黑龙江省牡丹江一中2013届高三上学期期末考试 数学理

黑龙江省牡丹江一中 2013 届高三上学期期末考试

数学(理)试题
一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.“非空集合 M 不是 P 的子集”的充要条件是 A. ?x ? M , x ? P C. ?x1 ? M , x1 ? P ,又 ?x2 ? M , x2 ? P 2.函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

B. ?x ? P, x ? M D. ?x0 ? M , x0 ? P

?
4

)是
B. 最小正周期为 ? 的奇函数 D. 最小正周期为

A. 最小正周期为 ? 的偶函数 C. 最小正周期为

? 的偶函数 2

? 的奇函数 2

3.如图,已知 A(4, 0) , B(0, 4) ,从点 P(2, 0) 射出的光线经直线

AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,
则光线所经过的路程是 A. 2 10 C. 3 3 B. 6 D. 2 5

4.曲线 y ? ( x ?1) 2 在点 ?1, 4 ? 处的切线与直线 x ? ay ? 1 垂直,则实数 a 的值为 A. 4 B. ?4 C.

1 4

D. ?

1 4

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为

19 ? 12 4 D. ? 3 ??? ? ??? ? 6.在 ?ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC ,点 Q 是 AC
A. B. 的中点,若 PA ? ? 4,3? , PQ ? ?1,5? ,则 BC =( A. ? ?2,7 ? B. ? ?6, 21?

16 ? 3 19 ? C. 3

??? ?

??? ?

??? ?

) D. ? 6, ?21?

C. ? 2, ?7 ?

·1·

7.已知函数 f ( x ) ? A . ? ?1,6?

2x ?1 ,则不等式 f ( x ? 2) ? f ( x 2 ? 4) ? 0 的解集为 2x ?1

B . ? ?6,1?

C. ? ?2,3?

D. ? ?3, 2?

8.已知 a ? 0, b ? 0 ,且 2a ? b ? 4 ,则 A.

1 的最小值为 ab
C.

1 4

B. 4

1 2

D. 2

9.函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? 的图象,可将 f ? x ? 的图象

? ?

??

? 的图象如图所示,为得到函数 g ? x ? ? sin ? x 2?

? 个单位长度 6 ? B.向右平移 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 3
A.向右平移 10.已知 ?、? 表示两个互相垂直的平面, a、b 表示一对异面直线,则 a ? b 的一个充分条件是 A. a // ?,b ? ? C. a ? ?,b // ? B. a // ?,b // ? D. a ? ?,b ? ?

11.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ),当 x??1,3? 时, f ( x) ? ln x ,若在区间 ? ,3? 内,函数 x ?3 ?

1

?1 ?

g ( x) ? f ( x) ? ax 有三个不同零点,则实数 a 的取值范围是
A. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

B. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 2e ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 2e ?

D. ? 0, ?

? ?

1? e?

·2·

12.设数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,对于任意的 n ? N? , an , Sn , an 2 成等差数列,设

ln n x 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ? ,则对任意的实数 x ? ?1, e? ( e 是自然对数的底)和 an 2
任意正整数 n , Tn 小于的最小正整数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

?y ? x ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?



14. 若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 0 与曲线 C2 : y ? y ? mx ? m? ? 0 有四个不同的交点, 则实数 m 的取值 范围是 。

15.点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的面对角线 BC1 上运动,则下列四个命题: ①三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变;② A1 P ∥平面 ACD1 ; ③ DP ? BC1 ;④平面 PDB1 ? 平面 ACD1 . 其中正确的命题序号是 16. f ( x) ? ? . 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 。

?? x 2 ? ax, x ? 1, ?ax ? 1, x ? 1,

使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知圆 C 的圆心为 ?1,1? ,半径为 1 。直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos ? ( t 为参数) , ? y ? 2 ? t sin ?

且 ? ? ?0, 值。

PA ? PB ? ?? ? ,点 P 的直角坐标为 ? 2, 2 ? ,直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的最小 ? 3?

·3·

18. (12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ,并且对任意 n ? N ? , n ? 2 都有 an ? an?1 ? an?1 ? an 成立,令 3

bn ?

1 ?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Tn 。 ? n ? N ? ? (Ⅰ)求数列 ?bn? 的通项公式; an ?n?

5 4 , cos C ? . 13 5 33 (I)求 sin A 的值; (II)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长。 2
19. (12 分)在 △ ABC 中, cos B ? ? 20.为了解学生喜欢数学是否与性别有关,对 50 个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表: 喜欢数学 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢数学的学生的概率为 10 50 不喜欢数学 5 合计

3 。 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程) ; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ) 现从女生中抽取 2 人进一步调查, 设其中喜欢数学的女生人数为 ? , ? 的分布列与期望。 求 下面的临界值表供参考:
P(K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
2 (参考公式: K?

n d b) ( ?c2 a ,其中 na ? ) ? b ? ? cd ( ?) ? )a cb d a bc d ?) ? ) ( ( (

? 21. 分) (12 如图, 在梯形 ABCD 中, AB // CD ,AD ? DC ? CB ? a ,?ABC ? 60 , 平面 ACFE

⊥平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上。 (Ⅰ)求证: BC ⊥平面 ACFE ; (Ⅱ)当 EM 为何值时, AM // 平面 BDF ?证明你的结论; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? D 的余弦值。

·4·

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? a ln x (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ? cos 2 x ,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量 xi (i ? 1,2,3) 使得

f ( xi ) ? g ( xi ) 的值相等,若存在,请求出 a 的范围,若不存在,请说明理由?

参考答案
1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D 11.A 12.B 14. ? ?

13. ?1

? ? ?

3 ? ? 3? , 0 ? ? ? 0, ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?
2

15. ①②④ 16. ? ??,2?
2

17 . 圆 C 的 普 通 方 程 是 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 , 将 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 并 化 简 得

t 2 ? 2 ?sin ? ? cos? ? t ?1 ? 0







线





















PA ? PB ? 2 sin ? ? cos? , PA ? PB ? 1,
所以

PA ? PB ? PA ? PB

PA ? PB 2 ? ?? 的最小值是 。 ,? ? ?0, ? ,所以 4 PA ? PB ?? ? ? 3? 2 2 sin ? ? ? ? 4? ?
1
1 1 1 ? 3 ,当 n ? 2 时,由 an ? an?1 ? an?1 ? an 得 ? ? 1, 所以 a n a n ?1 a1

18.解: (1)当 n ? 1 时, b1 ?

bn ? bn?1 ? 1
所以数列 {bn } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? n ? 2 (2)

an 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ) ? ? ( ? ) ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 n n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 3 1 1 3n2 ? 5n 3 4(n ? 1) ? 2 3n2 ? 5n ? [ ?( ? )] ? ? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4(n2 ? 3n ? 2) 4 4(n ? 1)(n ? 2) 4(n ? 1)(n ? 2)
·5·

19.解: (Ⅰ) .由 cos B ? ?

5 12 4 3 ,得 sin B ? ,由 cos C ? ,得 sin C ? . 13 13 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 65 33 1 33 33 (Ⅱ) .由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? ,由(Ⅰ)知 sin A ? , 2 2 2 65 故 AB ? AC ? 65 , AB ? sin B 20 20 13 ? AB ,故 ? AB 2 ? 65 , AB ? . 又 AC ? sin C 13 13 2 AB ? sin A 11 ? 所以 BC ? sin C 2

20.解: (Ⅰ) 列联表补充如下: 喜爱数学 男生 女生 合计
2

不喜数学[来 源:Zxxk.C om] 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 (Ⅱ) K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
∴有 99.5%的把握认为喜爱数学与性别有关 (Ⅲ)喜爱数学的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 。其概率分别为

P(? ? 0) ?
故 ? 的分布列为:

0 2 C10C15 7 C1 C1 1 C2 C0 3 ? , P(? ? 1) ? 10 2 15 ? , P(? ? 2) ? 10 2 15 ? 2 C25 20 C25 2 C25 20

?
P

0

1

2

7 20 7 1 3 ? 的期望值为: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 20 2 20

1 2

3 20

4 5

? 21. (Ⅰ)在梯形 ABCD 中, AB // CD , AD ? DC ? CB ? A ? a ,所以 ?CBA ? 60 ,

?DCB ? 120? ,又 ?DAC ? ?DCA ? 30? ,所以 BC ? CA ,平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,
·6·

平面 ACFE ? 平面 ABCD = AC ,所以 BC ⊥平面 ACFE 。 (Ⅱ)当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF 3

证明:在梯形 ABCD 中, AB ? 2a, AC ? 3a ,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,所以

CN : NA ? CD : AB ? 1: 2

,所以 AN ?

2 3 3 a ,因为 EM ? a ,所以 3 3

FM // AN , FM ? AN ,又 AM ? 平面 BDF ,所以 AM // 平面 BDF
(Ⅲ)利用向量法可解得二面角的余弦值为

10 ,过程略。 10

22.解: (I)由已知得 f ?( x) ? 4 x ?

4 4( x 2 ? 1) ? , x x

则当 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,
' 当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,可得函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数,

故函数的极小值为 f ?1? ? 2 ; (Ⅱ)若存在,设 f ? xi ? ? g ? xi ? ? m(i ? 1,2,3) ,则对于某一实数 m ,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? m 在 ? 0,??? 上有三个不同的实数根,设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? m ? 2x ? a ln x ? cos 2x ? m ,
2

则 F ?( x) ? 4 x ?

a ? 2sin 2 x( x ? 0) 有两个不同的零点,即关于 x 的方程 x

4x2 ? 2x sin 2x ? a( x ? 0) 有两个不同的解 G( x) ? 4x2 ? 2x sin 2x( x ? 0) ,
则 G?( x) ? 8x ? 2sin 2 x ? 4 x cos 2 x ? 2(2 x ? sin 2 x) ? 4 x(1 ? cos 2 x) , 设 h( x) ? 2 x ? sin 2 x ,则 h ( x) ? 2 ? 2cos 2 x ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
'

则当 x ? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 2 x ? sin 2 x , 又 1 ? cos 2 x ? 0 ,则 G ( x) ? 0 故 G ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,
'

·7·

则 a ? 4x2 ? 2x sin 2x( x ? 0) 至多只有一个解,故不存。

a ? 2sin 2 x ? 0( x ? 0) 的解, x 当 a ? 0 时,由方法一知 2 x ? sin 2 x ,此时方程无解; a 当 a ? 0 时,可以证明 H ( x) ? 4 x ? ? 2sin 2 x( x ? 0) 是增函数,此方程最多有一个解,故不 x
方法二:关于方程 4 x ? 存在。

·8·

·9·


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