高考数学复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程知能训练105

第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.150° B. 60° D.120° ) 解析:选 B.直线的斜率为 k=tan α= 3,又因为 0°≤α<180°,所以 α =60°. 2.(2016·河北省衡水中学一模)已知直线 l 的斜率为 3,在 y 轴上的截距 为另一条直线 x-2y-4=0 的斜率的倒数,则直线 l 的方程为( A.y= 3x+2 C.y= 3x+ 1 2 B.y= 3x-2 D.y=- 3x+2 ) 1 解析:选 A.因为直线 x-2y-4=0 的斜率为 ,所以直线 l 在 y 轴上的截距 2 为 2,所以直线 l 的方程为 y= 3x+2,故选 A. 3.(2016·太原质检)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线 段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为( A. 1 3 3 2 B.- D. 2 3 1 3 ) C.- ?a+7=2, 解析:选 B.依题意,设点 P(a,1),Q(7,b),则有? 解得 a= ?b+1=-2, -5,b=-3,从而可知直线 l 的斜率为 -3-1 1 =- . 7+5 3 4.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角 α 的 取值范围是( ) B.0≤α≤ D. π π 或 <α <π 4 2 A.0≤α<π C.0≤α≤ π 4 π π π ≤α< 或 <α <π 4 2 2 m2-1 2 解析:选 B.直线 l 的斜率为 k= =1-m ≤1,又直线 l 的倾斜角为 α , 1-2 则有 tan α≤1, 即 tan α<0 或 0≤tan α≤1, 所以 故选 B. 5.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),当 x<0 时,f(x)>1,方程 y=ax+ 1 表示的直线是( a ) π π <α <π或 0≤α ≤ . 2 4 解析:选 C.因为 x<0 时,ax>1,所以 0<a<1. 1 则直线 y=ax+ 的斜率 0<a<1, a 1 在 y 轴上的截距 >1.故选 C. a 6.直线 x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1,那么 b 的取值范围是( A.[-2,2] C.[-2,0)∪(0,2] ) B.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,+∞) b 解析:选 C.令 x=0,得 y= , 2 令 y=0,得 x=-b, 1?b? 1 1 所以所求三角形的面积为 ? ?|-b|= b2,且 b≠0, b2≤1,所以 b2≤4, 2?2? 4 4 所以 b 的取值范围是[-2,0)∪(0,2]. 7.若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为________. 解析:因为 kAC= 5-3 a-3 =1,kAB= =a-3. 6-4 5-4 由于 A,B,C 三点共线,所以 a-3=1,即 a=4. 答案:4 8.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45°,则 a 的取值范围是 ________. 解析:当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90°,符合要求;当 a≠-1 时, 直线 l 的斜率为- a>0. 综上可知,实数 a 的取值范围是 1? ? ?-∞,- ?∪(0,+∞). 2? ? 1? ? 答案:?-∞,- ?∪(0,+∞) 2? ? x y 9.(2016·沈阳质量监测)若直线 l: + =1(a>0,b>0)经过点(1,2),则 a b 直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值是________. 1 2 解析:由直线经过点(1,2)得 + =1.于是 a+b=(a+b)×1=(a+ a b b 2a b 2a ?1 2? b)×? + ?=3+ + ,因为 + ≥2 a b a b ?a b? b 2a × =2 2 a b a a a 1 ,则有- >1 或- <0,解得-1<a<- 或 a<-1 或 a+1 a+1 a+1 2 b 2a ? ? ?当且仅当 = 时取等号?,所以 a+b≥3+2 2. a b ? ? 答案:3+2 2 10.已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时, 直线 l1,l2 与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,a=________. 解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,2),直线 l1 的纵截距为 2-a,直 1 1 线 l2 的横截距为 a2+2,所以四边形的面积 S= ×2×(2-a)+ ×2×(a2+2)= 2 2 1?2 15 1 ? 2 a -a+4=?a- ? + ,当 a= 时,面积最小. 2 4 2 ? ? 答案: 1 2 11.根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12. 解:(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为 α ,则 sin α= 从而 cos α=± 10 (0≤α <π), 10 3 10 1 ,则 k=tan α=± . 10 3 1 故所求直线方程为 y=± (x+4), 3 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为 + =1, a 12-a 又直线过点(-3,4), 从而 -3 4 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. 12.设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 的斜率为 1; (2)直线 l 在 x 轴上的截距为-3. 解:(1)因为直线 l 的斜率存在,所以 m≠0,

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