[]简单复合函数的求导法则_图文

2.5简单复合函数的求导法则

一、教学目标:1、了解简单复合函数的 求导法则;2、会运用上述法则,求简单 复合函数的导数。 二、教学重点:简单复合函数的求导法 则的应用 教学难点:简单复合函数的求导法则的 应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程

复习:两个函数的和、差、积、商的 求导公式。 1、 常见函数的导数公式:
n n ? 1 C ' ?0 (x )' ?nx (cos x )' ? ? sin x

(sin x )' ? cos x

' ' ' 2、法则1 [ u ( x ) ? v ( x )] ? u ( x ) ? v ( x ) 法则2 [ ? u ( x ) v ( xu ) ] ? ' ( x ) v ( x )( ? u x ) v ' ( x ) ,

?? [ C u () x ] C ux ' ()
'

法则3

u'v? u v' ?u? ? ?? 2 v ?v?

( v?0 )

复合函数的导数
新授课
2 2 y ? ( 3 x ? 2 ) y ? u u ? 3 x ? 2 函数 , , 构成间的关系? 2 2 y? ( 3 x ? 2 ) y ? u ? 3 x ? 2 可由 与 u 复合得到.

例1 指出下列函数的复合关系:
23 y ? ( 2 ? x ) ( 1)
2 y ? sin x ( 2)

?? ? y ? cos ? x ? ln sin( 3 x ? 1 ) ? ? ( 4) y ( 3) ?4 ? ? ??2 3 ? 3 2 cos y ? cos u ,? u ? ? x y ? u , u ? 2 x y? ? ( 2 ? )x ?x? ?由 解:( 由 复合而成. (1 3)y 4 复合而 ?4 ? 成. 2 2 y ? sin x y ? sin u , u ? x y ? ln u , u ? sin v , v ? 3 x ? 1 y ? ln sin( 3 x ? 1 ) (4 ) (2 ) 由 由 复合而成. 复合而成.

复合函数的导数
新授课

例2 写出由下列函数复合而成的函数: ? ln u , u ? ln x (1)y 2 (2) y ? cos u , u ? 1 ? x
解:(1) ( 2)

y ? ln(ln x ).

y ? cos( 1 ? x)
2

一般的,对于两个函数 y ? f ( u )和 u ? g ( x )通过变量
y、 u 可以表示成 x 的函数 y?f( g ( x ))

? f ( u )和 u ? g ( x ) 那么称这个函数为 y
的复合函数
要求掌握内层函数为一次复合函数的导数

复合函数的导数
新授课
2 2 ? ? ? , u ,f ( x ) y ? u , u ? 3 x ? 2 f ( x ) ? ( 3 x ? 2 ) u x 若 , ,求 y

并分析三个函数解析式以及导数之间的关系.
? y u u ?2

? u x ?3

2 2 ? ? ? f ( x ) ? [( 3 x ? 2 ) ] ? ( 9 x ? 12 x ? 4 ) ? 8 x ? 12

2 f ( x ) y ? u , u ? 3 x ? 2 函数 可由 复合而成.

? ? y ? u ? 2 u ? 3 ? 2 ( 3 x ? 2 ) ? 3 ? 18 x ? 12 u x
? ? ? f ( x ) ? y ? u u x

复合函数的导数
新授课
? ? (x ) ? ? ? ( x ) 一般地,设函数 u 在点 x 处有导数 u ,函 x? u ) ? ? f ( u ) u? 数 y?f( 在点 x 的对应点 u 处有导数 y ,则复合 y ? f ( ? ( x )) 函数 在点 x 处也有导数,且

? ? ? y y ? u x? u x

或写作

? ? ? f ( ( x )) ? f ( u ) ( x ) x

?

?

复合函数的导数
例题讲解

例3



y ? ( 2 x ? 1 ) 的导数.
5
5

? u , u ? 2 x ? 1 解:设 y , 则

? ? ? ? ? y ? y ? u ? ( u ) ? ( 2 x ? 1 ) x ux x
5 u

? 5 u ? 2 ? 5 ( 2 x ? 1 ) ? 2 ? 10 ( 2 x ? 1 )
4 4

4

例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中, 水面高度y(单位:cm)。关于时间t(单位:s)的 100 函数为 y ?h (t) ? ,求函数在t=3时的导数,
2 t ?1

x ? ? ( t ) ? 2 t? 1 复合而成的,其中x是中间变量。
100 200 ? ? ? ? y ? h ( t ) ? f ( x ) ? ( t ) ? ? ? 2 ? ? t 2 2 将t=3代入 x ( 2 t ? 1 )

100 100 解:函数 y ?h(t) ? 是由函数 f ( x) ? 2 t ?1 x 与

并解释它的实际意义。

h ?(t )

得: h?(3) ? ? 200 (cm/s)。 49 它表示当t=3时,水面高度下降的速度为

200 cm/s。 49

小结 : ⑴复合函数的求导,要注意分析复合函数 的结构,引入中间变量,将复合函数分解 成为较简单的函数,然后再用复合函数的 求导法则求导; ⑵复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代 练习: 课本 P51 练习.

作业:课本 P51 习题2-5: 2、3、5

五、教后反思:


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