高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3 习题课——函数的基本性质课后提升作业 新人教版必修1

课后提升作业 十三 习题课——函数的基本性质
(45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=x
3

70 分)

)

B.y=|x|+1
2

C.y=-x +1

D.y=2x+1

【解析】选 B.A 项函数为奇函数;B,C 项函数为偶函数;D 项函数为非奇非偶函数;C 项函数在(0,+∞) 上是减函数.故选 B. 2.(2016 ·吉林高一检测)f(x) 是定义在 [-6 , 6] 上的偶函数,且 f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是 ( ) B.f(3)>f(2) D.f(2)<f(0)

A.f(0)<f(6) C.f(-1)<f(3)

【解析】选 C.因为函数为偶函数,所以 f(-x)=f( x),即 f(-1)=f(1)<f(3). 3.(2016·福州高一检测)f(x)=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(2,5)上是 ( A.增函数 C.有增有减 B.减函数 D.增减性不确定
2 2 2

)

【解析】选 B.f(x)是偶函数,即 f(-x)=f(x),得 m=0,所以 f(x)=-x +3,画出函数 f(x)=-x +3 的图象知, 在区间(2,5)上为减函数. 4.(2016·菏泽高一检测)若函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则 使函数值 y<0 的 x 的取值范围为 ( A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 【解析】 选 D.由于 f(x)是偶函数, 且 f(2)=0, 故 f(-2)=0, 根据已知条件, 可画出函数 y=f(x)的示意图(图 略), 图象关于 y 轴对称,由图象可知,使函数值 y<0 的 x 的取值范围为(-2,2). 5.(2016 ·天津高一检测 )已知 f(x) 在 [a ,b] 上是奇函数,且 f(x) 在 [a , b] 上的 最大值为 m ,则函 数 F(x)=f(x)+3 在[a,b]上的最大值与最小值之和为 ( )
-1-

)

A.2m+3 C.6-2m

B.2m+6 D.6

【解析】选 D.因为奇函数 f(x)在[a,b]上的最大值为 m,所以它在[a,b]上的最小值为-m,所以函数 F(x)=f(x)+3 在[a,b]上的最大值与最小值之和为 m+3+(-m+3)=6. 6.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列说法: ①f(0)=0;②若 f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则 f(x)在(-∞,0]上有最大值 1;③若 f(x)在[1,+∞) 上为增函数,则 f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若 x>0 时,f(x)=x -2x,则 x<0 时,f(x)=-x -2x. 其中正确的说法的个数是 ( A.1 B.2 ) C.3 D.4
2 2

【解析】选 C.f(x)是 R 上的奇函数, 则 f(0)=0,①正确; 其图象关于原点对称, 且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反, 且互为相反数,所以②正确,③不正确; 对于④,x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) -2(-x),又 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-x -2x,④正确. 7.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数, 则 f(-2),f(π ),f(-3)的大小关系 是( )
2 2

A.f(π )>f(-3)>f(-2) B.f(π )>f(-2)>f(-3) C.f(π )<f(-3)<f(-2) D.f(π )<f(-2)<f(-3) 【解析】选 A.因为 f(x)是偶函数, 则 f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 又当 x≥0 时,f(x)是增函数, 所以 f(2)<f(3)<f(π ), 从而 f(-2)<f(-3)<f(π ). 8.(2016· 菏泽高一检测)已知函数 f (x)=x+x , x1, x2, x3∈R, x1+x2>0, x2+x3>0, x3+x1>0, 那么 f(x1)+f(x2)+f(x3) 的值 ( )
3

A.一定大于 0
-2-

B.等于 0 C.一定小于 0 D.正负都有可能 【解题指南】 根据 f(x)的解析式便可看出 f(x)为奇函数, 且在 R 上单调递增, 而由条件可得到 x1>-x2, x2>-x3, x3>-x1,从而可以得到 f(x1)>-f(x2),f(x2)>-f(x3),f(x3)>-f(x1),这样这三个不等式的两边同时相加便可 得到 f(x1)+f(x2)+f(x3)>0,从而可找出正确选项. 【解析】选 A.f(x)为奇函数 ,且在 R 上为增函数, 因为 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, 所以 x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1, 所以 f(x1)>-f(x2),f(x2)>-f(x3),f(x3)>-f(x1), 所以 f(x1)+f(x2)+f(x3)>-[f(x1)+f(x2)+f(x3)], 所以 f(x1)+f(x2)+f(x3)>0. 【补偿训练】(2015·唐山高一检测)已知函数 y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函 数,若 x1<0,x2>0,且 x1+x2<-2,则 f(-x1)与 f(-x2)的大 小关系是 ( A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2) C.f(-x1)=f(-x2) D.无法确定 【解析】选 A.f(x+1)是偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1)即 f(-x)=f(x+2),由 x1<0,x2>0,且 x1+x2<-2 得 -x1>2+x2>2,y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以 f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2). 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.(2016·宜昌高一检测)已 知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+2)=-f( x),当 x∈(0,2)时,f(x)=x , 则 f(7)= . f(x+2)=-f(x) , 可 得
2 2

)

【 解 析 】 因 为 函 数 满 足

f(x+4)=-f(x+2)=f(x) , 所 以

f(7)=f(4+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1 =-1. 答案:-1 10.(2016·哈尔滨高一检测)已知函数 f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,函数的图象 如图所示,则不等式 xf(x)<0 的解集是 .

-3-

【解析】因为 f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且 x<0 的图象已知,根据 对称性,x>0 时的图象如图,结合图象可得不等式 x·f(x)<0 的解集为(-∞,-2) ∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞). 答案:(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 【延伸探究】若将本题中“奇函数”改为“偶函数” ,则不等式 x·f(x)>0 的解集是 【解析】由 f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, 且 x<0 的图象已知, 根据对称性,可得 x>0 时的图象如图, .

结合图象可得不等式 x·f(x)>0 的解集为(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞). 答案:(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 11.若 f(x)=(m-1)x +6mx+2 是偶函数,比较 f(0),f(1),f(-2)的大小. 【解析】 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x)恒成立, 即(m-1)x -6mx+2=(m-1)x +6mx+2 恒成立.所以 m=0, 即 f(x)=-x +2. 因为 f(x)的图象开口向下,对称轴为 y 轴,函数在(0,+∞)上是减函数,所以 f(2)<f(1)<f(0). 即 f(-2)<f(1)<f(0). 12.(2016·济南高一检测)定义在[-1,1]上的函数 y=f(x)是增函数,且是奇函数,若 f(a-1)+f(4a-5)>0, 求实数 a 的取值范围. 【解析】由题意, f(a-1)+f(4a-5)>0 ,即 f(a-1)>-f(4a-5) ,而又因为函数 y=f(x) 为奇函数,所以 f(a-1)>f(5-4a). 又函数 y=f(x)在[-1,1]上是增函数,
2 2 2 2

-4-



?

? <a≤ ,所以 a 的取值范围是

.

【能力挑战题】 定义在 R 上的函数 f(x), 对任意的实数 x, y, 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x>0 时, f(x)<0. 又 f(1)=- . (1)求证:f(x)为奇函数. (2)求证:f(x)在 R 上是减函数. (3)求函数 f(x)在[-3,3]上的值域. 【解析】(1)令 x=y=0,定义在 R 上的函数 f(x), 对任意的实数 x,y,恒有 f( x)+f(y)=f(x+y), 则 f(0)=0,令 y=-x, 则 f(x)+f(-x)=f(0)=0,f(-x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. (2)令 x+y=x1,y=x2 且 x1>x2,x=x1-x2>0, 当 x>0 时,f(x)<0.f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 故 f(x)在 R 上是减函数. (3)由 f(1)=- . 所以 f(2)=- ,f(3)=-2,f(-3)=2, 所以函数 f(x)在[-3,3]上的值域为[-2,2].

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