高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数课件1北师大版选修22_图文

一、复习
1.求函数的导数的方法是:

说明:上面的方 法中把x换成 x0即为求函数 在点x0处的 导 数.

2.函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x= x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0

3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
4.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
解 : y ? f ( x) ? C ,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? C ? C ? 0,
?y ? ? 0, ?x

?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ?0 ?x

二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数.
解 : y ? f ( x) ? x,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ? ?x,
?y ? ? 1, ?x

?y ? f ?( x) ? x ' ? lim ? 1. ?x ? 0 ?x

二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x 的导数.
解 : y ? f ( x) ? x2 ,
??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x)2 ? x2 ? 2x ??x ? ?x2 ,
?y 2 x ? ?x ? ?x 2 ? ? ? 2 x ? ?x, ?x ?x
2 ? y 2 x ? ? x ? ? x ? f ?( x) ? ( x 2 ) ' ? lim ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x

2

二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
1 解 : y ? f ( x) ? , x ??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ?

?y ?1 ? ? , ?x ( x ? ?x) x

1 1 ??x ? ? x ? ?x x ( x ? ?x) x

1 ?y ?1 1 ? f ?( x) ? ( ) ' ? lim ? lim ?? 2. ?x ?0 ?x ?x ?0 ( x ? ?x) x x x

1) y ? f ( x ) ? C 2) y ? f ( x ) ? x,
2

y' ? 0 y ' ?1

3) y ? f ( x ) ? x , y ' ? 2 x 1 4) y ? f ( x ) ? , 1 x y' ? ? 2 x

表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0 表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1

这又说明什么? 这又说明什么?

探究:
画出函数y=1/x的图像。根据图像, 描述它的变化情况。并求出曲线在 点(1,1)处的切线方程。

x+y-2=0

公式 ( x ) ? nx
n '

n?1

(n ? R)
(2) y=x-5 ;

计算导数
(1) y=x4 ;

y ' ? 4x3
(3) y ? x ;

y ' ? -5x-6
1 ( 4) y ? 2 ; x

1 ?1 y' ? x 2 2
注意公式中,n的任意性.

y' ?

-2x-3

可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C ) ' ? 0; 公式2 : ( x n ) ' ? nx n ?1 ; 公式3 : (sin x) ' ? cos x; 公式4 : (cos x) ' ? ? sin x; 公式5 : (a x ) ' ? a x ln a(a ? 0); 公式6 : (e x ) ' ? e x ; 1 公式7 : (log a x) ' ? (a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8 : (ln x) ' ? ; x

[cf(x)]′=

cf ' ( x)

.选择题 (1)下列各式正确的是(C



A.(sin? )' ? cos? (?为常数) B ( . cos x)' ? sin x C.(sin x)' ? cos x 1 ?6 ?5 D.( x )' ? ? x 5 (2)下列各式正确的是( D )
1 A.(log )' ? x ln 10 x B.(loga )' ? x C .(3 x )' ? 3 x
x a

D.(3 x )' ? 3 x ln 3

3.填空 (1) f(x)=80,则f '(x)=______; 0

( 2) y ?
'

3

2 ?1 x 3 2 x 的导数是 _______; 3
x '

x (3) f ( x) ? e , 则f ( x)等于 ______; e

f (1)等于 ______ e

(4)

(1og a x) ?
'

1 ________ x ln a

练 习
(1) 5x4 ;

求下列函数的导数

(2) 6x5 ;

y ' ? 20 x3
(3) cost ;

y ' ? 30 x 4
(4) -sin? .

y ' ? ? sin t
3 (5) ? 4 ; x

y ' ? ? cos ?
(6) 1 3? x
3 2

.
? 5 3

y ' ? 12 x

?5

2 y' ? ? x 9

.求下列函数的导数

(1) y ? x

12

y ' ? 12 x

11

1 (3) y ? 4 x

y ' ? ?4 x ?5
1 2

(5) y ? x x y ' ? 3 x 2

1 (2) y ? x y ' ? x 2 1 2 ? (4) y ? x 3 y ' ? 1 x 3 3 2 5 3 ? 3 (6) y ? x y ' ? x 5 5
?

1 2

小结:
基本初等函数的导数公式
公式1: (C ) ' ? 0; 公式2 : ( x n ) ' ? nx n ?1 ; 公式3 : (sin x) ' ? cos x; 公式4 : (cos x) ' ? ? sin x; 公式5 : (a x ) ' ? a x ln a(a ? 0); 公式6 : (e x ) ' ? e x ; 1 公式7 : (log a x) ' ? (a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8 : (ln x) ' ? ; x


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