高中数学选修2-1公开课课件2.2.1椭圆及其标准方程_图文

一.课题引入:

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

我们的太阳系

行星运行的轨道

2.1.1 椭圆及其标准方程

问题1:圆的几何特征是什么? 平面内到一定点的距离为常数的点的轨 迹是圆。

问题2:如果我们将圆定义中的一个定点改变成 两个定点,动点到定点距离的定长改变成动点到 两定点的距离之和为定长。那么,将会形成什么 样的轨迹曲线呢?

数 学 实 验
(1)取一条细绳, (2)把它的两端 固定在板上的两 点 F 1 、 F2 (3)用铅笔尖 (M)把细绳拉 紧,在板上慢慢 移动看看画出的 图形

F1

F2

M

F1

F2

(1)在画出一个椭圆的过程中,F1、F2 ︳F1F2︱=2c 的位置是固定的还是运动的? (2)在画椭圆的过程中,绳子的长度变 ︱MF1︳+︱MF2︳=2a 了没有?说明了什么? (3)在画椭圆的过程中,绳子长度与两 2a>2c 定点距离大小有怎样的关系?
不存在 若2a<2c,则轨迹为____。

线段 若2a=2c,则轨迹为____。

椭圆的定义

? 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于
常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

? 这两个定点叫做椭圆的焦点,
? 两焦点的距离叫做焦距.
F1

M

F2

自学导引
椭圆的定义 1. 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 平面内与两个定点F1、F2的__________________________
焦点 , 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____ 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距. _______________ 想一想:在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”

或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?

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小结(1):满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆?
平面上----这是大前提 动点 M 到两个定点 F1、F2 的距 离之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C

MF1 ? MF2 ? 2a

(2a>2c)

探究:
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的 距离和为10,则M点的轨迹是什么? 椭圆
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为6,则M点的轨迹是什么? 线段AB (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为5,则M点的轨迹是什么? 不存在

感悟:(1)若|MF |+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
1

(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
建式 系 列 化 设 简 点 y y y y M M
O

y F2

F1
O

O O

O F2

xx x F1

x

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:“对称”、“简洁”

建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值,设为2a,则2a>2c
y
P(2x , y ) 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ? + y 2 = 2a

?

? x + c?
2

2

, 0? ca , 0?2c + ? O ? x -F + y 2F= c2? y2 1? -2

x
2

? ? x + c ? + y 2 = 4a 2 - 4a
2

? x - c?

2

+ y2 ? ? x - c ? + y2

? ? a2 - c2 ? x2 + a2 y2 = a2 ? a 2 - c2 ?
2 2 2

2 ?设 a 2 -P cx = a x c + y ? ? ( x,y )是椭圆上任意一点

设|F以 cF ,则有 F1(-c,0) 、 F2(c,0) x 轴,线段 F1F2 1FF 2|=2 1、 2 所在直线为 2 2 2 2 2 2 设 a - c = b ? b > 0? 得 b x +a y =a b 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. x y + = 1 ? a > b > 0? 即:
2 2

a2

b2

椭圆的标准方程⑴
x y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:
2 2

y M

F1

0

F2

x

① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0)

③ c2= a2 - b2

椭圆的标准方程⑵
y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:
2 2

y

F2
M O F1 x

① 椭圆的焦点在y轴

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

观察下图,你能从中找出表示c,a, 的线段吗?(课本33页思考)
y P

a2 ? c2

因为c2=a2-b2

所以 b ? a ? c
2

2

b
F1 O

a c

F2

x

思考:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢

小 结:
定 义

椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

c2=a2-b2

2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 _________ (a >b>0) ________ (_______________ -c,0),(c,0)

自学引导
焦点在y轴上 __________ (________ a>b>0) (0 ,-c),(0,c) ______________

标准方程

焦点坐标

a、b、c 的关系

a2-b2 c2=______

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椭圆的标准方程的再认识:
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1; (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2 (不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆);

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值;
(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在 哪一个轴上 .

名师点睛
2. 椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2=b2+c2且 a>b>0,其中2a表示椭圆上的点到两焦点

的距离之和,可借助如图所示的几何特征
理解并记忆. (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是 看大小,即看x2,y2的分母的大小,哪个 分母大,焦点就在哪个坐标轴上.较大的

分母是a2,较小的分母是b2.

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例、填空:

x2 y2 已知椭圆的方程为: 25 ? 16 ? 1 ,则 4 3 ,焦点坐标 a=_____ ,c=_______ 5 ,b=_______ 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 20 左焦点F1的弦,则△F2CD的周长为________
C O F1 F2 Y

X

D
2 2 变式: 若椭圆的方程为 16x ? 9 y ? 144

x y ? ?1 9 16

2

2

跟踪练习:

x2 y2 ? 1 ,则 1、已知椭圆的方程为: ? 4 5 2 ,c=_______ 1 ,焦点坐标为: a=_____ 5 ,b=_______ (0,-1)、(0,1) 焦距等于__________; ___________ 曲线上一点P 2 到焦点F1的距离为3,则点P到另一个焦点F2的距 2 5 ? 3 ,则△F1PF2的周长为 离等于_________ ___________ 2 5?2 y
F2 P
O

x
F1

课本 42页 练习1

课本 42页 练习2

x y 则a= 7,b= 3 ; 4. ? ? 1, 3 7 2 2 5 、 mx ? ny ? 1 (m ? n ? 0)

x y 1. 2 ? 2 ? 1 , 则a= 5 ,b= 3 ; 5 3 2 2 x y 则a= 6 ,b= 4 ; 2. 2 ? 2 ? 1, 4 6 2 2 x y 则a= 3 ,b= 2 ; 3. ? ? 1, 9 4
2 2

2

2

写出下列椭圆的焦点坐标 2 2 x y ? ? 1 答:在x轴上 25 16 (-3,0),(3,0)

x y ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在y轴上 (0,5),(0,-5)

x y 答:在x轴上 ( a ? 0 ) ? ?1 (-1,0),(1,0) a ?1 a
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。

例:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),
? 3 5? 并且椭圆经过点? ? , ? 。 ? 2 2?

⑵a=3,c=2。

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

小结:求椭圆标准方程的步骤: ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值。 练习: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

⑴a= 6 ,b=1, 焦点在x轴上。 ⑵焦点为F1(0,-3), F2(0,3),且a=5。 ⑶a+b=10,c=
《全品》——P14,知识点二 或

提高练习:
x2 y2 + = 1 表示焦点在y轴 1、已知方程 m -1 3 - m

的椭圆,则m的取值范围是 (1,2)



《全品》——P14,当堂检测

例.椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0) (4,0),椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10, 求椭圆的标准方程。 解: ∵椭圆的焦点在x轴上 .
x y ∴设它的标准方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
2 2

y
M
F1

∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4

o

F2

x

∴ b2=a2-c2=52-42=9
x2 y2 ? ?1 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9

讲评例题

例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),并且椭 圆经过点 ? ? 3 , 5 ?
? ? ? 2 2?

解:∵ 椭圆的焦点在y轴上,

y2 x2 ∴ 设它的标准方程为 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)

由椭圆的定义知,
2

? 3? ? 5 ? ? 3? ? 5 ? 2a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ?

2

2

2

? 2 10
又 ∵ c=2

? a ? 10
2 2

y x ∴ 所求的椭圆的标准方程为 ? ?1 10 6

?b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 2 2
2

解题感悟:求椭圆标准方程的步骤:
①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求a, b的值.

例题讲解
例2、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从 这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段 PP’中点M的轨迹。 解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为 ?x 0 , y 0 ? 则 x ? x0
2 0 2 0

,

? P( x0 , y0 )在圆x 2 ? y 2 ? 4上 ?x ? y ? 4 将x0 ? x , y0 ? 2 y代入上述方程
得 即 x2 ? 4 y2 ? 4 x2 ? y2 ? 1 4

y0 y? 2

y
M

P x

?

0 P’

例2.如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作 x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时, 线段PD中点M的轨迹是什么?为什么?
y

P
M?

0

D

x

方法归纳: 寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0 , y0之间的关 系,然后消去x0 , y0,得到点M的轨迹的方程.-------

叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法)

例3.如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM

4 相交与点M,且它们的斜率之积是 ? 9

,求点M 的轨迹

y M

x

A

0

B

课本 42页 习题 4

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4.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两 焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程 为________. 解析 由已知2a=8,2c=2 15 , ∴a=4,c= 15, ∴b2=a2-c2=16-15=1, ∴椭圆标准方程为

y +x2=1. 16

2

y 答案 +x2=1 16

2

x y 5.已知椭圆 ? ? 1 的焦距为6,则k的值为 20 k ________.
解析 由已知2c=6, ∴c=3,而c2=9, ∴20-k=9或k-20=9, ∴k=11或k=29. 答案 11或29

2

2

7.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动 点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q的轨迹是 ( ). A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析 如图,依题意: |PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数). 又∵|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a. ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心, 2a为半径的圆,故选A. 答案 A

线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的________倍. 解析 依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(- 3,0),F2(3,0),设P点的坐标为(x1,y1), x1 ? 3 由线段PF1的中点的横坐标为0,知 = 0, 2 2 2 x y ∴x1=3.把x1=3代入椭圆方程 ? ? 1 , 12 3 3 3 得y1=± ,即P点的坐标为(3,± ), 2 2 3 ∴|PF2|=|y1|= . 2 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=4 3 ,
3 7 3 ∴|PF1|=4 3 -|PF2|=4 3 ? ? 2 2 即|PF1|=7|PF2|.

2 2 x y 10.椭圆 ? ? 1 的两个焦点为F1和F2,点P在椭圆上, 12 3

答案 7


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