高考数学(文)一轮(新题AB卷)全国课件:第三章 三角函数、解三角形 3.6

第六节 正弦定理和余弦定理 【教材基础回顾】 1.正弦定理与余弦定理 正弦定理 a sin A b c B ? _____ sin C ? 2R ? sin _____ 余弦定理 a2= b +c -2bccos A ______________ a +c -2accos B b2 a +b -2abcos C =_______________ 2 2 2 2 2 2 内 容 正弦定理 (1)a=2Rsin A,b= ________, c= C 2Rsin B 2Rsin 余弦定理 cos A= cos b2 ? c2 ? a 2 2bc a 2 ? c2 ? b2 ; 2ac ________ 变 (2)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C 形 ____________________ a 2 ? b2 ? c2 2ab B= (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B, cos C= asin C=csin A ; 2.三角形的面积公式 S△ABC= aha= bhb= chc=_________ =_________ =_________. 1 1 2 2 casin B 1 2 1 2 1 2 absin C 1 2 bcsin A 【金榜状元笔记】 三角形中的必备结论 (1)a>b?A>B(大边对大角). (2)A+B+C=π(三角形内角和定理). (3)sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C, A?B C sin ? cos , 2 2 A?B C cos ? sin . 2 2 (4)射影定理:bcos C+ccos B=a, bcos A+acos B=c, acos C+ccos A=b. 【教材母题变式】 1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 c<bcos A,则△ABC为 A.钝角三角形 C.锐角三角形 ( ) B.直角三角形 D.等边三角形 【解析】选A.依题意得sin C<sin Bcos A,所以 sin (A+B)<sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin A -sin Bcos A<0,所以cos Bsin A<0.又sin A>0,于是 有cos B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形. 2.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin 2A sin C 【解析】由余弦定理:cos A= 所以 所以 答案:1 b2 ? c2 ? a 2 25 ? 36 ? 16 3 ? ? , 2bc 2?5?6 4 所以 7 a 2 ? b2 ? c2 16 ? 25 ? 36 1 sin A ? ,cos C ? ? ? , 4 2ab 2 ? 4 ?5 8 3 7 3 7 sin C ? , 2? ? sin 2A 8 ? 4 4 ? 1. sin C 3 7 8 3.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC的面积等 于________. 3 【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由 题意及余弦定理得cos A= 解得c=2. 所以S= bcsin A= ×4×2×sin 60°=2 . 答案:2 b2 ? c2 ? a 2 c2 ? 16 ? 12 1 ? ? , 2bc 2? 4 ?c 2 1 2 3 1 2 3 4.(2017· 全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A=________. 6 【解析】由题意: b c ? °, 结合b<c 可得B=45° ,则A=180°-B-C=75 . sin B sin C 答案:75 2° ? , 2 即 3 6? bsin C 2 sin B ? ? c 3 【母题变式溯源】 题号 知识点 源自教材 1 2 3 4 判断三角形 形状 解三角形 求三角形面积 解三角形 P10· B组T2 P7· 例4 P16· 例7 P4· 例2 考向一 利用正、余弦定理解三角形 【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= ,A=45°,则满 足条件的三角形有 A.一个 C.0个 ( ) B.两个 D.无法确定 6 (2)(2017· 天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B= . 世纪金榜导学号37680124 ①求b和sin A的值;②求 的值. 3 5 ?? ? sin ? 2A ? ? 4? ? 【解析】(1)选B.由正弦定理得sin B= 因为b>a,所以B=60°或120°,故满 足条件的三角形有两个. 6sin 45? 3 ? . 2 2 bsin A ? a (2)①△ABC中,a>b, 3 4 sin B? 所以 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=13, 所以,b= ,cos B ? , 5 5 由正弦定理得, 13 asin B 3 13 sin A ? ? . b 13 ②由①知sin A= cos A= ,sin 3 13 2A=2sin Acos 13 所以sin ,又a<c, A= , cos 2A=1-2sin2A= 5 - , 13 ? ? 7 2 ? sin 2Acos ? cos 2Asin ? . 4 4 26 2 13 13 12 13 ?? ? sin ? 2A ? ? 4? ? 【误区警示】在上述解题过程中,若忽略了大边对大角这一性质,就会出现角A,角B的余 弦值为负值的情况,从而导致错误的结果. 【一题多变】若将本例(1)中的条件“b= ”换为 “b=4”,其他条件不变,结论又如何呢?

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