn +Cn x+Cn x 边 时 得

1+x

n

从而得到如

等式 =

故答案 点评
0

. 要考查
1

式定理的

用.是道好 1+x
n

,解决 时

的关键在于对 ,要是想 到 一点,就 难 了.

2 2 n n Cn +Cn x+Cn x +…+Cn x =

, 边

9.观察

列 ,

等式



… 照 规律,第五个 等式 1+ + + + + .

第 14

共 44

考点 析

纳推理. 探究型.

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设中所给的 一个数的 出第五个 母是 等式 2n+1, 母是



等式

纳出它们的共性 方,右边

边式子是连续 式中的 子

整数

方的倒数和,最 n=5,即可得

等式序号 n+1 的

等式序号 n 的关系是

等式的序号 n+1,得出第 n 个 等式 + 整数 ,… 方的倒数和,最

等式,即可得到通式,再

解答 解 1+ 得出 右边 故可

已知中的 ,1+

边式子是连续 式中的 子

一个数的 母是

母是

等式序号 n+1 的



等式序号 n 的关系是 2n+1, 等式是 1+ …+

等式的序号 n+1, , n≥2 ,

纳出第 n 个



第五个

等式

1+

+

+

+

+

故答案 点评 考查 考查了 10.观察 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25

1+

+

+

+

+ 据所给的 , 个 等式得出它们的共性, 得出通式,

纳推理, 解

的关键是 型

纳推理考察的

有一般性

列等式

4+5+6+7+8+9+10=49 … 照 考点 规律,第 n 个等式 纳推理. 计算 . n+ n+1 + n+2 +…+ 3n﹣2 = 2n﹣1
2



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析 观察所给的等式,等号右边是 12,32,52,72…第 n 个 该是 2n﹣1 2, 边的式子的 数 右边的 数一 , 一行都是从 一个行数的数 开始相加的,写出结果. 解答 解 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 1 ,3 ,5 ,7 …第 n 个 该是 边的式子的 数 右边的 数一 , 一行都是从 一个行数的数
2 2 2 2

观察

列等式

2n﹣1

2

开始相加的,
第 15 共 44



规律,第 n 个等式

n+

n+1

+

n+2

+…+

3n﹣2
2

=

2n﹣1

2

, 的数目 式

故答案 点评 考查

n+ n+1 + n+2 +…+ 3n﹣2 = 2n﹣1 纳推理,考查对于所给的式子的理解, 要看清楚式子中的 是一个易错 .

子的个数之间的关系,

11.设函数 f f1 f2 f3 f4 … 据 n∈N
*

x x = f1 f2 f3 x x x

= , = = =

x>0

,观察

x =f x =f x =f x =f

, , ,

实,

纳推理可得 x =f fn﹣1 x = .

n≥2 时,fn

考点

纳推理. 压轴 有 部

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规律型. 的结构特点, 先观察 子, 只有一 组 , 并 系数 没有 常数 化, 在观察 的 母, 组 ,是一个一次函数, 据一次函数的一次 化特点,得到

析 观察所给的前四 结果. 解答 解 f1 f2 f3 f4 … 所给的函数式的 而 第 fn 母是 部 的数 部 的系数 第一部 函数 f x =f x =f x =f x =f x

= , = = =

x>0

,观察

x = f1 f2 f3 x x x

, , ,

子 的和组

都是 x, ,
n n

别是 1,3,7,15…2 ﹣1, 别是 2,4,8,16…2

x =f

fn﹣1

x

=

第 16

共 44

故答案 点评 式, 12.给 n 个自 方形互 共有 21 种, 考查 纳推理,实际 是一个综合 而 相连的 少有 考查的 点是给出一个数列的前几 较 妙. n≤4 时,在所有 n=6 时,黑色 43 种, 的着色方案中,黑色 方形互 相邻的着色方案 结果用数值表示 写出数列的通

目,知识点结合的

方形着黑色或白色. 所示 推断,

相连的着色方案如 个黑色

方形相邻的着色方案共有

考点 析

纳推理 计算

计数原理的 压轴 .

用.

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据所给的涂色的方案,观测相互之间的方法数,得到规律, 据 值时的结果数 得到结果. 利用给小 方形涂色的所有法数 去黑色

个规律写出

n

方形互

相邻的着色方案,

解答 解

意知

n=1 时,有 2 种,

n=2 时,有 3 种, n=3 时,有 2+3=5 种, n=4 时,有 3+5=8 种, n=5 时,有 5+8=13 种, n=6 时,有 8+13=21 种, n=6 时,黑色和白色的小 方形共有 2 种涂法, 黑色 方形互 相邻的着色方案共有 21 种结果, 少有 故答案 点评 的 考查简 目, 作 个黑色 21 43 用,考查观察规律,找出结果的过程,是一个 的排列组合 难. 较麻烦 高考 目 前几 方形相邻的着色方案共有 64﹣21=43 种结果,
6

的排列组合及简

第 17

共 44

13.设 n≥2,n∈N, Tn,则 T2=0,T3=

2x+ ﹣

n



3x+

n

=a0+a1x+a2x +…+anx ,将|ak| 0≤k≤n ﹣ ,…,T n …, 中 Tn =

2

n

的最小值记

,T4=0,T5=



考点 析

纳推理 规律型.

进行简

的合情推理.

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要考查了合情推理, 利用 T3 = ﹣ ,T4=0,T5= ﹣

纳和类 ,及,

进行简 2x+

的推理, 属容易
n

. 据已知中 T2=0,
2 n



3x+

n

=a0+a1x+a2x +…+anx , 析,

将|ak| 0≤k≤n 的最小值记 Tn, 们易得, n 的 值 偶数时的规律,再进一 n 奇数时,Tn 的值 n 的关系,综合便可给出 Tn 的表达式. 解答 解 T0=0 T1 = = T2=0 T3 = T4=0 T5 = T6=0 … ﹣ ﹣ 据 Tn 的定 ,列出 Tn 的前几

规律,

们可

推断

Tn =

故答案

点评

纳推理的一般

骤是

1 通过观察个别情况发 猜想
3 3

某些相

性质

2 从已知的相

性质中推出一个明确表达的一般性命 14.观察 式 考点
3


3 3 2

列等式
3 3 3

1 +2 =3 ,1 +2 +3 =6 ,1 +2 +3 +4 =10 ,…,
3 3 2

3

3

2

3

3

3

2



述规律,第五个等

1 +2 +3 +4 +5 +6 =21 纳推理. 规律型.



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第 18

共 44

析 解答 发 解答 解 别

类的方法是从特殊的前几个式子进行 一个等式 所给等式 边 边的 立方和,右边 数依次 别

析找出规律.观察前几个式子的 边的

化规律, 数 数依次 数

方的形式, 1,2 1,2,3 , 边的 数

数在增加,右边的

在增加.从中找规律性即可. 1,2,3,4 ,右边的 3,6,10, 边
3 3 3

注意

3+3=6,6+4=10

数内在规律可知 10+5+6=21.又
3 3 3 3 3 3 2

第五个等式

1,2,3,4,5,6,右边的

立方和,右边
3 3 3 2

方的形式,故第五个等式

1 +2 +3 +4 +5 +6 =21 . 故答案 1 +2 +3 +4 +5 +6 =21 . 点评 所谓 纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它 . 纳推理的思维进程是从个别到一般,而演 一个必然地得出的思维进程.属于 15.观察 列等式 础 . 演 推理的思维进程 是从个别到一般,是

推理的思维进程



规律,第 n 个等式可

1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+

2

2

2

2

﹣1

n+1 2

n =

﹣1

n+1



考点 析 解答 解
2 2 2 2

纳推理. 据 1 =1, 1 ﹣2 = ﹣
2 2 2 2 2

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推理和证明. 中所给的规律,进行 意知 2 ﹣1
2 2 2

纳猜想,得出

结论.

=﹣
2

2 ﹣1 3 ﹣2 ﹣
2 2

2+1 4 ﹣3
2

=﹣ 3+2 =﹣
n+1

1+2

= ﹣3 , =﹣10,
n+1

1 ﹣2 +3 =1+

3 ﹣2

2

=1+

=1+2+3=6, 1+2+3+4

1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣ … 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+ 照 点评
2 2 2 2

2 ﹣1

2

﹣1

n+1 2

n =
2

﹣1
2 2

1+2+3+…+n =
n+1 2

﹣1

. . 找,

规律,第 n 个等式可

1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+ ﹣1

2

n = ﹣1

n+1

考查的是 属于中档 .

纳推理,要难点在于发

中的规律,要注意从

算的过程中去

16.观察 想 1+ +

列式子 1+ +…+

,1+

+ .

,1+

+

+

,…, 据

式子可 猜

考点

纳推理.

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第 19

共 44

推理和证明. 析 确定 , 解答 解 1+ 1+ 1+ …, 1+ + +…+ , + + + 等式的 子是 3 边各式 首 子是 1, 母是自然数的 ,2 方和,右边 母 最 一 的 母相 差的等差数列,即可求得结论.

已知中的式子 , , ,

故可得 故答案 点评 17.给出 考查

1+

+

+…+



纳推理,考查学生

析解决

的能力,属于





列等式 ?

× =1﹣

… 等式推出一个一般结论 对于 n∈N ,
*

=

1﹣



考点 析

纳推理. 已知中的

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纳猜想型. 个式子, 们 析等式 边 一个累加 的 化趋势,可 纳出 通 数均

×

, 析等式右边的式子,发

一个式了均

差的形式, 被

1, 解答 解

数 已知中的等式



即可得到结论.

× =1﹣

?

第 20

共 44

… 等式 对于 n∈N ,
*

们可

推出一个一般结论 =1﹣ .

故答案 点评 些相 18.观察 2 =7+9 3 =25+27+29 4 =61+63+65+67 … 照 考点 规律,第 4 个等式可 纳推理. 5 =121+123+125+127+129 .
4 4 4 4

=1﹣ 纳推理, 纳推理的一般 骤是

. 某

考查的知识点是 性质 列等式, 2

1

通过观察个别情况发 猜想 .

从已知的相

性质中推出一个明确表达的一般性命

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推理和证明. 析 观察可知 一行的数 都是连续的奇数, 奇数的个数等于所在的行数, 行的第一数 去所在行数, 都是连续的奇数, 奇数的个数等于所在的行数, 行的第一 去所在行数, 行的第一个数,则 an1= 4+1
3

行数+1 的 3 次方 解答 解 观察可知 数 设行数 因

一行的数

行数+1 的 3 次方 n,用 an1 表示
4

n+1

3

﹣n,

第 4 行的第一个数
4

﹣4=121,

则第 4 个等式 点评

5 =121+123+125+127+129, 的方法, 进一 解决 即可.

故答案 5 =121+123+125+127+129. 解答的关键是发 规律, 利用规律找出一般的解决

19.设 n f 16

整数,

,计算得 f 2
n

,f 4 >2, ≥ n∈N
*



>3,观察

述结果,可推测一般的结论



考点 析

纳推理. 探究型.

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据已知中的等式 等式 边数的 化规律及等式

,f 4 >2, 边数的关系, 纳推断

,f 16 >3,…, 们 ,即可得到答案.



解答 解

观察已知中等式
第 21 共 44

得 f 4 >2 ,



, f 16 …, 则f 2 故答案 点评
n

>3 ,
*

≥ f 2
n

n∈N ≥

n∈N

*

. 某些相 性质 2 从已知的相

纳推理的一般

骤是

1 通过观察个别情况发 猜想

性质中推出一个明确表达的一般性命

20. 在△ABC 中, 等式 立 在凸五边形 ABCDE 中, 等式

立 在凸四边形 ABCD 中, 等式 立. 据 情况,猜想在凸 n

边形 A1A2…An n≥3 中的

立的

等式是



考点 析

纳推理. 综合 .

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据已知中△ABC 中,

等式



在凸四边形 ABCD 中,

等式 立. 观

立 在凸五边形 ABCDE 中, 等式 察 解答 解 子 多边形边的关系及 母中 π 的系数 多边形边的关系,即可得到答案. 等式

已知中已知的多边形角的倒数所满足的 等式 等式 等式 立

△ABC 中,

凸四边形 ABCD 中, 凸五边形 ABCDE 中, …

立 立

推断凸 n 边形 A1A2…An

n≥3

中的

立的

等式是

故答案

第 22

共 44

点评 数

考查的知识点是

纳推理, 中

据已知





多边形边的关系及

母中 π 的系

多边形边的关系,是解答

的关键.

21.观察等式 ×1 + ×1 + ×1=1 , ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 ,… 等式都是
3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

立的,照
2


2

去,第 2015 个
2 2 2

立的等式是
2

×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015



考点 析 律 解答 解

纳推理.

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推理和证明. 据已知中的式子, 析等式 ,可得答案. 已知中的等式 边各 的 数 化情况 式子编号之间的关系, 纳出规

观察等式 ×1 + ×1 + ×1=1 , ×2 + ×2 + ×2=1 +2 , ×3 + ×3 + ×3=1 +2 +3 , … 纳可得 第n个 立的等式是 ×n + ×n + ×n=1 +2 +3 +4 +…+n ,
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2

n=2015 时,第 2015 个 立的等式是 ×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015 故答案 点评
3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2

×2015 + ×2015 + ×2015=1 +2 +3 +4 +…+2015 骤是 1 通过观察个别情况发 猜想 . 某些相

2

2

纳推理的一般

性质

2 从已知的相

性质中推出一个明确表达的一般性命 22.从 1=1,1﹣4=﹣ 个等式 考点 析

1+2 ,1﹣4+9=1+2+3,1﹣4+9﹣16=﹣ ﹣1
n+1

1+2+3+4 .

,…,推广到第 n

1﹣4+9﹣16+…+ 纳推理.

?n =

2

﹣1

n+1

? 1+2+3+…+n

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考查的知识点是 1﹣4+9﹣16=﹣

纳推理,解







1=1,1﹣4=﹣ 1+2 ,1﹣4+9=1+2+3, 算 之间的关系, 纳 中的规律,并

1+2+3+4 ,…,中找出各式
第 23 共 44

大胆猜想,给出答案. 解答 解 1=1= 1+2 ﹣1 =
1+1

?1
2+1 3+1

1﹣4=﹣

﹣1 ﹣1

? 1+2 ﹣1 ﹣1
4+1

1﹣4+9=1+2+3= 1﹣4+9﹣16=﹣ … 所 猜想

? 1+2+3 ? 1+2+3+4
2 2

1+2+3+4 =

1﹣4+9﹣16+…+

n+1 n+1

?n =

﹣1

n+1 n+1

? 1+2+3+…+n 2 从已知的相

故答案 1﹣4+9﹣16+…+ ﹣1 ?n = ﹣1 点评 纳推理的一般 骤是 1 通过观察个别情况发 性质中推出一个明确表达的一般性命 23.对大于或等于 2 的 2 =1+3 2 =3+5 据 考点 析 解答 述
3 2

? 1+2+3+…+n 某些相 性质

猜想



整数的幂
2 3

算有如

解方式

3 =1+3+5 3 =7+9+11
3

2

4 =1+3+5+7… 4 =13+15+17+19…
2 3

解规律,若 m =1+3+5+…+11,p

解中最小

整数是 21,则 m+p=

11



纳推理. 规律型.
2

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据 m =1+3+5+…+11,p 的 p,即可求得 m+p 的值. 解 m=6 2 =3+5,3 =7+9+11, 4 =13+15+17+19, 5 =21+23+25+27+29, p 的
3 3 3 3 3 3 3

3

解中最小的

整数是 21,利用所给的

解规律,求出 m、

m =1+3+5+…+11=

2

=36,

解中最小的数是 21,

p =5 ,p=5 m+p=6+5=11 故答案 点评 考查 11 纳推理,考查学生的阅读能力,确定 m、p 的值是解
2

的关键.

24.设函数 f0 则方程

x =1﹣x ,f1 有 4

x

=|f0

x ﹣ |,fn

x =|fn﹣1

x 有

﹣ 2
n+1

|,

n≥1,n≥N .



个实数

,方程

个实数

考点 析

纳推理 计算 .



在性及

的个数判断.

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n=1 时, 程即 , 或

即| ﹣x |= ,求得方程 . 而 可得

2

有 4 个解.

n=2 时,方 有 2 个解.
3

第 24

共 44

n=3 时,方程即 有 2 个解.依 解答 解 n=1 时,
4

或 类推,方程
2 2

,而

可得 的解的个数.

即| ﹣x |= , 解得 x = , 或 x = . x=± 有 4 个解.

2

, 或 x=±



故方程

n=2 时,方程

即|

|=

,即

,或

.而

可得 有 2 个解.
3

有 4 个解,

有 4 个解,故

n=3 时,方程

,即|

|=

,即



, 而 故 … 依 类推,方程 4 ,2 . 要考查方程的
n+1

可得 有 2 个解.
4

有 2 个解,

3

有 2 个解,

3

有 2

n+1

个解.

故答案 点评 25.某 1 2 3 4 5



在性及个数判断,属于中档 ,

. 一个常数.

学在一次研究性学
2 2 2 2 2 2 2 2

中发

五个式子的值都等于

sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17° sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15° sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12° sin ﹣18° +cos 48°﹣sin
2 2 2 2

﹣18° cos48°

sin ﹣25° +cos 55°﹣sin ﹣25° cos55° 试从 述五个式子中选择一个,求出 个常数 据 的计算结果,将该 纳推理. 学的发 推广 角恒等式,并证明你的结论.

考点 析

析法和综合法 计算 . 选择 2 , 推广,得到 直接利用

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sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,可得 角恒等式 sin α+cos 式 入等式的
第 25
2 2

2

2

个常数的值.

30°﹣α ﹣sinαcos 30°﹣α = .证明方法一 边,化简可得结果.
共 44

角差的余

证明方法

利用半角 +

式及

角差的余 ﹣sinα

式把要求的式子化 cos30°cosα+sin30°sinα ,即 1﹣

+ cos2α+ ﹣ 解答 解
2

sin2α ,化简可得结果.

sin2α﹣ 选择 2
2

,计算如 个常数 . 角恒等式 sin α+cos
2 2

sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,故 据 ﹣α 的计算结果,将该 学的发

推广,得到

30°

﹣sinαcos 30°﹣α = .

证明 ﹣sinα
2

方法一 sin α+cos 30°﹣α ﹣sinαcos 30°﹣α =sin α+ cos30°cosα+sin30°sinα
2 2

2

2

2

=sin α+ cos α+ sin α+ 方法 ﹣sinα =1﹣ =1﹣ + 点评
2 2

sinαcosα﹣

sinαcosα﹣ sin α= sin α+ cos α= . +

2

2

2

sin α+cos 30°﹣α ﹣sinαcos 30°﹣α = cos30°cosα+sin30°sinα + cos60°cos2α+sin60°sin2α sin2α﹣ sin2α﹣ ﹣

sin2α﹣ sin α =1﹣ ﹣

2

+ cos2α+ = . 要考查 角差的余 .

式, 倍角

式及半角

式的

用,考查

纳推理

及计算

能力,属于中档 、演 26. A. f 推理

列函数中, x =|x| 的演 .

满足 f B. f

2x =2f x

x

的是 C.f x =x+1 D. f x =﹣ x

=x﹣|x|

考点 进行简 计算 析 解答 解 f f f 点评 别 f

推理.

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据函数解析式求出 f x

2x

2f x

x ,看

是否相等,从而可得到所求. x ,故满足条件 满足条件

=|x|,f 2x =|2x|=2|x|=2f 2x =2x﹣|2x|=2 =2x+1≠2 x+1 2x =﹣2x=2 的演

,故满足条件 x ,故

x =x﹣|x|,f x =﹣x,f

x﹣|x| =2f =2f

x =x+1,f 2x

﹣x =2f 推理,
第 26

x ,故满足条件 时考查了
共 44

故选 C 要考查了进行简 算求解的能力,属于 础 .

27.

数学

著 九章算术 中“开立圆术”曰 置

尺数, 十 V,求

之,九而一,所得开 直径 d 的一个 列 似 似 式

立方除之,即立圆径,“开立圆术”相 d≈ 的一个是 A. d≈ B. d≈ .人们 用过一些类似的

于给出了已知球的体 似 式.

据 π=3.14159…..判断,

式中最精确

C.

d≈

D.

d≈

考点 进行简 计算 析

的演 压轴

推理. .

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据球的体 求出最接

式求出直径,然 真实值的那一个即可.



中的常数

,表示出 π,将四个选

逐一

入,

解答 解 V= ,解得 d= 设选 中的常数 ,则 π=

选 选

A C

入得 π= 入得 π=

=3.375 选 =3.14 π 的真实值 式及 选

B D

入得 π= =3 入得 π= =3.142857

于 D 的值最接 故选 D. 点评

要考查了球的体 大小相 B. 4 的演 推理.

估算,

时考查了计算能力,属于中档 在在棋盘 . 将他们叠



28.弹子跳棋共有 60 的弹子尽可能的少,那 A.11 考点 进行简 综合 析 解答

的球形弹子,

四面体球堆,试剩 D. 0

剩余的弹子共有

C.5

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推理和证明. 设构造过程,第 k 层 k 个连续自然数的和,求出前 k 层的个数,即

四面体的特征和 可得出结论. 解 依 设第 k 层
2

四面体
2 2

1+2+…+k= +

, ≤60

则前 k 层共有 k 最大 故选 B. 点评 29. 考查进行简 面四个推 无限 无限

1 +2 +…+k

1+2+…+k =

6,剩 4, 的演 推理,考查学生 推理 段论形式 小前提 小前提 析解决 推理 π 的能力,属于中档 确的是 结论 小数 π 是无限 结论 循 小数 循 π 是无理数 .

过程符合演 循 循

A.大前提 B. 大前提

小数是无理数 小数是无理数

是无理数

π 是无限

第 27

共 44

C. 大前提 D.大前提 考点 演 析 解答 解 据

π 是无限 π 是无限 推理的意

循 循 .

小数 小数

小前提 小前提

无限



小数是无理数 结论 无限

结论 循

π 是无理数

π 是无理数

小数是无理数

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推理和证明. 段论推理的标准形式,逐一 对于 A,小前提 推理 段论形式 符合演 析四个答案中的推 符合演 推理 推理 符合演 确 段论形式 推理 段论形式 础 . 过程,可得出结论. 段论形式 大前提间逻辑错误, 推理

对于 B,符合演

对于 C,大小前提颠倒, 故选 点评 B

对于 D,大小前提及结论颠倒, 要考查推理和证明,

段论推理的标准形式,属于

30.“因
x

指数函数 y=a 是增函数 大前提 ,而 y=

x

x

是指数函数 小前提 ,所

y=

是增函数 结论 ”, 面推理的错误是 A.大前提错 结论错 C. 推理形式错 结论错 方法.

B. 小前提错

结论错 结论错

D.大前提和小前提错都

考点 演 常规

推理的 型.

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析 对于指数函数来说, 函数, 结论 解答 解 0 a
x

数的范围

,则函数的增
x





a>1 时,函数是一个增 个大前提是错误的,得到

0

a

1 时,指数函数是一个

函数 y=a 是增函数

a>1 时,函数是一个增函数, 1 时,指数函数是一个 函数

y=a 是增函数 个大前提是错误的, 从而 结论错. 故选 A. 点评 考查演 解函数的 31. B. C. 圆 x +y =r 的面
2 2 2

推理的 调性,

方法,考查指数函数的 析出大前提是错误的.

调性,是一个



,解

的关键是理

列推理是

纳推理的是 椭圆 和 Sn 的表达式

A . A ,B

定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹

a1=1,an=3n﹣1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n πr ,猜想出椭圆
2

+

=1 的面

S=πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 考点 演 析 解答 解 推理的 考查的是选 纳推理的定 A 是演 方法 进行简 的演 推理.

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纳推理的定 ,即是否是 类

, 判断一个推理过程是否是 特殊到一般的推理过程. 推理.
第 28 共 44

纳推理关键是看他是否符合

推理,C、D

只有 C,从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 纳推理. 故选 B 点评 判断一个推理过程是否是 到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类 到 它类似的 判断一个推理过程是否是演 中找出“ 32.设 N=2
n

和 Sn,是从特殊到一般的推理,所

B是

纳推理关键是看他是否符合 推理关键是看他是否符合类 推理关键是看他是否符合演 .

纳推理的定 推理的定 推理的定

, 即是否是 , 即是否是

特殊 特殊

一个特殊的推理过程. , 能否从推理过程 个组 部

段论”的 n∈N ,n≥2
*

,将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号 别 于奇数 偶数 置的数

1 ,2 ,… ,N 的 N 个 出,并按原 C
i

置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中 放入对 的前 和 个

序依次

置,得到排列 P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN,将 段作 C 换,得到 P2,

操作

换,将 P1

段, 段 个数,并对 个数,并对 段作 C 中的第 4 个 置. 1 2 N=16 时,x7 N=2
n

2≤i≤n﹣2 时,将 Pi

2 段, 段 于 P2

换,得到 Pi+1,例如, 于 P2 中的第 时,x173 方法 6 个

N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8, 时 x7 置 3×2
n﹣4

n≥8

于 P4 中的第 的演

+11



置.

考点 演 压轴 析 数 1 2

推理的 .

进行简

推理.

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意,可按照 C 据C 序号组 置.

换的定

把 N=16 时 P2 列举出,从中查出 x7 的 别

置即可 16 段, 段的 1 ,3 , 5 ,7 , 于

换的定 及 纳 1 中的规律可得出 P4 中所有的数 16 差的等差数列, 一到十 段的首 的序号

9,11,13,15,2,4,6,8,10,12,14,16,再 173=16×10+13,即可确定出 x173 P4 中的 解答 解 1 N=16 时,P0=x1x2…x16. 段, 段 个数,并对 C 换的定 可得 P1=x1x3…x15x2x4…x16,

又将 P1

段作 C

换,得到 P2,故 置 段, 2 首

P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16, 知 x7 于 P2 中的第 6 个 2 考察 C 换的定 及 1 计算可发 ,第一次 C 换 ,所有的数 段的序号组 第 次C 换 第一段的序号 差 1 2 的等差数列, 首 ,第 段序号 第一段序号 段的数 首 别 3 1 首 ,第 4 2 段序号 首 ,所有的数据 四段, 序号组 段序号

差的等差数列, ,第四段序号

,第

4 首 ,依 类推可得出 P4 中所有的数 差的等差数列, 一到十 段的首 的序号 故 x173 个, 点评 于 13 13 首
n ﹣4

16 段, 段的数 序号组 16 1, 9, 5, 13, …, 于 173=16×10+13, 于 N=2
n



的那一段的第 11 个数, 于第 3×2

n≥8
n﹣4



段的数 置.

有2

n ﹣4

的是第四段,故 x173 纳推理, 解 进要

n﹣4

+11=3×2

+11 个 规律,

故答案 3×2 +11 考查演 推理及 算

的关键是理解



, 找出

是探究型



大,极易出错,解

谨认真,避免马虎出错

第 29

共 44

33.设 f x = 则 x2015= .

,x=f x 有唯一解,f x0 =

,f xn﹣1 =xn,n=1,2,3,…,

考点 进行简 综合 析

的演

推理.

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推理和证明. ,从而 xn=f xn﹣1 = 差等于 的等差数列. ,f x =x 有唯一解, , ﹣ = , 能求出数列

已知得 f x =

{ 解答 解

}是首 f x= x =

1008,

能求出结果.

,解得 x=0 或 x= ﹣2, a= ,f x = ,

意知 ﹣2=0,

xn=f xn﹣1 ﹣ 又 x1=f x0 数列{

=



= , = , 1008, 2015﹣1 =1008, 差等于 的等差数列.

}是首 =1008+

? =2015,

x2015= 故答案 点评

. . 时要认真审 , a 2 ,b 2 , 注意函数性质和等差数列的性质的合理 a n ,b n ,记 T1 P P 用.

考查函数值的求法, 解 a 1 ,b 1

34.对于数对序列 P =bk+max{Tk﹣1 P P 和 a1+a2+…+ak

,…,

=a1+b1,Tk P

,a1+a2+…+ak}

2≤k≤n ,

中 max{Tk﹣1 P ,T 2 个数对

,a1+a2+…+ak}表示 Tk﹣1

个数中最大的数, P 的值 a ,b , c ,d 组 的数对 较

对于数对序列 P 2,5 , 4,1 ,求 T1 记 m a,b,c,d 四个数中最小的数,对于 序列 P T2 P a ,b , c ,d 和 P′ , c ,d 5 ,2 , , a ,b 和 T2 P′ 的大小 在 五个数对 11,8

,试 ,

别对 m=a 和 m=d , 4 ,6

种情况 组

16,11

11,11 P

的所有数 .

对序列中,写出一个数对序列 P 使 T5 P
第 30

最小,并写出 T5
共 44

的值

只需写出结论

考点 析

析法和综合法. 定 求 T1 定 P 析法. 利用 T1 P ,T 2

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=a1+b1,Tk P P 的值

=bk+max{Tk﹣1 P

,a1+a2+…+ak}

2≤k≤n ,可

T2 P =max{a+b+d,a+c+d},T2 P′ =max{c+d+b,c+a+b}, 类讨论,利用 ,可 较 T2 P 和 T2 P′ 的大小 据 定 ,可得结论. T1 T2 P P =2+5=7,T2 P =1+max{T1 P ,2+4}=1+max{7,6}=8 =max{a+b+d,a+c+d},T2 P′ =max{c+d+b,c+a+b}. a+c+d≤c+b+d, a+c+d≤c+a+d, P′ , 16,11 , 11,8 , 5 ,2 =52. 用 定 ,T 5 是解 P 最小 , 11,11 T2 P ≤T2 P′

解答 解

m=a 时,T2 P′ =max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b, a+b+d≤c+d+b, m=d 时,T2 a+b+d≤c+a+b, 数对 T1 点评 4 ,6 P′ =max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b, T2 P ≤T2 P′

无论 m=a 和 m=d,T2 P ≤T2

P =10,T2 P =26 T3 P 42,T4 P =50,T5 P 考查 定 ,考查学生 析解决 的能力, 确理解 m×n 个实数组 m,n 的 m 行 n 列的数表,满足 的数表构 |,|C2

的关键.

35.设 A 是 的和

个数的绝对值 m,n

大于 1, 所有数 ,记 ri 记K A A A |r1 A

零,记 s

所有

的集合.对于 A∈S A |,…,|Cn ﹣0.8 ﹣1 c ﹣1 ,求 K A

的第ⅰ行各数之和 1≤ⅰ≤m ,Cj A |,|R2 A |,…,|Rm A |,|C1 A 1 如表 A,求 K A 的值 1 0.1 2 1 a 求K 3 A 给定 的最大值 设数表 A∈S 2,3 1 ﹣0.3 形如 1 b

A 的第 j 列各数之和 1≤j≤n

|中的最小值.

整数 t,对于所有的 A∈S 2,2t+1 的演 定 推理 进行简

A 的最大值.

考点 进行简 压轴 析 1

的合情推理.

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推理和证明. 求出 r1 A ,r2 A ,c1 A ,c2 A ,c3 A , A |,|R3 证明 k A A |,|C1 =1 A |,|C2 A |,|C3 A |中

据 ri A ,Cj A ,定

再 据K A |r1 A |,|R2 的最小值,即可求出所求. 2 先用 证法证明 k A

≤1,然

在即可 证明

3 首先构造满足 是最大值即可. 解答 解 1 =﹣1.8

的 A={ai,j} i=1,2,j=1,2,…,2t+1 ,然

意可知 r1 A =1.2,r2 A =﹣1.2,c1 A =1.1,c2 A =0.7,c3 A

第 31

共 44

K 2 若k

A =0.7 先用 A 证法证明 k A ≤1 a >0 >1

则|c1 A |=|a+1|=a+1>1, 理可知 b>0, a+b>0 目所有数和 即 a+b+c=﹣1 c=﹣1﹣a﹣b 目条件矛盾 k 易知 k 3 A ≤1. a=b=0 时,k A 的最大值 k A A =1 1 ﹣1 0



的最大值

. 的 A={ai,j} i=1,2,j=1,2,…,2t+1 ,

首先构造满足

. 计算知,A 中 个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和 , 0,



. 面证明 是最大值.若 . k A 的定 知A的 一列 一列 个数之和的绝对值都 一列 列和的符号相 负, 对 ,第 行行和 超过 t 个 小于 x,而 , 性 个绝对值 超过 1 然,则 在一个数表 A∈S 2,2t+1 ,使得

的数的和,

绝对值

超过 2,故 A 的 个数符号均

个数之和的绝对值都在区间[x,2]中. 绝对值均 妨设 g 负. 数和 少于 t+1 个负数, 个 小于 x﹣1 即 小于 x﹣1. h,则 g≤t,h≥t+1.

于 x>1,故 A 的 外, 对 性

设 A 中有 g 列的列和

,有 h 列的列和

妨设 A 的第一行行和 超过 1 即 个 数均

考虑 A 的第一行, 前面结论知 A 的第一行有 数的绝对值 个负数均 超过 1﹣x .因 2t+1﹣ t+2 x x,

超过 1 , 个负数的绝对值

|r1 A |=r1 A ≤t?1+ t+1

1﹣x =2t+1﹣ t+1 x=x+

故 A 的第一行行和的绝对值小于 x,
第 32

假设矛盾.因
共 44

k

A

的最大值



点评 析

要考查了进行简 的能力,属于难 在D x2 ≤αf

的演 .

推理, 及



的理解和

证法的

用, 时考查了

36.设 f x 是定 有f 1 2 3 αx1+ 1 ﹣α

的函数,若对任何实数 α∈ 0,1 x1 + 1﹣ α 域 f x2 ,则 f x

及 D 中的任意 定 在D

数 x1、x2,恒 的 C 函数.

证明函数 判断函数 若f x 是定 域

是定

的 C 函数 是否 定 域 的 C 函数,请说明理 T,试证明 f x 是R 的 C 函数.

R 的函数,

最小

周期

考点 进行简 析

的合情推理. 用.

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函数的性质及

1 对任意实数 x1,x2 及 α∈ 0,1 ,证得 f αx1+ x2 ,结合 C 函数的定 ,可得结论 2 可得 3 假设 f x 是 R 得f R 有f = = , 即f αx1+ 1 ﹣α x2 ≤αf x1 + 1﹣ α f x2 , x 在R 的 C 函数. 1 αx1+ 对任意实数 x1,x2 及 α∈ 1 ﹣α x2 ﹣αf x1 ﹣ 0 ,1 1﹣ α , f x2 x1=﹣3,x2=﹣1, ,

1﹣α x2 ≤αf x1 + 1﹣α f

时 f αx1+ 1﹣α x2 >αf x1 + 1﹣α f x2 ,

是 C 函数 的 C 函数,若 f 在m n m,n∈[0,T ,使得 f m ≠f n .可 周期 T 矛盾,进而得到 f x 是

是常数函数,

x 的最小

解答 证明

=

是 C 函数 2 说明如 举 例 , ﹣αf x1 ﹣ 1﹣ α f x2 , αx1+ 1 ﹣α x2 >αf x1 + 1 ﹣α f x2 , 是 C 函数,

x1=﹣3,x2=﹣1, 则f = 即f αx1+ 1 ﹣α x2

是 C 函数
第 33 共 44

3 若

假设 f 在m n m

x 是R f n

的 C 函数, ,使得 f m ≠f n . , ,则 0 α 1, n=αx1+ 1 ﹣α x2,

m,n∈[0,T

i 若f

记 x1=m,x2=m+T,

那 f n =f αx1+ 1﹣α x2 ≤αf x1 + 1﹣α f x2 =αf m + 1﹣α f m+T =f m , f m m f n >f 矛盾 n , , 是常数函数, T 的函数, f x 的最小 周期 T 矛盾. . 的 C 函数. 最值及数列的求和,难点在于对 C 函数的理解,属于难 是常数函数, 理 可得到矛盾 ii 若 f

记 x1=n,x2=n﹣T, f x 又因 所 所 点评 f f f x x 在[0,T x 是周期 在R 是R

考查函数的概念

、合情推理 37.对于集合 A,定 算“⊕” 通 法的 面给出 A=R, 普通 法 了一种 算“⊕”,使得集合 A 中的元素间满足条件 如果 元素 e 是集合 A 对 算“⊕”的 在元素 e∈A, 使得对任意 a∈A,都有 e⊕a=a⊕e=a,则 元素. 个集合及相 算“⊕” 普通 的 法
* *

元素.例如 A=R, 元素 1 是集合 R 对普

在 1∈R,使得对任意 a∈R,都有 1×a=a×1=a,所 算“⊕”

A={Am×n|Am×n 表示 m×n 矩 ,m∈N ,n∈N }, 算“⊕” 矩 加法 A={X|X?M} 中 M 是任意非空集合 , 算“⊕” 求 个集合的交集. 中对 A. 考点 进行简 计算 析 解答 解 据 算“⊕”有 元素的集合序号 B. 的合情推理. 推理和证明. 元素的定 若 A=R, ,对 算“⊕” 个集合及相 普通 矩 的
*

C.

D.

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算“⊕”进行检验即可. 法
*

法,而普通

满足交换律,故没有 算“⊕” 求 矩 加法,

元素

A={Am×n|Am×n 表示 m×n 元素 全 0 的矩 A={X|X?M} 元素 故选 D. 点评 考查了学生对 定 集合 M.

,m∈N ,n∈N }, , 算“⊕”

中 M 是任意非空集合

个集合的交集,

的接

用能力,属于 个等级,依次 少有一门 学生 绩好, 并



. 的语 的

38.学生的语文、数学 文、 数学 绩都 果一组学生中没有哪 学生,则

绩均被评定 , 一 中 学生

“优秀”“合格”“ 合格”.若学生 , 则 在语文 “学生 绩相 学生 、 数学 绩 相

于学生

绩高于

绩好”. 如

一组学生最多有
第 34 共 44

A. 2 人 考点 进行简 析 解答 解 语文 因 显然 故选 点评

B. 3 人 的合情推理.

C.4 人

D. 5 人

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推理和证明. 别用 ABC 用 ABC 别表示优秀、及格和 别表示优秀、及格和 最多只有一个, 及格, 据 中的内容推出文 绩得 A,B,C 的学生各最多只有 1 个,继而推得学生的人数. 及格,显然语文 绩得 A 的学生最多只有 1 个, 绩得 B 得

得 C 最多只有一个, 学生最多只有 3 人, AC B. 要考查了合情推理,关键是找到语 中的关键词, 集合 S={ 养了推理论证的能力. |x,y,z∈X, 条件 x 列选 BB CA 满足条件,

故学生最多有 3 个.

39.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,…,n}. y z ,y z 确的是 A. B. y, z, w ∈S , x , y,w ?S x,z x y 恰有一个 立}.若

x,y,z

x,y,z 和 z,w,x 都在 S 中,则 D. y, z, w ?S, x, y,w ∈S

C. y, z, w ∈S , x , y,w ∈S

y, z, w ?S, x, y,w ?S

考点 进行简 证明 解答 解 时 只有 B 点评

的合情推理. 压轴 .

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析 特殊值排除法,

x=2,y=3,z=4,w=1,可排除错误选 x,y,z 和

,即得答案.

特殊值排除法, x=2,y=3,z=4,w=1,显然满足 立,故选 B 的合情推理,特殊值验证法是解决 的关键,属 础 . n∈N
*

z,w,x 都在 S 中,

y,z,w = 3,4,1 ∈S, x,y,w = 2,3,1 ∈S,故 A、C、D 均错误 考查简

40.某电商在“ 编号 aij= 数是

十一”期间用电子支付系统进行商品买 m∈N ,m
*

,全部商品共有 n 类 别编号





1,2,…,n,买家共有 m

n



1,2,…,m.若

1≤i≤m,1≤j≤n,则

时购买第 1 类和第 2 类商品的人

A.a11+a12+…+a1m+a21+a22+…+a2m C. a11a12+a21a22+…+am1am2 考点 进行简 析 已知中 aij= 的合情推理.

B. a11+a21+…+am1+a12+a22+…+am2 D.a11a21+a12a22+…+a1ma2m

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推理和证明. 1≤i≤m,1≤j≤n,可知 ai1ai2 表示第 i

第 35

共 44

买家 解答 解

时购买第 1 类和第 2 类商品,进而得到答案. aij= 1≤i≤m,1≤j≤n, 买家 时购买第 1 类和第 2 类商品,

ai1ai2 表示第 i

时购买第 1 类和第 2 类商品的人数是 a11a12+a21a22+…+am1am2 故选 C 点评 aij= 考查的知识点是进行简 的合情推理, 中 确理解 是解答的关键.

1≤i≤m,1≤j≤n 的含

41.在

面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ sicosθ=

x 轴的 “

半轴 余

始边,若终边 函数”对于 余

过点 P x0,y0 函数 y=sicosx,

|OP|=r r>0 ,定 有 学得到 该函数的值域 该函数 该函数 该函数的 则 些性质中 性质 [﹣

, “sicosθ”



]

象关于原点对 象关于直线 x= 调递增区间 确的个数有 B. 2 个 的合情推理. 性质 C.3 个 D. 4 个 对 [2k﹣ ,2k+ ],k∈Z,

A. 1 个 考点 进行简 析

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角函数的 首先 据

推理和证明. sin x﹣ ,然 据 函数的 象和性质逐一判

意,求出 y=sicosθ=

断即可. 解答 解 所 据 sicosθ= 角函数的定 = 可知 x0=rcosx,y0=rsinx, =sinx﹣cosx= sin x﹣ ,

因 所 即该函数的值域 因 所 f 0 = 象 sin [﹣ sin 关于原点对 x﹣ , ]

, ,

=﹣1≠0,

该函数

第 36

共 44

x= f 所 = 该函数 因 所 y=f

时, sin = , 对 x﹣ , ,

象关于直线 x= x =sicosθ= ≤x﹣ ≤x≤2kπ+ 调递增区间 些性质中 sin

2kπ﹣

≤2kπ+ , [2k﹣

可得 2kπ﹣ 即该函数的 综 故选 点评 ,可得 C.

,2k+

],k∈Z. . ,解答 的关键是首先求出函数

确的有 3 个

要考查了

角函数的

象和性质,属于中档

y=sicosθ 的表达式.

42.设 a,b,c∈ A.都大于 2 C. 少有一个

0,+∞

,则

个数 a+ ,b+ ,c+ 的值 B. 都小于 2

大于 2 的合情推理. 推理和证明.

D.

少有一个

小于 2

考点 进行简 综合 析 利用 解答 解 利用 故假设 所 故选 点评

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证法,即可得出结论. 假设 3 个数 a+ 2,b+ 2,c+ 2,则 a+ +b+ +c+ 6, 假设所得结论矛盾,

等式可得 a+ +b+ +c+ =b+ +c+ +a+ ≥2+2+2=6, 立, 少有一个 小于 2.

,3 个数 a+ ,b+ ,c+ 中 D. 考查 证法,考查进行简 一种

的合情推理, 有性质





证法是关键.

43.在实数集 R 中定 对任意 a∈R,a⊕0=a 对任意 a,b,c∈R, 函数 f A. 4 x =x⊕

算“⊕”,

对任意 a,b∈R,a⊕b=b⊕a a⊕b ⊕c=c⊕ ab + a ⊕c + b⊕ c ﹣2c.

x>0

的最小值 C.2
第 37 共 44

B. 3

D. 1

考点 进行简 计算 析 据

的合情推理 定 .

函数的值域.

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中给出的对 仅

法则,可得 f x = x⊕ x=1 时等号 立,

⊕0=1+x+ ,利用 x 的最小值

等式求最值可 f 1 =3.

得 x+ ≥2, 解答 解 f 据

可得函数 f

意,得 x⊕ ⊕0=0⊕ x? + x⊕0 + ⊕0 ﹣2×0=1+x+

x =x⊕ = x =1+x+

即f

x>0,可得 x+ ≥2,



x= =1,即 x=1 时等号 x =x⊕ x >0

立 f 1 =3

1+x+ ≥2+1=3,可得函数 f 故选 点评 B 给出 定

的最小值

,求函数 f x 的最小值.着 的合情推理等知识,属于中档 x0 +f x0+1

考查了利用 . x0+n =63 点”坐标满足

等式求最值、函数的解

析式求法和简 44.若

在 x0∈N+,n∈N+,使 f

+…+f

立,则

x 0 ,n
2



数 f x 的一个“生 则使函数 y=g x A. C. 0 α α

点” . 已知函数 f x =2x+1, x∈N 的“生 x 轴无交点的 a 的 值范围是 B. D.

次函数 g x =ax +bx+c,

α 0 α 或 α>

考点 进行简 析 据“生

的合情推理. 用. 点“的定

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函数的性质及

,求出 9,2 , 1,6

函数 f x 的一个“生
2

点” .

据函数

f x =2x+1,x∈N 的“生 点”坐标满足 次函数 g x =ax +bx+c,可求出 a,b,c 的关 系,进而 据函数 y=g x x 轴无交点,△ 0,求出 a 的 值范围. 解答 解 f 9 个“ 生 又 f x =2x+1,x∈N,满足 +f 11 =63,故 9 ,2 函数 f x 的一个“生 点” . 函数 f
2

+f 10 点” .

f 1 +f 2 +f 3

+f 4 +f 5 +f 6 +f 7 =63,故 1,6 点”坐标满足 次函数 g x

x 的一

函数 f x =2x+1,x∈N 的“生 81a+9b+c=2,a+b+c=6, b=﹣ ﹣10a,c=9a+ x ,

=ax +bx+c,

解得

若函数 y=g
2

x 轴无交点,
2

则△=b ﹣4ac=

﹣4a

9a+
共 44

0,

第 38

解得 故选 点评 B



考查的知识点是合情推理, 次函数的 答的关键.

象和性质, 确理解“生

点“的定

,是解

45. 说 说 丙说



、丙 去过的城市

学被

到是否去过 A,B,C

个城市时,

多,但没去过 B 城市 一城市 A .

没去过 C 城市 们 可判断 人去过 去过的城市 的合情推理.

考点 进行简 析 可先 解答 解 但 再 则 故答案 点评 说 丙说

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推理和证明. 推出,可能去过 A 城市或 B 城市,再 说 们 A. 要考查简 的合情推理,要抓
2

推出只能是 A,B 中的一个,再



即可推出结论. 没去过 C 城市,则 去过的城市 人去过 去过的城市 可判断 一城市, A. 关键,逐
2

可能去过 A 城市或 B 城市, 只能是去过 A,B 中的任一个,

多,但没去过 B 城市,则

推断,是一道
2


2



46.在 xOy 面 ,将 个半圆 线 y=1 和 y=﹣1 围 的封 形记 ?.过 0,y 一个 |y|≤1 作 ? 的水

x﹣1 +y =1 x≥1 和 x﹣3 +y =1 x≥3 , 条直 D,如 中 影部 ,记 D 绕 y 轴旋转一周而 的几何体 截面,所得截面 值
2

4π .

+8π.试利用祖恒原理、

放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体

2π +16π

考点 进行简 计算 析 解答

的合情推理. 压轴

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阅读型. 截面的面 ,可猜想水 放置的圆柱和长方体的 ,然 直接求 长方体的体 ? 的水 作和即可. 截面的截面 4 +8π, 该截面的截面 部

目给出的 ? 的水 出圆柱的体 解 因 组 一部 , 几何体

定值 8π, 看作是截一个


第 39

8π, 高
共 44

2 的长方体得到的, 对于 4



看作是把一个半径 高 2π 的圆柱

1, 所示,

放得到的,如

个几何体 体 相等, 即 ? 的体
2

? 放在一起,
2 2

据祖恒原理,



行水

面的截面

相等,故它们的

π?1 ?2π+2?8π=2π +16π. 几何体 ? 的水 截面面 想到水 放置的

故答案 2π +16π. 点评 考查了简 的合情推理,解答的关键是 圆柱和长方体的有关 ,是中档 .

47.已知函数 f x ,若对给定的△ ABC,它的 f a 命 函数 f 函数 f 若函数 f 若函数 f 若函数 f x =x +1 是“保 x = x 是定 x>0 在R x =kx 是“保
2

边的长 a,b,c 均在函数 f x f x 是“保

的定

域内, 列

,f b

,f c



角形的

边的长,则

角形函数”,给出

角形函数” 是 “保 角形函数” 值范围是 0,+∞ x 是“保 角形函数” 0,+∞ ,则 f 角形函数”,则实数 k 的 的周期函数,值域 是“保 .

x = 的序号是 的合情推理. 推理和证明. x 是 是“

角形函数”,则实数 t 的

值范是[﹣ ,4].

中所有真命 考点 进行简 综合

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析 判断函数 f 则 a+b>c,
2

角形函数”,只

对任意的 ,f b

角形,设它的 ,f c

边长



a ,b ,c ,

妨假设 a≤c,b≤c,判断 f a 边之和大于第 边即可. 边长 别

是否满足任意

数之和大于第

个数,即任意 f x =

f x =x +1,举例即可说明错误 x>0 ,设△的 a,b,c, a+b>c, 妨设 a≤c,b≤c,则 f a a,b,c 构 边求得 k +f b = + ,f a +f b >f c ,命 确 在函数 f x =kx 的定 域内任 个 数 a,b,c, 妨设 a>b>c>0, 角形的条件得到 a+b>c,再 的范围判断命 举例说明命 b >f c 确 错误. 在 f a 、f b 、f c 形, 类讨论, 边长的 均值 角形,则 f a 母的 +f 值范 恒 立,将 f 值范围 x 解析式用 离常数法 等式可得 对 的函数值 ka,kb,kc 可构 一个

角形的

因对任意实数 a、b、c,都 围,整个式子的 的值域,然 数k 的

t﹣1 的符号决定,故 f a +f b 的最小值

据函数的

调性求出函数

讨论 k 转化

f c 的最大值的

等式,进而求出实

值范围.
第 40 共 44

解答 解 2

对于函数 f x =x +1,2、3、4 可 构 一个 角形的 边, 在 =5,f 3 =10,f 4 =17 构 一个 角形的 边,命 错误 x = +f b = x>0 + ,设△的 边长 = 别 a ,b , c , , a+b>c, f a +f b ,f c

2



域内,但 f

对于 f 则f a 确

妨设 a≤c,b≤c, >f c ,命

对于函数 f x =kx, 妨设 a>b>c>0,则 a+b>c,对 kb,kc 是一个 则 k>0, +∞ ,命 对于定 期,则 在R 角形的 真命 的周期函数 f x ,值域是 n 0,+∞ 边, ka+kb>kc,即 k a+b >kc, 式在 k>0 时恒

的函数值

ka,kb,kc,若 ka, 值范围是 0, 的一个周

立,则实数 k 的 T >0

,设 T

是f x

在 n>m>0,有 f

m =1,f

=2, 角形的 边,又 f λT+m =1,f λT+m =1,

整数 λ> f n =2 能组

,则 λT+m,λT+m,n 是 角形, +f b 命 >f =1+ c 错误.

意可得 f a 于f x =

对于?a,b,c∈R 都恒 ?e =1+
x

立, ,

t﹣1=0,f x =1, 时,f a ,f b ,f c 都 满足条件. t﹣1>0,f 理1 f a t﹣1 理 f a 综 f +f 0 ,f ≤f b +f b b b x x ≤ 在R ,1 >f c 在R 1, >f c 是 f c 函数,1 ≤ , ,解得 1 ≤f a t≤4. 1, f a ≤1+

1,构

一个等边

角形的

边长,

t﹣1

=



,可得 2≥ 是增函数, ≤f c ,可得 2×


1, ≥1,解得 1>t≥﹣ .

可得,﹣ ≤t≤4, 确的命 是 .



. 定 的函数模型的 用 ,是 较容易出错的 目,

故答案 点评 通过命 是中档 .

真假的判定,考查了

48.函数 f x 的定 域 A,若 x1,x2∈A f x1 =f x2 时总有 x1=x2,则 函数,例如,函数 f x =2x+1 x∈R 是 函数. 列命 函数 f 若f x x =x x
2

f x

x∈R =2
x



函数 函数 x1≠x2,则 f
第 41

指数函数 f

x∈R 是

函数,x1,x2∈A

x1
共 44

≠f

x2

在定

域 是



调性的函数一定是 x .

函数 域 有 的编号 调性.

若f x 中的真命 考点 进行简 综合

函数,则函数 f

在定

写出所有真命

的合情推理. 推理和证明.

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析 利用 函数的定 f x1 =f x2 时总有 x1=x2, 别对五个命 进行判断,可 得出 确结论. 2 2 2 解答 解 对于函数 f x =x , f x1 =f x2 得 x1 =x2 ,即 x1=﹣x2 或 x1=x2,所 是 函数, 错误 对于函数 f x =2 ,
x

f

x1

=f

x2





x1=x2,所



函数,



对于 f x 所 是 确的

函数,则 f x1 =f x2 时,有 x1=x2,逆否命 x2

是 x1≠x2 时,有 f x1 ≠f x2 , 是 函数, 确. 的关键. 确

若函数 f x 是 调函数,则满足 f x1 =f 在函数是 函数,但函数 f x 在定 域 故答案 点评 四、类 49.如 要考查 推理 ,P 是 曲线 . 函数有关的命

时,有 x1=x2,所 有 调性,故 函数的定 是解决

的真假判断,利用

的动点,F1、F2 是

曲线的焦

点, M 是∠F1PF2 的

线

的一点, 等腰 角形, M

. 有一

学用

方法研究|OM| 延长 F2M . 类

可知△PNF2 交 PF1 于点 N,

F2N 的中点, 得

似地 P 是椭圆

的动点, F1、 F2 是椭圆的焦点, M 是∠F1PF2



线

的一点,

.则|OM|的

值范围是

A.

B.

C.

D.

第 42

共 44

考点 类 压轴 析 椭圆

推理.

菁优网版 权所有

探究型 曲线都是

圆锥曲线的定 面

、性质 目中 据

方程. 定值的动点的轨迹, 故它们的研究方 椭圆的 曲线的性质,探究|OM|值方法,类 等腰 角形, M F2M 的中点,

到定点和定直线距离之 值范围.

法、性质都有相似之处, 们 性质,推断出椭圆中|OM|的 解答 解

延长 F2M 交 PF1 于点 N,可知△PNF2

则|OM|= |NF1|=a﹣|F2M| a ﹣c 0 |F2M| a

|OM| c= 值范围是

|OM|的 故选 D. 点评 类

推理的一般 一类

骤是

1 找出



物之间的相似性或一 猜想 .



2 用一类

物的

性质去推测

物的性质,得出一个明确的命

50. 在

面几何中有如

结论

角形 ABC 的内

圆面

外接圆面 S1, 球体

S2, 则

= , V2 ,

推广到空间可 则 A. =

得到类似结论,已知

四面体 P﹣ABC 的内

V1,外接球体

B.

C.

D.

考点 类 计算 析 解答 解 如 面

推理. 形类 从 ,设 面

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空间

置关系 空间 形类

距离. 维得到,类 维类 维, ,DE= 面几何的结论,确定 四面体的外接 ,即可求得结论.

形, 维类 空间 形,从

球和内

球的半径之

四面体的棱长

a,则 AE=

设 OA=R,OE=r,则 R= ,r= 球的半径之 球体 是 3 1 V2 之 等于

四面体的外接球和内 故 四面体 P﹣ABC 的内

V1,外接球体

故选 C

第 43

共 44

点评

考查类

推理,考查学生的计算能力,

确计算是关键.

第 44

共 44


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