椭圆中的 “定值”命题


椭圆中的 “定值”命题
圆锥曲线中的有关“定值”问题,是高考命题的一个热点,也是同学们学习中的一个难点。 笔者在长时间的教学实践中,以椭圆为载体,探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题,当然 属于瀚宇之探微,现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助,也希望同学们能在双曲线、 抛物线等的后续学习中,能够利用类比的方法,探索总结出相关的结论。

x2 y2 命题 1 经过原点的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 M、 N 两点, P 是椭圆上的动点, a b
直线 PM、PN 的斜率都存在,则 k PM ? k PN 为定值 ?

b2 . a2
2 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y12 (*) , ? ? ? 2 x0 ? x1 x0 ? x1 x0 ? x12

证明: 设 P( x0 , y0 ) , 则 k PM ? k PN M( x1 , y1 ) , N(? x1 ,? y1 ) ,

2 x0 x12 x2 y2 2 2 2 2 而点 P、M 均在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,故 y 0 ? b (1 ? 2 ) , y1 ? b (1 ? 2 ) ,代入(*)便可得到 a b a a

k PM ? k PN ? ?

b2 . a2

练习: 已知 A、B 分别是椭圆 点,则 k PA ? k PB ?

x2 y2 ? ? 1 的左右两个顶点,P 是椭圆上异于 A、B 的任意一 16 9
9 ). 16

. (答案: ?

x2 y2 命题 2 设 A、B、C 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的三个不同点,B、C 关于 x 轴对称,直 a b
线 AB、 AC 分别与 x 轴交于 M、 N 两点, 则 OM ? ON 为 定值 a . 证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , C( x2 ,? y 2 ) ,则 直线 AB 的方程为 y ? y1 ? 得 M 点
2

y1 ? y 2 ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 x1 ? x2
的 横 坐 标

xM ? ? y1 ?

x1 ? x2 x y ? x2 y1 ,同理可得 N ? x1 ? 1 2 y1 ? y 2 y 2 ? y1
, 由 于

2 2 2 x1 y 2 ? x2 y1 x12 y 2 ? x2 y1 点 的 横 坐 标 xN ? , 于 是 OM ? ON ? x M ? x N ? 2 2 y 2 ? y1 y 2 ? y1

1 南京清江花苑严老师

2 2 ? x12 y12 ? x12 y 2 y12 y 2 2 ? ? 1 ? ? y2 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 x12 y 2 ? x2 y1 ?a ? a b b 2 ?? 2 2 ? ? y2 ? y12 ? 2 2 2 2 2 a ? x2 ? y 2 ? 1 ? x2 y1 ? y 2 y1 ? y 2 1 2 2 2 2 ? ? b b ?a ? a









OM ? ON ? x M ? x N ?

2 2 2 x12 y 2 ? x2 y1 ? a2 . 2 2 y 2 ? y1

练习: 设 B1,B2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的上下两个顶点,P 是椭圆上异于 B1,B2 的动点, 25 16
. (答案:25).

直线 PB1,PB2 分别交 x 轴于 M、N 两点,则 OM ? ON ? 命题 3 过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 任意作两条斜率互为相反数的直线交 a2 b2

椭圆于 M、N 两点,则直线 MN 的斜率为定值

b 2 x0 . a 2 y0

证明:设直线 PM 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,则直线 PN 的方程为 y ? y0 ? ?k ( x ? x0 ) ,

联 立

y ? y0 ? k ( x ? x0 )



x2 y2 ? ?1 组 成 方 程 组 , 消 去 a2 b2

y

可 得

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 k ( y0 ? kx0 ) x ? a 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? a 2b 2 ? 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则
2a 2 k ( y 0 ? kx0 ) x1 ? x0 ? ? a2k 2 ? b2 x2 ?
, 可 得

(a 2 k 2 ? b 2 ) x0 ? 2a 2 ky0 x1 ? a2k 2 ? b2











(a 2 k 2 ? b 2 ) x0 ? 2a 2 ky0 2(a 2 k 2 ? b 2 ) x0 ? 4a 2 ky0 x ? x ? x ? x ? , 则 , ,于是 1 2 1 2 a2k 2 ? b2 a2k 2 ? b2 a2k 2 ? b2 ? 4b 2 kx0 , 故直线 MN 的斜 a2k 2 ? b2

y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x0 ) ? y 0 ? k ( x2 ? x0 ) ? y 0 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2kx0 ?

率为

y1 ? y 2 b 2 x0 . ? x1 ? x2 a 2 y 0

x2 3 ? y 2 ? 1 ,过点 A (?2, ) 作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线, 练习: 已知椭圆 16 2
分别交椭圆于 P、Q 两点,则直线 PQ 的斜率为 . (答案: ?

3 ). 12
2

南京清江花苑严老师

命题 4 分别过椭圆

x2 y2 ? , y0 ? ) 作两条斜率互为相反数 ? ? 1(a ? b ? 0) 上两点 P( x0 , y0 ),Q( x0 a2 b2

的直线交椭圆于 M、N 两点,则直线 MN 的斜率为定值

?) b 2 ( x0 ? x0 . ?) a 2 ( y0 ? y0
证明:设直线 PM 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联 立 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 和

x2 y2 ? ? 1 组成方程组, 消去 y a2 b2

可得 (a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 k ( y0 ? kx0 ) x ? a 2 ( y0 ? kx0 ) 2 ? a 2b 2 ? 0 . 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 则

2a 2 k ( y 0 ? kx0 ) x1 ? x0 ? ? a2k 2 ? b2 x2 ? ? ? 2a 2 ky 0 ? (a 2 k 2 ? b 2 ) x0 a2k 2 ? b2







(a 2 k 2 ? b 2 ) x0 ? 2a 2 ky0 x1 ? a2k 2 ? b2 x1 ? x2 ?



同 理





, 则

? ? x 0 ) ? 2a 2 k ( y 0 ? ? y0 ) (a 2 k 2 ? b 2 )(x0 a2k 2 ? b2
, 于 是



x1 ? x2 ?

? ) ? 2a 2 k ( y 0 ? y 0 ?) (a 2 k 2 ? b 2 )(x0 ? x0 2 2 2 a k ?b



? ) ? y0 ? ? k ( x1 ? x2 ) ? k ( x0 ? ? x0 ) ? y0 ? ? y0 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x0 ) ? y0 ? k ( x2 ? x0
? ? x0 ) ? (a 2 k 2 ? b 2 )( y 0 ? ? y0 ) 2b 2 k ( x0 ? . 2 2 2 a k ?b
2 2 x0 y0 因为点 P、Q 都在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 , a b

? 2 y0 ?2 ? ? y0 ?) x0 y1 ? y 2 b 2 ( x1 ? x2 ) y0 b 2 ( x0 ? x0 ? ? 1 ,两式相减可得 ,同理可得 ,令 ? ? ? ? ? ? x0 ?) a2 b2 x1 ? x2 x0 a 2 ( y0 ? y0 a 2 ( y1 ? y 2 )

? ? y0 ? tb 2 ( x0 ? x0 ?) y0





? ? x0 ? ?ta 2 ( y0 ? y0 ?) x0







? ? x0 ) ? 2a 2 k ( y0 ? ? y0 )] b 2 [(a 2 k 2 ? b 2 )(x0 y1 ? y 2 b 2 ( x1 ? x2 ) ,将①、②代入便有 ?? 2 ?? 2 2 ? ? x0 ) ? (a 2 k 2 ? b 2 )( y0 ? ? y0 )] x1 ? x2 a ( y1 ? y 2 ) a [2b k ( x0 ?) ?) b 2 ( x ? x0 y1 ? y 2 b 2 ( x0 ? x0 ,即直线 MN 的斜率为定值 2 0 . ? 2 ?) ?) x1 ? x2 a ( y0 ? y0 a ( y0 ? y0
练习: 分别过椭圆

x2 y2 ? ? 1 上两点 A(2, 2 ), B( 6,?1) 作两条倾斜角互补且不平行于坐标 8 4
.(答案:

轴的直线, 交椭圆于另外两点 P、 Q, 则直线 PQ 的斜率为
南京清江花苑严老师

6?2 3?2 2?2 ) . 2
3


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