【高考数学】2018最新数学高考一轮复习刺金四百题:第366—370题(含答案解析)

感知高考刺金 366 题 已知点 A , B 是双曲线 值为 解法一:韦达定理 当 k A B 存在时,设 l A B ?x y ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? y ? kx ? b ? 2 2 x 2 2 ? y 2 2 ?1 右支上两个不同的动点,O 为坐标原点, 则OA OB 的最小 . : y ? kx ? b ?1 ? k ? x 2 2 ? 2 kbx ? b 2 ? 2 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 kb 1? k 2 , x1 x 2 ? b k 2 2 ? 2 ?1 O A O B ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x 1 x 2 ? ? k x1 ? b ? ? k x 2 ? b ? ? ? k 2 ? 1? x 1 x 2 ? kb ? x 1 ? x 2 ??b 2 ? ?1 ? k 2 ? b k 2 2 ? 2 ?1 ? 2k b 1? k 2 2 2 ? b 2 2 ? 2 ? 2k k 2 2 ?1 ? 2? 4 k 2 ?1 ? 2 当 k A B 不存在是, ? ?x 2 ? y ? 2 ?x ? m ,则 O A O B ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? m 2 ? 2 ? m 2 ? 2 综上, O A OB ? 2 解法二: 由于 A , B 两点运动,故采取“一定一动”的原则,不妨先在 B 点确定的情况下,让 A 点运 动到最小值,然后再让 B 点运动,即取最小值的最小值。 如图,不妨设直线 O B ?x y ? ?1 ? 由? 2 2 ? y ? kx ? 2 2 : y ? kx ? k ? 0 ? 2 ,可得 x B ? 2 1? k 2 2 , yB ? 2k 2 2 1? k 故 OB ? 2 1? k 2 ? 2k 2 2 1? k ? 2?k 2 ? 1? 2 1? k 显然点 A 运动到, 在点 A 处的双曲线的切线 (即 A C ) 与OB 垂直时,此时 O A 在 O B 上的投影达到最小值 此时切线 A C 的方程为 x ? ky ? 2 ?1 ? k 2 ? ? 0 故 O A 在 O B 上的投影等于点 O 到直线 A C 的距离为 2 ?1 ? k 1? k 2 2 ?1 ? k 1? k 2 2 ? 2 故OA OB ? OC ? OB ? ? ? 2?k 2 ? 1? 2 1? k ? 2 解法三:设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? O A O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? ? x1 x 2 ? 2 2 x1 ? 2 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 x 2 ? 2 x1 x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 2 2 2 2 ?? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x 2 ? 4 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? 2 ? 2 又因为 x 1 所以 O A , x2 ? 2 ,所以 x1 x 2 ? 2? ? 2 ? 2 O B ? x1 x 2 ? ? x1 x 2 解法四:设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? x1 ? y 1 ? 2 2 2 , x 22 ? y2 ? 2 2 2 两式相乘得 ? x12 即 x 12 x 22 2 2 ? y1 ?? x 2 2 2 ? y2 2 ??4 2 ? y 1 y 2 ? 4 ? x1 y 2 ? x1 y 2 2 2 等式两边同时加上 2 x 1 x 2 y 1 y 2 ,得 ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 故OA O B ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 2 2 ? 4 ? ? x 1 y 2 ? y1 x 2 ? 2 ? 4 解法五:三角换元 设A? 2 sec ? , 2 ta n ? ? ,B? ? 2 sec ? , 2 ta n ? ? 所以 O A OB ? 2 cos ? cos ? 2 s in ? s in ? cos ? cos ? ? 2? 1 ? s in ? s in ? cos ? cos ? OA OB ? 2 ? 1 ? s in ? s in ? cos ? cos ? ? 4? 1 ? s in ? s in ? cos ? ? cos ? 1 ? s in ? s in ? cos ? cos ? 2 2 ? 4? 1 ? s in ? s in ? 2 ? ? s in ? ? s in ? 2 2 ? ? 4? 1 ? s in ? s in ? 2 ? 2 s in ? s in ? ? 2 解法六:前同解法五,令 y 故 故 2 2 2 ? ,则 y c o s ? c o s ? ? s in ? s in ? ? 1 y c o s ? ? s in ? c o s ? ? ? ? y c o s ? ? s in ? ? 1 2 2 2 ??1 即 y 2 cos 2 故 y2 ? ? s in ? ? 1 2 ? 1 ,又因为 y ? 0 ,所以 y ? 1 ,OA OB ? 2 y ? 2 感知高考刺金 367 题 设关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 和 x 2 ? x ? 2a ? 0 的实根分别为 . x1 , x 2 和 x3 , x4 ,若 x1 ? x 3 ? x 2 ? x 4 ,则 a 的取值范围是 1 x 解: x 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ? a ?

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