数学奥林匹克高中训练题117_图文

中等数学

美孥象赫誊囊裔净锄缘迢(11 7)
第一试
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.方程5x2—6叫+7y2=130的全部整 数解共( (A)0 )组. (B)1 (C)2 (D)3

(A)穹 (B)雩

(c炻

(D)2历

二、填空题(每小题9分,共54分) 1.设m、凡∈N,且m>n,集合 月={l,2,…,m},日={l,2,…,凡}, 又CcA.则满足Bn C≠g的C的个数是

2.函数.厂(并)在R上有定义,且满足
(1)厂(省)是偶函数; 2.已知厂(戈)=戈2+2石+l,存在实数t, 使得当z∈[1,m]时,/(髫+£)≤菇恒成立.

(2)“茗一1)是奇函数.
则“2 009)为( ). (A)0(B)2 008(C)2 009(D)一2 008 3.已知z2+y2:25.贝0函数

则m的最大值是——.
3.在棱长为口的正方体A口CD—

z=以矿磊五面+“矿而而石
的最大值为( (A)5 ̄/10 (C)7 ̄/10 ). (B)6 ̄/10
(D)8 ̄/10

A。B。C。D.中,X、y分别是正方形似。船I、

正方形船.C.C的中心,Z在对角线肋上, 且彪=3Z日.则过X、l,、Z的截面的面积为

4.联结椭圆号+寺=l的右焦点F与椭
圆上的动点A,作正方形MBc(F、A、曰、c
顺时针排列).当点A沿椭圆运动一周后,动

4.抛物线,,=一专x2的准线与),轴交于
点A.过A作直线交抛物线于点M、Ⅳ,点口

在抛物线对称轴上,且(商+掣)上赢.则
l茄I的取值范围是(
(A)(3,+∞) (C)(5,+∞)
2 009

点C的轨迹方程为——.
5.已知戈、y、:∈R+,且√z2+y2+z=1.

). (B)(4,+∞) (D)(6,+∞)
2啷 l

则可+2船的最大值为——.
6.平面上给定六个点(联结这些点的直 线互不平行、互不垂直,也不重合),过每一点 向其余五点中任意两点的连线作垂线.则这

5.已知八z)=∑【z+i I+∑l工一i
的值有( (A)2 )个. (B)3
(c)4

些垂线的交点最多有——个(不计已知的
六点). 三、(20分)(1)二次函数

(菇∈R),且厂(口2—3口+2)=厂(Ⅱ一1).贝Ⅱ口

(D)无数 满足

6.设口、6、c>0,且口+6+c=1.贝4使
口2+62+c2+A

.“石)=n石2+缸+c(口、6、c∈R,口≠0)

压≤l

恒成立的实数A的最大值是(

).

(i)当石∈R时,有缸≤/(x)≤告(名+2)2

万方数据

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4l

恒成立; (ii)/(一4+2√3)=0.

参考答案
第一.试
一、1.C. 已知方程可整理为 5并2—6硝+(7',2—130):0. 由△>0,得’,2≤25. 因为,,为整数,所以,一5≤y≤5. 经检验,(3,5),(一3,一5)符合题意.
2.A.

求以石).

(2)设^(戈)=i毛,五+-(石)=五(以(茗)),
求^009(0).


四、(20分)从椭圆号+等=1上一点M
向以短轴为直径的圆引两条切线,切点为A、

B,直线佃与戈轴、y轴分别交于点P、Q.求

I加l的最小值.
五、(20分)已知o、6>0.分别求 { n| b| Q|


因八髫一1)是奇函数,所以,以一1)=o.
又.厂(戈)是偶函数,于是,

√夏■而+√夏ii、√孑■磊叫矿F五
的最大值.

,(1)=o,八一菇)=八戈), 八一石一1)=一/(戈一1). 贝0八菇+4)=八一z一4)=一以石+2)

第二试
一、(50分)如图


=一“一戈一2)=八戈). 故“茗)周期是4,/(2 009)=八1)=0.
3.B.

1,已知等腰△仰C, 翻=凹,过其重心G
及顶点4作圆与BG 切于点G,再延长cG


因为z2+',2=25,所以,

孑=以矿i鬲6+“矿而鬲石
= ̄/(z一3)2+(y+4)2+ ̄/(z+3)2+(y+4)2
的几何意义是圆石2+',2=25上的点到
图l

交此圆于点D,仙交
此圆于点E.证明:
BE‘BA=GC’GD.

A(3,一4)、且(一3,一4)的距离之和,其最大 值为点(0,5)到A、B的距离之和6/而.
4.D.

=、(50分)在一张无限方格纸的某些方 格上染上红色,其余方格染上蓝色,每一个 2×3的六个方格矩形内恰好有两个红方格. 试问:一个9×ll的99方格矩形内包含多少 个红方格? 三、(50分)设口。,口:,…,n:嘲是给定的 正整数,且口I<口2<…<口2咖<10m.证明:

注意到点A(O,2).过A作直线删,其
方程设为y=缸+2.代人抛物线方程得
x2+8h+16=0.

而△>0,贝0后2>1,zI+并2=一8后.

设点B(0,6),删中点为
C(一4后,一4后2+2).

集合{o.,口:,…,口:瞄}中有两个非空且不相
交的子集A、8,使得 (1)A与8的元素个数相等; (2)A与日的元素的和相等; (3)A与日的元素的平方数的和相等.

由(商+竽)上莉
铮嬲上删j6=一4七2—2<一6.
则I茄I的取值范围是(6,+∞).
5.D.

由题设知.厂(菇)为偶函数.

万方数据

42

中等数学

考虑在一l≤戈≤l时,恒有

“x)=2(1+2+…+2 009)
=2 010×2 009.

形结合得m的最大值足{;三天石+。)两个
交点横坐标的较大者.

故当一l≤n2—3口+2≤1,且一l≤n—l≤l 时,恒有 /(n2—3n+2)=,(n—1). 由于不等式一1≤口2—3Ⅱ+2≤l的解集

由以l+f)=l,解得f=一1,归一3.
再由以z一3)=算。得
z=l(舍去),省=4. 故m的最大值是4.。

为生尝≤口≤生尝,不等式一1≤口一l≤l
的解集为o≤口≤2,则当生尝≤口≤2时,恒
有以口2—3Ⅱ+2)=以口一1).
6.D.

3.安口:.
由题设,过X、y、Z的截面是矩形,长为

正方体的高口,宽就是删的长皂n.从而, 知过x、y、z的截面的面积是安Ⅱz.

设口、6、c>0,且口+6+c=1.贝4

口2+62+c2+J:L瓜≤l

4.与墅+学乩
卜=^+2sin口,
I v:巧一3咖口.

设4(3cos口,2sin口)(口∈[0,2丌]),
C(戈,,,)、F“5,0),

甘榭(冉+污+仁).

垤+存+仁)2=譬+警+詈+2
=丢(譬+鲁)+吉(譬+詈)+

葡:(3cos口一店,2。in口).

则葡:(2sin口,一3c鸺口+历). 又壳:(石一朽,’,),故

吉(詈+譬)+2翘
从而,使不等式恒成立的实数A的最大 值是2√3. 二、1.2一“(2”一1).

消去口得动点C的轨迹方程为

止掣+垃墨:1.





一“

集合A=曰U{,l+1,n+2,…,,n}.
由于8 n C≠囝,又Cc A,从而,C的元 素一部分来自于曰的非空子集,曰的非空子 集有2“一1个;另一部分来自于集合 {,l+l,,l+2,…,m},其元素的选取方法有 2一“种.

5拿
由z2+y2=(I—z)2,知 髫2=(1一=+,,)(1一彳一,,). 故z2(y+2:y

:{(1一:+y)(3—3:一3y)(),+色)(,,+勉)

根据乘法原理,满足题意的集合c的个
数为2一“(2“一1).
2.4.

≤{【堕业丛掣业坐幽r
一』
一3‘

把八z)的图像向右平移一f个单位,数

因此,可一2愆≤等.

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当且仅当算=弩,),=z={时,上式等号
成立.
6.I 370.

(因为正+-(o)=f巧袭西).故数列{口。}是等
比数列.且口。=吉×(一号)”’.

(1)六个点连成《=15条直线. (2)每三点构成一个三角形,共有《=
20个.

所以,口z啷=南.

(3)任意五点连成暖=lo条直线;自一
点向这10条直线作垂线,共作60条垂线,这

川0)-黼.
分别为

再由烈端=嘉,解得
四、设点M(3cos口,2sin口),切点为

些垂线至多有醢=l 770个交点.
但(1)中15条连线的每一条上,有4条

A(石。,,,I)、B(z2,,,2),切线删、枷的方程
石l。3c嘴口+yI‘2sin口=4, 茗2。3cos口+),2‘2sin口=4.

垂线互相平行,应减去15a=90个交点.20
个三角形的三条垂线交于一点,应减去40个 交点;六个顶点中的每一个是10条垂线的交

点,应减去6C20=270个交点.
故这些垂线的交点最多有
1 770—90—40—270=1 370

从而,直线佃的方程是
石’3cos口+),。2sin口=4,

个交点.

三、(1)令石=2,得8≤八2)≤8.
故厂(2)=8,

点P(熹,o),9(o,熹). 故J明I=√熹+熹
=√詈+喾。a+4c。F口≥字.
因此,I尸Ql的最小值为警.此时,

4口+26+c:8j6:墨二皂型.
又4名≤厂(互),知nz2+(6—4)笫+c≥O 恒成立.则
△=(6—4)2—4∞

:(半一4)2—4ac:(2n一号)2-
x2+8石+4 3


肘(挈,学)、(孥,一学)、
(一学,学)、(_学,一学).
五、由柯西不等式知

≤O.

于是,c=4口,占=4—48.

代人以一4+2以)=o解得口=专.

所以,6=导,c=导.
故八工)=

√丽+√丽 刮2(志+志).
| n|




不妨令口+6=1.

(2)构造数虬=嬲.
则等=错端×锱薯=一{
万方数据

则式①右边=√2(r乞+r‰) =√4—2(击+南).
因为(rb+丁毛)(1+口+1+6)≥4,

中等数学

即击+南≥导,

如图3,取任一个红格%为中心的3×3 正方形,不能在K处染红色.如果在K处染

所以,厩+厩≤学
当且仅当o=6时,上式等号成立.

红色,则在2×3的矩形AFHD、仙5丁、删CD
中均有两个红方格.为了使矩形日C凹内含
有两个红方格,不论红方格放在任何一处,都 将使上述的三个矩形的一个出现3个红方 格.这就是说,红方格不能与砾有公共的 边,只能在其对角线上.这从总体上来说是可 行的(如图4).

再令z=詈,则原问题可转化为求函数

y手√f毛+√r%(z>o)的最大值.

’产√孚’南一鲁骞.
当0<石<l时,厂7(x)>0; 当戈>1时,,7(戈)<0. 从而,茗=1是函数的最大值点

令,,7=0.整理得(z+1)(茗一1)3=O,得

到极值点石=1.





所以,y≤八1):掣,即函数

图3

图4

因此,每一个3×3的正方形中有且只有 3个红方格. 又在9×11的矩形中,可分为九个3×3 的正方形和三个2×3的矩形,故一共有 9×3+3×2=33个红方格.

,,2√:五忑+√丽L名>uJ ,,=√南+√志(名>o)
的最大值为掣.
第二试
一、如图2,因为


三、设非空集合E∈{a。,口:,…,8:嘲}.
构造映射,:E一(矿,E1,E2),集合 {口。,口:,…,口:瞄}中非空子集(原像)的个数

在等腰△仙C中,
有a=C8,所以,

等于22咖一1,其中,∥(江0,l,2)的意义是
E中元素的i次幂之和. 由于口I<口2<…<口2咖<10’∞,贝0
I Eo l≤2 008,I E1 I≤2 008×10啪.
图2

船=AG.
由切割线定理

知嬲2=朋?删,即 AG2:舾?删.

I E2 I≤2

008×1俨.

F,使AG=卯,则四边形觥是平行四边
形.故么凡Ⅺ=么B∞.

延长AG至点

像的个数≤2

0083×1俨

≤?3×21咖=21∞3≤22仰一1.

再由弦切角定理知么曰GD=么6∞.
故么n勿=么朋D.
于是,F、C、A、D四点共圆.

故映射厂:E一(矿,E。,E2)不是单射. 从而,至少有两个非空子集C、D满足 有相同的像.设A、召分别是C、D去掉CnD 中的元素所得的集合,所以,集合A与B符 合题目(1)、(2)、(3)的要求.
(王继忠

所以,AG?凹=AG2=Gc?61D. 从而。∞?GD=肥?尉.
二、33个红方格.

山东胜利一中.257000)

万方数据

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作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 引用次数: 王继忠, WANG Ji-zhong 山东胜利一中,257000 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2009,(4) 0次

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