2016-2017学年河北武邑中学高一周考11.20数学试卷

2016-2017 学年河北武邑中学高一周考 11.20 数学试卷
考试时间:100 分钟;命题人:xxx 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? ,集合 A ? ?1, 2? , B ? ?2,3? ,则 A ? ? CU B? ? ( A. ?2? C. ?2,3? 2. cos 510? 的值为( A. B. ?4,5? D. ?1? ) B. ?



1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2


3.已知角 ? 的终边经过点 P ? ?3, 4? ,则 sin ? 的值等于( A. ? C.

3 5

B.

3 5 4 5
) B. f ? x ? ?

4 5
x

D. ?

4.下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ? x ? ? log2 2 , g ? x ? ?
3

x3

x2 , g ? x? ? x
2

x2 C. f ? x ? ? x , g ? x ? ? x

D. f ? x ? ? ln x ,g ? x ? ? 2ln x )

5.若 sin ?? ? ? ? ? 0 , tan ?? ? ? ? ? 0 ,则 ? 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

6.若 cos ? ? 0 ,且 cos? ? sin ? ? 1 ? 2sin ? cos? ,那么 ? 的( A.第一象限角 C.第三象限角 7.设函数 f ? x ? ? ? B.第二象限角 D.第四象限角



? 4x ? x ? 0? , ? 则 f ? f ? ?1? ? 的值为( log x ? 0 , ? ? ? 2 ?



A.2 B.1 C.-1 D.-2 8.一项实验中获得的一组相关变量 y , t 之间的数据整理后得到如图所示的散点图,下 列函数中可以近似刻画与之间关系的最佳选择是(
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A. y ? a

t

B. y ? loga t
3

C. y ? at

D. y ? a t )

9.设 cos ? ?80?? ? m ,那么 tan100? ? (

1 ? m2 A. m
C.

1 ? m2 B. ? m
D. ?

m 1? m
2

m 1 ? m2


10. 函数 f ? x ? ? 2sin x ? A. ? 2 3, ??

3 3

? ? ?? x ? m ,x ? ? ? , ? 有零点, 则 m 的取值范围是 ( ? ? 3 3?
B. ??, 2 3 ?

?

C. ??, 2

?

? 3? ? ?2

?

? ?

3, ??

?

D. ? ?2 3, 2 3 ?

?

11.函数 f ? x ? 满足对定义域内的任意 x ,都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 2 f ? x ? 1? ,则函数

f ? x ? 可以是(
A. f ? x ? ? ln x C. f ? x ? ? e
x

) B. f ? x ? ? x ? 2x
2

D. f ? x ? ? 2x ? 1

12.设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,

?1? 且 当 x ?? ?2 , ? 0 时 , f ? x ? ? ? ? ? 1 , 则 在 区 间 ? ?2 , ? 6内 关 于 x 的 方 程 ?2?

x

f?x ? ?2 ? 的根的个数为( 0 ??l o g 2? x
A.1 C.3 B.2 D.4



13.已知角 x 的终边经过点 P ? ?1,3? . (Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;

试卷第 2 页,总 4 页

?? ? ?? ? sin ? ? x ? cos ? ? x ? ?2 ? ?2 ? 的值. (Ⅱ)求 cos ? ? x ? cos ?? ? x ?

2 14.已知 tan ? ? 2 ,则 cos ? ?

. .

15.一个半径为 R 的扇形,周长为 4 R ,则这个扇形的面积是

?1? 16.函数 y ? ? ? 的值域为 ? 3?

x

.

x 17.如图,过原点 O 的直线与函数 y ? 2 的图像交于 A、B 两点,过 B 作 y 轴的垂线

交函数 y ? 4 的图像于点 C ,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标为
x

.

18. (1)已知 cos ?? ? ? ? ? ?

1 ?? ? , ? 为第一象限角,求 cos ? ? ? ? ; 2 ?2 ?

(2)已知 cos ?

?? ? 1 ? 5? ? ? 2? ? ? ? ? ? ,求 cos ? ? ? ?? sin ? ? ? ? 的值. ?6 ? 3 ? 6 ? ? 3 ?
2

19.sin ? ,cos ? 为方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个实根,? ? ? ?

? ? ? ,0 ? ,求 m 及 ? 2 ?

? 的值.
20.已知函数 f ? x ? ? 2lg ? x ?1? 和 g ? x ? ? lg ? 2x ? t ? ( t 为常数). (1)求函数 f ? x ? 的定义域; (2)若 x ??0,1? 时, g ? x ? 有意义,求实数 t 的取值范围; (3)若存在 x ??0,1? ,使得 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求实数 t 的取值范围. 21 . 销 售 甲 、 乙 两 种 商 品 所 得 利 润 与 投 入 资 金 x ( 万 元 ) 的 关 系 分 别 为 ,函数 f ? x ? 、 g ? x ? 对应的曲线 f ? x ? ? m x ? 1 ? a , g ? x ? ? bx (其中 m, a, b ? R )

试卷第 3 页,总 4 页

分别为 C1 、 C2 ,如图所示.

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若该商场一共投资 4 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:由题意得 CU B ? ?1,4,5,6? ,所以 A ? ?CU B ? ? ?1 ? ,故选 D. 考点:集合的运算. 2.C 【解析】 试题分析:由题意得 cos510? ? cos(360? ? 150?) ? cos150? ? ? 考点:三角函数的求值;诱导公式. 3.C 【解析】 试题分析:由题意得,点 P ? ?3, 4? 到原点的距离 r ? 义可知 sin ? ?

3 ,故选 C. 2

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,根据三角函数的定

y 4 ? ,故选 C. r 5

考点:三角函数的定义. 4.A 【解析】 试题分析:由题意得,对于 B 中,函数 f ? x ? ?

x 2 ? x ,所以 f ? x ? ? x 2 与 g ? x ? ? x 不

是同一函数;对于 C 中两个函数的定义域是不同的,所以不是同一函数;对于 D 中,函数

f ? x ? ? ln x2 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,函数 g ? x ? ? 2ln x 的定义域为 (0, ??) ,所以
不是同一函数,故选 A. 考点:同一函数的概念. 5.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , 根 据 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 可 知 sin ?? ?? ? ? sin ? ? 0 , 且

t an?? ? ?? ? ? t an ? ? ,即 0 tan ? ? 0 ,所以 ? 的终边在第三象限,故选 C.
考点:三角函数的符号与角的象限. 6.C 【解析】 试题分析:由题意得, 1 ? 2sin ? cos ? ?

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin ? ? cos ? ,

即 sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? ,所以 sin? ? cos? ? 0,即 sin? ? cos? ,又 cos? ? 0 ,

? 位于第二象限,故选 B.
考点:三角函数的化简及判定. 7.D
答案第 1 页,总 8 页

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【解析】

? 4x ? x ? 0? 1 ? ) ?1 4 ? , 所 以 试 题 分 析 : 由 函 数 f ? x? ? ? , 则 f (? 1 ? 4 ? ?log 2 x ? ? 0 ?
1 1 f ? f ? ?1? ? ? f ( ) ? log 2 ? ?2 ,故选 D. 4 4
考点:分段函数的求值. 8.B 【解析】 试题分析:各选项函数的增长速度的大小关系为: y ? a 和 y ? at 的增长速度显然大于
t 3

下面判断是函数 y ? loga t 和 y ? a t 中的哪一个, (1) y ? loga t 和 y ? a t 的增长速度, 若用函数 y ? log a t 刻 画 图 象 可 知 , 由 图 象 可 看 出 1 ? log a 2 , 所 以 a ? 2 ; 所 以

log ? 2, lo 2 4 2 g ?8
画,由 1 ? a 2 得 a ?

, 显然满足图形上几个点的坐标; (2) 若用函数 y ? a t 刻 3,2l o g ?1 6 4

2 2 ;所以 ? 8 ? 2 ,而由图看出 t ? 8 时, y ? 3 ,所以不能用 2 2

函数 y ? a t 来刻画,故选 B. 考点:函数的图象的应用. 【方法点晴】 本题主要考查了函数的图象的应用问题, 其中解答中考查了函数散点图的概念, 清楚指数函数、对数函数和幂函数的增长速度的关系,弄清试题中各选项中函数的图象,待 定系数求解函数的解析式的方法, 通过几个特殊点验证一个函数的解析式能够来反映散点图 中两个变量关系的方法,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于基础题. 9.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , 根 据 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 cos ? ?80?? ? cos80? ? m , 所 以

sin80? ? 1 ? cos2 80? ? 1 ? m2
t ?? ?? ?a ?? ??? s c ? ?? n ?





? m2 i ,故选 B. m o

1

n s

0

考点:三角函数的化简求值. 10.D 【解析】 试题分析:因为函数 f ? x ? ? 2sin x ?

3 3

? ? ?? x ? m , x ? ? ? , ? 有零点,所以 m 为函数 ? ? 3 3?

y ? ?2sin x ?

3 3

3 3 ? ? ?? ? ? ?? x, x ? ?? , ? 的值域,因为函数 y ? ?2sin x ? x, x ? ?? , ? ? ? ? 3 3? ? 3 3?
答案第 2 页,总 8 页

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单调递减,所以 x ?

?
3

时,函数取最大值 ymax ? 2 3 ,当 x ? ?

?
3

时,函数取最大值

? ymax ? ?2 3 ,所以实数 m 的取值范围是 ? ? ?2 3, 2 3 ? ,故选 D.
考点:函数零点与方程的根的关系. 11.A 【解析】 试题分析:由 f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 2 f ? x ? 1? ,得 f ? x ? 2? ? f ? x ?1? ? f ? x ?1? ? f ( x) , 因为 ( x ? 2) ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? x ,所以可得当函数的自变量相等时,自变量越大时,对应 的函数值变化量越来越小,对于 A 中, f ? x ? ? ln x 是增长越来越慢的对数函数,当自变量 越大时,对应函数值的变化量越来越小,所以是正确的;对于 B 中, f ? x ? ? x ? 2x 在定
2

义域上不是单调函数,所以不正确;对于 C 中,函数 f ? x ? ? e 是增长速度最快,显爆炸式
x

增长的指数函数,当自变量越大时,对应的函数值变化越来越大,所以是错误的;对于 D 中,函数 f ? x ? ? 2x ? 1 是一次函数,且单调递增,函数值的变化量是相等的,所以是错误 的,故选 A. 考点:函数的综合应用问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题,其中解答中涉及到二次函数的单调性、 指数函数的单调性、 对数函数的单调和一次函数的单调性的应用, 着重考查了学生分析问题 和解答问题的能力,以及转化思想的应用,解答中将不等式进行合理转化,并理解不等式所 表示的函数意义是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题. 12.D 【解析】 试题分析: 因为 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 对任意的 x ? R , 都有 f ? x ? 2? ? f ? x ? 2? ,

) 即 f ? x? ? f( x? 4) , 所 以 函 数 的 周 期 为 4 , 当 所 以 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)? f ( 2? x , x ? [ 0, 2] 时 , 则
f

?x [ ? 2 ? , ,0 此 ] 时

1 f ? ? x ? ? ( )? x ? 1 ? f ? x ? 2

, 即

? ?x? (

1 ?x ) ? 1 x,? ,由 [ f0? x? , ?2 ] 2 (x ? 2) ? 0,得 f ? x? ? log2 (x ? 2) ,分别 ? log 2

作出函数 f ? x ? 和 f ? x ? ? log2 ( x ? 2) 的图象,如图所示,则由图象可知两个函数的图象的 交点个数为 4 个,即方程 f ? x ? ? log2 ? x ? 2? ? 0 的零点个数为 4 个,故选 D.

答案第 3 页,总 8 页

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考点:抽象函数的应用问题. 【方法点晴】 本题主要考查了抽象函数的应用, 其中解答中涉及到函数的周期的判定及应用, 对数函数的图象与性质及其应用, 函数的零点的处理方法等知识点的综合考查, 着重考查了 学生分析问题和解答问题的能力, 以及数形结合思想的应用, 解答中把函数的零点问题转化 为两个函数的图象的交点个数,正确作出函数的图象是解答的关键,试题有一定的难度,属 于中档试题. 13. (I) 【解析】 试题分析: (I)根据三角函数的定义,可得 sin x, cos x 的值,即可求解 sin x ? cos x 的值; (II)利用三角函数的诱导公式,化简可得原式 ? ? tan x ,即可求值. 试题解析: (Ⅰ)由点 P ? ?1,3? 在角 x 的终边上,得 sin x ?

10 ; (II) 3 . 5

3 10 10 , cos x ? ? , 10 10

∴sin x ? cos x ?

10 . 5

?? ? ?? ? sin ? ? x ? cos ? ? x ? sin x ?2 ? ?2 ? ? cos x? (Ⅱ) ? ? tan x ? 3 cos ? ? x ? cos ?? ? x ? cos x ? ? cos x ?
考点:三角函数的定义;三角函数的诱导公式. 14.

1 5

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , 根 据 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式 , 可 得

cos 2 ? ?

cos 2 ? 1 1 1 ? ? ? . 2 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 2

考点:三角函数的基本关系式的应用. 15. R
2

【解析】 试题分析: 设扇形所对的圆心角为 ? , 由扇形的弧长公式可知 4 R ? ? R ? 2 R , 解得 ? ? 2 , 再由扇形的面积公式,可得 S ?

1 1 ? R2 ? ? 2R2 ? R2 . 2 2
答案第 4 页,总 8 页

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考点:扇形的弧长公式及面积公式. 16. ? 0,1? 【解析】 试题分析:由题意得,设 t ? x ? 0 ,则 y ? ( ) , t ?0 为单调递减函数,则由指数函数的性
t

1 3

1 t ?1? 质,可得函数 y ? ( ) , t ? 0 的值域为 ? 0,1? ,即函数 y ? ? ? 的值域为 ? 0,1? . 3 ? 3?
考点:指数函数的应用. 【方法点晴】 本题主要考查了指数函数的应用问题, 其中解答中涉及到指数函数的单调性及 其应用, 函数换元法的应用等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力, 以及转化与换元思想可应用, 本题的解答中利用换元法把函数转化为求 y ? ( ) , t ? 0 的
t

x

1 3

值域是解答的关键,试题比较基础,属于基础题. 17. ?1, 2 ? 【解析】 试题分析:设 A(n, 2 ), B(m, 2 ) ,则 C (
n m

m m m , 2 ) ,因为 AC 平行于 y 轴,所以 n ? ,所 2 2

2n 2m m n m ? 以 A( , 2 ), B ( m, 2 ) ,又因为 A, B, O 三点共线,所以 kOA ? kOB ,所以 ,即 m m 2 2
n ? m ? 1 ,又由 n ?

m ,解得 n ? 1 ,所以点 A 的坐标为 (1, 2) . 2

考点:指数函数的图象与性质. 【方法点晴】 本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用, 其中解答中涉及到指数函数的 图象与性质的应用,直线的斜率公式、三点共线的判定方法等知识点的综合考查,着重考查 了学生分析问题和解答问题的能力, 以及灵活运用知识的能力, 解答中根据指数函数的性质, 得到 n ? 试题. 18. (1) ? 【解析】 试题分析: (1)利用三角函数的诱导公式,得 cos ? ?

m ,再利用三点共线得到 n ? m ? 1 是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档 2 1 3 ; (2) ? . 9 2 1 ,又 ? 为第一象限角,即可求解 2

?? ? cos ? ? ? ? 的 值 ; ( 2 ) 利 用 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 化 简 得 ?2 ? 1 ? 5? ? ? 2? ? ?? ? cos ? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ,即可求值. 3 ? 6 ? ? 3 ? ?6 ?
答案第 5 页,总 8 页

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试题解析: (1)? cos ?? ? ? ? ? ? cos ? ? ?

1 2

2

∴cos ? ?

1 2





?















3 ?? ? ?1? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ?2?
(2) cos ?

? ?? ? 5? ? ? 2? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? 6 ? ? 3 ? ?? ? ? 3 ?? ? ?6

1 ?? ? ? 1 1 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? cos ? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? ? ? . 3 ?2 ? 6 3 9 ?6 ? ?3 ? ?? ?6 ?
考点:诱导公式;两角和与差的正余弦函数. 19. m ? 【解析】 试题分析: 由 sin ? , 得 sin ? ? cos ? ? m , cos? 为方程 4 x2 ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个实根,

? 1? 3 ,? ? ? . 3 2

sin ? cos ? ?

1? 3 2m ? 1 ,利用三角函数的基本关系式,得到 m ? ,进而得到 4 2

sin ? ? cos ? ,即可求解 m 及 ? 的值.
试题解析: sin ? , cos ? 为方程 4 x ? 4mx ? 2m ? 1 ? 0 的两个实根
2

∴m2 ? 2m ? 1 ? 0 且 sin ? ? cos ? ? m , sin ? cos ? ?
cos ? ,得 m ? 代入 ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? 2sin ? ?
2

2m ? 1 , 4

1? 3 , 2

又? ?? ?

1? 3 2m ? 1 ? ? ? ? 0 , sin ? ? cos ? ? m ? ,0 ? .∴sin ? ?cos ? ? , 4 2 ? 2 ? 3 1 , cos ? ? , 2 2

∴sin ? ? ?
又?? ? ? ?

? ? 1? 3 ? ? ? , 0 ? ,∴? ? ? ,∴m ? ,? ? ? . 3 3 2 ? 2 ?

考点:三角函数的基本关系式及三角函数求值. 20. (1) ? ?1, ?? ? ; (2) ? 0, ??? ; (3) ?1, ?? ? . 【解析】
答案第 6 页,总 8 页

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试题分析: (1)根据对数函数的性质,列出不等式,即可求解函数 f ? x ? 的定义域; (2)依 题意 x ??0,1? 时, 2 x ? t ? 0 恒成立,转化为 t ? ?2 x 恒成立,即可求解实数 t 的取值范围; (3)当 x ??0,1? 时, f ? x? ? g ? x? ,可得依题意存在 x ??0,1? 使得 t ? x ? 1 ,进而可求
2

解实数 t 的取值范围. 试题解析: (1)由 x ? 1 ? 0 得 x ? ?1 ,∴f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? (2)依题意 x ??0,1? 时, 2 x ? t ? 0 恒成立,即 t ? ?2 x 恒成立 又 ?2 x ? 0 故 t 的取值范围是 ? 0, ??? . ( 3 ) 当

x ??0
g ?x ?

?
1 ?
2

, 时
x l

1
?



f

? ?? ? ?

x 2

?

? ? lg ?
2

?

?

2

g

x

? 2

t

依题意存在 x ??0,1? 使得 t ? x ? 1
2 又 1 ? x ? 1 ? 2 ,∴t ? 1 ,同时满足 t ? 0 使 g ? x ? 在 x ??0,1? 时有意义,

故 t 的取值范围是 ?1, ?? ? 考点:函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用,其中解答中涉及到函数的定义域的求解,函 数的恒成立问题的求解, 以及二次函数的性质等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问 题和解答问题的能力,以及转化与分离参数的应用,解答中把函数的恒成立问题,利用分离 参数法,转化为函数的最值问题的求解是解答的关键,试题比较基础,属于基础题. 21. (I) f ? x ? ? 值为 1 万元. 【解析】

4 4 1 x ? 1 ? ? x ? 0? , g ? x ? ? x ? x ? 0? ; (II)该商场所获利润的最大 5 5 5

? m?a ?0 ? 试题分析: (I)由题意 ? 8 ,解得 m, a, b 的值,即可求解函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的解 3m ? a ? ? 5 ?
析式; ( II ) 设 销 售 甲 商 品 投 入 资 金 x 万 元 , 则 乙 投 入 ? 4 ? x ? 万 元 , 由 ( I ) 得

y?

4 4 1 x ? 1 ? ? ? 4 ? x ? , ? 0 ? x ? 4? ,令 x ? 1 ? t ,转化为二次函数求最值,即可 5 5 5

得到结论.

? m?a ?0 4 4 ? 试题解析: (I)由题意 ? 8 ,解得 m ? , a ? ? , 5 5 3m ? a ? ? 5 ?
答案第 7 页,总 8 页

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∴f ? x ? ?

4 4 8 1 1 x ? 1 ? ? x ? 0 ? ,又由题意 8b ? 得 b ? ,∴g ? x ? ? x ? x ? 0 ? 5 5 5 5 5

(II)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入 ? 4 ? x ? 万元

4 4 1 x ? 1 ? ? ? 4 ? x ? , ? 0 ? x ? 4? 5 5 5 1 2 4 1 2 令 x ? 1 ? t , 1 ? t ? 5 则有 y ? ? t ? t ? ? ? t ? 2 ? ? 1 , 1 ? t ? 5 , 5 5 5
由(I)得 y ?

?

?

?

?

当 t ? 2 即 x ? 3 时, y 取最大值 1.

∴ 该商场所获利润的最大值为 1 万元.
考点:函数的解析式的求解;二次函数的性质. 【方法点晴】 本题主要考查了函数解析式的求解及二次函数的性质, 其中解答中涉及到利用 待定系数法求解函数的解析式、 一元二次函数的图象与性质的应用等知识点的综合考查, 着 重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及换元思想和转化思想的应用, 解答中利用换 元法,转化为二次函数的最值问题是解答的关键,试题比较基础,属于基础题.

答案第 8 页,总 8 页


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