当前位置:首页 >> >>

【2012高考数学理科苏教版课时精品练】13-2.10导数在研究函数中的应用

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业13 第十节 导数在研究函数中的应用 1.(2009 年高考江苏卷)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 2.将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形再折起,做成一个 无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器底面边长为________时,其容积最大. 3.函数 f(x)=x3+ax2+1 在[-4,4]上递增,则 a 的取值范围是________. 4. 已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+2)(x-a), f(x)在 x=a 处取到极大值, a 的取值范围是________. 若 则 3 5. 设函数 f(x)=ax -3x+1(x∈R), 若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为________. 3 6.(2011 年苏北五市联考)已知 t 为常数,函数 f(x)=|x -3x-t+1|在区间[-2,1]上的最大值为 2,则 实数 t=________. 7. 对任意 x∈R, 函数 f(x)的导数存在, f′(x)>f(x)且 a>0, f(a)与 ea· 若 则 f(0)的大小关系为________. 8.关于函数 f(x)=(2x-x2)·x,给出以下四个判断: e ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值;③f(x)没有最小值,但有最大值; ④f(x)既没有最大值,也没有最小值,其中判断正确的有________. 9.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

10.某市政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园 区.已知 AB⊥BC,OA∥BC,且 AB=BC=2AO=8 km,曲线段 OC 是一条河流,经过的路线是以点 O 为 顶点且开口向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不计).如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB,BC 上, 且一个顶点落在曲线段 OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大面积.

11.(探究选做)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值.

1

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业13 第十节 导数在研究函数中的应用 1.(2009 年高考江苏卷)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 解析:由 f(x)=x3-15x2-33x+6 得,f′(x)=3x2-30x-33,令 f′(x)<0,即 3(x-11)(x+1)<0, 求得-1<x<11,所以函数 f(x)的单调减区间为(-1,11). 答案:(-1,11) 2.将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形再折 起 ,做成 一 个无盖的正六棱柱容器, 当这个正六棱柱容器底面边长为________时, 其容 积最大. 2 答案: 3 3.函数 f(x)=x3+ax2+1 在[-4,4]上递增,则 a 的取值范围是________. 3x 解析: f′(x)=3x2+2ax≥0 在[-4,4]上恒成立, ∴2ax≥-3x2, 0<x≤4 时, 当 a≥- 恒成立, ∴a≥(- 2 3x 3x 3x ) ,∴a≥0,当 x=0 时,a∈R,当-4≤x<0 时,a≤- 恒成立,∴a≤(- )min,∴a≤0,∴a=0. 2 max 2 2 答案:0 4. 已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+2)(x-a), f(x)在 x=a 处取到极大值, a 的取值范围是________. 若 则 解析:当 a>0 时,f′(x)的图象如图所示,所以 f(x)在(-∞,-2), (a,+∞)单调递 增,在(-2,a)单调递减,即 f(x)在 x=a 处取极小值;当-2<a<0 时, f′(x)在(-∞, - 2),(a,+∞)单调递减,在(-2,a)单调递增,f(x)在 x=a 处取极大值, 当 a<-2 时, f(x) 在(-∞,a),(-2,+∞)为减函数,在(a,-2)为增函数,即 f(x)在 x =2 处取极大值, 当 a=0 时,不适合题意,所以-2<a<0. 答案:(-2,0) 5. 设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R), 若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为________. 2 2 解析:由题意得 f′(x)=3ax -3,当 a≤0 时,有 f′(x)=3ax -3<0,∴f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,解之得 a≥2(与条件 a≤0 矛盾),不符合题意; 1 当 a>0 时,令 f′(x)=0 可得 x=± , a 1 1 当 x∈(- , )时,f′(x)<0,f(x)为减函数; a a 1 1 x∈(-∞,- ),( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. a a 由 f(-1)=4-a≥0 可得 0<a≤4, 1 1 3 2 又由 f( )=a× - +1=1- ≥0 可得 a≥4, a a a a a 综上可知 a=4. 答案:4 6.(2011 年苏北五市联考)已知 t 为常数,函数 f(x)=|x3-3x-t+1|在区间[-2,1]上的最大值为 2,则 实数 t=________. 解析:令 g(x)=x3-3x-t+1,则 g′(x)=3x2-3=0,得 x=-1 或 1,所以 g(x)在[-2,-1]上单调递 增,在[-1,1]上单调递减,则 f(x)在[-2,-1]的最大值为 f(1)=|t+1|或 f(-1)=|3-t|或 f(-2)=|t+1|.当|t +1|=2 时,t=1 或-3;当|3-t|=2 时,t=1 或 5,经检验得 t=1. 答案:1 7. 对任意 x∈R, 函数 f(x)的导数存在, f′(x)>f(x)且 a>0, f(a)与 ea· 若 则 f(0)的大小关系为________. f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f?x? 解析: 构造函数 g(x)= x , g′(x)= = >0, g(x)为增函数, 即 所以 g(a)>g(0), e e2x ex

2



f?a? f?0? > 0 =f(0),所以 f(a)>ea· f(0). ea e

答案:f(a)>ea· f(0) 8.关于函数 f(x)=(2x-x2)·x,给出以下四个判断: e ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};②f(- 2)是极小值,f( 2)是极大值;③f(x)没有最小值,但有最大值; ④f(x)既没有最大值,也没有最小值,其中判断正确的有________. 答案:①②④ 9.(2010 年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1,f′(x)=3(x-2+ 3)(x-2- 3). 当 x∈(-∞,2- 3)时 f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)上单调递增; 当 x∈(2- 3,2+ 3)时 f′(x)<0,f(x)在(2- 3,2+ 3)上单调递减; 当 x∈(2+ 3,+∞)时 f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞)上单调递增. 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞),f(x)的单调减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2]. 当 1-a2≥0 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数, 故 f(x)无极值点; 当 1-a2<0 时,f′(x)=0 有两个根 x1=a- a2-1,x2=a+ a2-1. 由题意知 2<a- a2-1<3, ① 2 或 2<a+ a -1<3. ② 5 5 ①式无解,②式的解为 <a< . 4 3 5 5 因此 a 的取值范围是( , ). 4 3 10.某市政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则非农业 用地规划建 成一个矩形高科技工业园区.已知 AB⊥BC,OA∥BC,且 AB=BC = 2AO = 8 km,曲线段 OC 是一条河流,经过的路线是以点 O 为顶点且开口向 右的抛物线 的一部分(河流宽度忽略不计).如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB,BC 上, 且一个顶点落在曲线段 OC 上,问应如何规划才能使矩形工业园区 的用地面积 最大?并求出最大面积. 解:以 O 为原点,OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,依题意可设抛物线方程为 y2=2px(p>0),且 C(8,4)在曲线上,代入求得 p=1,所以 y2=2x(0≤x≤8,0≤y≤4). y2 设 P( , y)(0≤y<4)是曲线段 OC 上任意一点, 则在矩形 PQBN 2 2 y y,PN=8- . 2 y2 y3 所以工业园区的面积 S=PQ· PN=(4+y)(8- )=- -2y2+ 2 2 3 2 4 4 由 S′=- y -4y+8=0(0≤y≤4), 解得 y= , 0≤y< 时, 又 2 3 3 y≤4 时,S′<0. 4 16 y2 64 ∴y= 时,S 取得极大值也是最大值,此时 PQ=4+y= (km),PN=8- = (km). 3 3 2 9 3 y 160 1024 S=- -2y2+8y+32= +32= (km2), 2 27 27 64 16 1024 所以把工业园区规划成长为 km、宽为 km 时面积最大,最大面积为 km2. 9 3 27
3

中,PQ=4+

8y+32. 4 S′>0; < 3

11.(探究选做)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3. ?f?1?=-2, ? 根据题意,得? ? ?f′?1?=0,
? ? ?a+b-3=-2, ?a=1, 即? 解得? ?3a+2b-3=0, ?b=0. ? ?

所以 f(x)=x3-3x. (2)令 f′(x)=0,即 3x2-3=0,得 x=± 1. x f′(x) -2 (-2, -1) + -1 (-1,1) - ? 极小值 1 (1,2) + ? 2 2

-2 极大值 f(x) ? 因为 f(-1)=2,f(1)=-2, 所以当 x∈[-2,2]时,f(x)max=2,f(x)min=-2. 则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=4, 所以 c≥4.即 c 的最小值为 4.

4

5


更多相关标签: