【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 第21讲 数列的应用课件 理_图文

1.某商品降价10%后欲恢复原价,则 1 11 % 应提价 9  
解析:设应提价x%. 由题意,得 ?1 ? 10% ??1 ? x% ? ? 1, 1 100 1 所以x ? ( ? 1) ? 100 ? ? 11 9 9 9 10

2.如图所示的表格里,每格填上一个数字 后,使每一横行的数成等差数列,每一列 7 的数成等比数列,则a+b= 4 —————— 2 1 2 a 6

b

解析:由题意知,第一行空格内的数是4,故 22 a? ? 1;第三列的第二个空格内的数是3, 4 3 3? 32 3 2 第三个空格内的数是 ? ,所以b ? 6 2 6 3 3 7 ? ,所以a ? b ? 1 ? ? 4 4 4

3.已知a,b,c成等比数列,如果a,x,b和b,y, a c c( xy ? 0)都成等差数列,则 ? ?   2   . x y 解析:方法1:设b ? aq,c ? aq 2 (q ? 0), a?1 ? q ? aq?1 ? q ? 则x ? ,y ? . 2 2 因为x ? 0,所以q ? ?1, a c 2 2q 所以 ? ? ? ? 2. x y 1? q 1? q a c 方法2:令a ? b ? c,则x ? y ? a,从而 ? ? 2. x y

4.从盛满a升酒精的容器里倒出b ? b ? a ? 升,然后 用水加满,再倒出b升,再用水加满.这样倒了3 b 3 次,则容器中还有纯酒精 a(1 ? )   升. a b 解析:由题意知,这是一个公比q ? 1 ? 的等比 a 数列.若设倒第一次后容器中还有纯酒精a1升,
b 则a1 ? a (1 ? ).这样倒了3次,则容器中还有纯 a b 3 酒精a3 ? a (1 ? ) 升. a

5.某工厂去年的产值为a,计划在今后5年

内每年比上一年产值增长10%,则从今年
起到第5年,这个厂的总产值为________ 6.72a (1.15=1.611,精确到0.01).

解析:总产值为a ?1 ? 10% ? ? a ?1 ? 10% ? 1.1?1 ? 1.15? ??? a ?1 ? 10% ? ? a ? ? 1 ? 1.1 6.72a.
5

2

数列与函数、不等 式知识的综合应用
【例1】 Sn 已知数列?an ?的前n项和为S n,点(n, )在直 n 1 11 线y= x+ 上.数列?bn ? 满足:bn+2-2bn+1 2 2 +bn=0(n ? N* ),且b3=11,前9项和为153.

?1? 求数列?an ?,bn ?的通项公式; ?
3 ,数列?cn ?的 ? 2 ? 设cn= ? 2an ? 11?? 2bn ? 1? k 前n项和为Tn,求使不等式Tn ? 对一切 57 n ? N*都成立的最大正整数k的值.

Sn 1 11 【解析】1?因为点( n, )在直线y= x+ 上, ? n 2 2 Sn 1 11 1 2 11 所以 = n+ ,即S n= n + n, n 2 2 2 2 从而得an=S n-S n-1=n+5. 因为bn+2-2bn+1+bn=0( n ? N* ), 所以bn+2-bn+1=bn+1-bn=?=b2-b1. 所以数列?bn ? 是等差数列. 因为b3=11,它的前9项和为153,设公差为d, 9?8 则b1+2d=11,9b1+ ? d=153, 2 解得b1=5,d=3.所以bn=3n+2.

3 ? 2 ?由?1? 得,cn= ? 2an ? 11?? 2bn ? 1? 1 1 1 1 = = ( ? ) ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1 所以Tn=c1+c2+c3+?+cn 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- )+ ( - )+ ( - )+?+ 2 3 2 3 5 2 5 7 1 1 1 1 1 ( - )= (1- ) 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1

1 1 因为Tn= (1- )在n ? N*上是单调递增的, 2 2n ? 1 1 所以Tn的最小值为T1= . 3 k 因为不等式Tn> 对一切n ? N*都成立, 57 k 1 所以 < ,所以k<19. 57 3 所以最大正整数k的值为18.

(1)利用通项与前n项和的关系求数列{an}的 通项公式;由等差中项可知{bn}是等差数列,由 题意可以求出首项和公差,进而求出通项公式; (2)使不等式Tn>k/57对一切n∈N*都成立,此

题中的不等式给出的形式就是右边含参数k,左
边是关于n的函数关系,即本身已经分离了参数, 所以只要(Tn)min> k/57,只要直接求有关数列的 最值.判定数列的单调性,可以由其对应函数的 图象判定,也可以比较数列中第n+1项与第n项

的大小判定.

【变式练习 】 1 (2010? 苏州市高考信息卷) 设f ? x ?=x 3,等差数列?an ?中,a3=7,a1+ a2+a3=12,记S n=f ( 3 an ?1 ).令bn=an S n,数 1 列{ ?的前n项和为Tn . bn 1 ? 2 ? 求证:Tn ? . 3

?1? 求?an ?的通项公式与Sn;

【解析】1? 设数列?an ?的公差为d . ? 由a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得a1=1,d=3,所以an=3n-2. 因为f ? x ?=x 3,所以S n=f ( 3 an ?1 )=an+1=3n+1.

? 2 ? 证明:因为bn=an Sn=(3n-2)(3n+1),
1 1 1 1 1 所以 = = ( ? ), bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1 1 1 1 所以Tn= (1- )? . 3 3n ? 1 3

数列中的探索性 问题
【例2】 各项均为正数的数列?an ?的前n项和为Sn, 1 2 1 * Sn= an+ an (n ? N ). 4 2 ?1? 求an;

? an ? n为奇数 ? ? 2 ? 令bn= ?b ? n为偶数 ?,cn=b2n+4 (n ? N* ), ? n ? 2 ? 求 ?cn ?的前n项和Tn;

? 3? 令bn=? qan+? (?、q为常数,q ? 0且q ? 1),
cn=3+n+(b1+b2+?+bn ).是否存在实数对 (?,q ),使得数列?cn ? 成等比数列?若存在, 求出实数对(?,q )及数列?cn ?的通项公式;若 不存在,请说明理由.

1 2 1 1 2 1 【解析】1? a1=S1= a1 + a1 ? a1 - a1 ? 0. ? 4 2 4 2 因为a1 ? 0,所以a1=2; 1 2 1 1 2 1 当n ? 2时,an=S n-S n-1= an+ an- an ?1 - an ?1 , 4 2 4 2 1 2 1 2 (an-an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ? 0, 4 2 即(an+an-1 )(an-an-1-2)=0. 因为an ? 0,所以an-an-1=2, 所以?an ? 为等差数列, 所以an=2n(n ? N* ).

? 2 ? c1=b6=b3=a3=6,
c2=b8=b4=b2=b1=a1=2. 当n ? 3时,cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1 =a2n-2+1=2 =2 n+2n; ?6( n ? 1) 所以Tn= ? n . ? 2 +2n( n ? 2且n ? N*)
n-1

+2,

此时,Tn=8+(2 2+2)+(23+2)+?+(2 n-1+2)

? 3? cn=3+n+
=3+

? q 2 (1 ? q 2 n )
1? q 1? q
2 2

+? n

?q2
1? q
2



? q 2n?2

+(?+1) n.

2 ? ?q ?? ? ?1 ?0 ? ?3+ 2 令 ? 1? q ?? 3. ??+1 ? 0 ?q ? ? ? 2 ?

3 3 n+1 所以存在(?,q )=(-1, ? ),cn=4 ? ( ) . 2 4

应用递推公式时要注意下标是 正整数,即要注意n的取值范围;对

等差数列和等比数列的通项公式和
前n项求和公式的特征要熟练掌握并 且能够应用.本题(3)也可以从特殊 到一般,先由c1 ,c2 ,c3 成等比数列, 求出(λ,q),再代入检验.

【变式练习2】 (2011 ? 无锡期末卷)已知数列?an ?的首项 3an 3 a1 ? ,an ?1 ? ,n ? 1, 2, . ? 5 2an ?1 1 ?1? 求证:数列{ ? 1}为等比数列; an 1 1 1 ? 2 ? 记Sn ? ? ? ?? ,若Sn<100, a1 a2 an 求最大的正整数n;

1 2 1 解析: ? 证明:因为 ? ? , ?1 an ?1 3 3an 1 1 所以 ? 1 ? ( ? 1), an ?1 an 1 且因为 ? 1 ? 0,所以 ? 1 ? 0( n ? N* ), a1 1 ?1 an ?1 1 1 所以 ? ,所以数列{ ? 1}为等比数列. 1 an ?1 3 an

1 2 1 n ?1 ? 2 ?由?1? 可求得 ? 1 ? ? ( ) , an 3 3 1 n 所以 ? 2 ? ( ) ? 1. 3 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ? n ? 2( ? 2 ? ? ? n ) a1 a2 an 3 3 3 1 1 ? n ?1 3 3 ? n ?1? 1 , ? n ? 2? 1 3n 1? 3 1 若Sn<100,则n ? 1 ? n <100,所以n的最大值为99. 3

假设存在,则m ? n ? 2s,am ? 1? ? ? an ? 1? ? ? ? as ? 1? .
2

3n 3n 3m 因为an ? n ,所以( n ? 1) ? ( m ? 1) 3 ?2 3 ?2 3 ?2 3s ?( s ? 1) 2 . 3 ?2 化简得: ? 3n ? 2 ? 3s, 3m 因为3m ? 3n ? 2 ? 3m ? n ? 2 ? 3s,当且仅当m ? n时等号 成立. 又m、n、s互不相等,所以不存在.

数列的实际应用
【例3】 某企业2009年的纯利润为500万元,因设备老化 等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进 行技术改造,预计从2010年起每年比上一年纯 利润减少20万元.2010年初该企业一次性投入资 金600万元进行技术改造,预计在未扣除技术改 造资金的情况下,第n年(2010年为第一年)的利润 1 为500(1+ n )万元(n为整数). 2

(1)从2010年起的前n年,若该企业不进行 技术改造的累计纯利润为An万元,进行技 术改造后的累计纯利润为Bn万元(需扣除技 术改造资金),求An和Bn的表达式;

(2)依据上述预计,从2010年起该企业至少
经过多少年,进行技术改造后的累计纯利 润超过不进行技术改造的累计纯利润?

【解析】1?由题意知: ? An=(500-20)+(500-2 ? 20)+?+(500-n ? 20) n? n ? 1? =500n-20 ? =490n-10n 2, 2 1 1 1 Bn=500[(1+ )+(1+ 2 )+?+(1+ n )]-600 2 2 2 1 1 ? ?1 ? n ? 2 -600 =500n+500 ? 2 1 1? 2 500 =500n- n -100. 2

500 ? 2 ? Bn-An=(500n- n -100)-(490n-10n 2 ) 2 500 =10[n( n+1)- n -10]. 2 500 因为函数y=x ( x+1)- x -10在(0,+?)上是增函数, 2 故当1 ? n ? 3时, 500 500 n(n+1)- n -10 ? 3 ? (3+1)- 3 -10 ? 0; 2 2 500 500 当n ? 4时,n(n+1)- n -10 ? 4 ? (4+1)- 4 -10 ? 0; 2 2 即当n ? 4时,Bn ? An . 所以,从2010年起该企业至少经过4年,进行技术改造 后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

本题考查利用等差、等比数列的基本知
识解决实际问题的能力.“每年比上一年纯

利润减少20万元”是等差数列模型,“累计
纯利润”是求和,因此,本题用等差、等比 数列求和的方法求得累计纯利润;“至少经

过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超
过不进行技术改造的累计纯利润”就是要求

出Bn>An的最小正整数n.本题是用构造函数,
利用单调性的方法解决这个问题的.

【变式练习3】 某产品具有一定的时效性,在这个时效期 内,由市场调查可知,在不作广告宣传且 每件获利a元的前提下,可卖出b件;若作 广告宣传,广告费为n千元比广告费为(n-1) b 千元时多卖出 n (n ? N* )件. 2 ?1? 试写出销售量Sn与n的函数关系式;

? 2 ?当a=10,b=4000时,厂家应生产多少件
这种产品,作几千元的广告,才能获利最大?

【解析】1? 设S0 表示广告费为0元时的销售量. ? b b 由题意知S n-S n-1= n ,S n-1-S n-2= n ?1 , , ? 2 2 b b S 2-S1= 2 ,S1-S0= , 2 2 b b 将上述各式相加,得S n=b+ 2 ? L ? n 2 2 1 n ?1 b[1 ? ? ? ] 1 2 = =b ? (2- n ). 1 2 1? 2

? 2 ?当a=10,b=4000时,设获利为Tn元.
由题意知Tn=10 S n-1000n 1 =40000 ? (1- n )-1000n. 2 欲使Tn最大, ?Tn ? Tn ?1 ?n ? 5 则? ,代入解得 ? . ?n ? 5 ?Tn ? Tn ?1 所以n=5,此时S5=7875. 即厂家应生产7875件这种产品,作5千元 的广告,才能获利最大.

1.如果执行下面的流程图,那么输出的S 2550 =______________.

2.(2009·陕西)设曲线y=xn + 1(n∈N*)在 点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标 为xn,令an=lgxn,则a1+a2+?+a99的 -2 值为_________.
【解析】y?=(n+1) x n,所以k=n+1, 切线方程y-1=(n+1)( x-1). n 令y=0,xn= .因为an=lgxn, n ?1 所以a1+a2+?+a99=lgx1+lgx2+?+lgx99 1 =lg( x1 ? x2 ??? x99 )=lg =-2. 100

3.在数列{an}中,已知a1 =2,a2 =3, 当n≥2时,an+1 是an·an-1 的个位数, 则a2010=__________. 4 【解析】列举出数列{an}的前几项: 2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,…,从第 3项开始呈周期为6的重复出现,所以 a2010=a6=4.

4.已知二次函数f ? x ? ? ax ? bx的图象过点
2

(n ? ?4n, 0 ?,且f ? ? 0 ? ? 2n, ? N 解析式为

*

),则f ? x ?的

则数列?an ?的通项公式为 4 * (n ? N )   an ? 2 ? 2n ? 1?

1 2 * f ? x ? ? x ? 2nx(n ? N ) ; 2 1 1 若数列?an ? 满足 ? f ?( ),且a1 ? 4, an ?1 an

?b ? 2 n 解析:由f ? ? x ? ? 2ax ? b,所以 ? 2 ?16n a ? 4nb ? 0 1 解之得a ? ,b ? 2n, 2 1 2 * 即f ? x ? ? x ? 2nx(n ? N ); 2 1 1 1 1 由 ? ? 2n,所以 ? ? 2n, an ?1 an an ?1 an 1 1 4 2 由累加得 ? ? n ? n,所以an ? (n ? N* ). 2 an 4 ? 2n ? 1?

5.n (n ? 2)个正数排列如下表所示的n
2

行n列:aij 表示第i行第j列的数,其中 第一行的每个数从左到右成等差数列, 每一列从上到下成等比数列,且公比 1 3 相等,若a42= ,a43= ,a24=2. 4 8

a11 a12  a13    a1n ? a21 a22  a23    a2n ? a31 a32  a33    a3n   ? ?        ???? an1 an 2  an 3    ann ?

?1? 求aij的表达式(用i,j表示); ? 2 ? 设Sn=a11+a22+a33+?+ann,求S的值.

【解析】1? 设第一行等差数列的公差为d,每 ? 一列的等比数列的公比为q,则由题意有, 1 ? 3 3 ? ?a42 ? a12 q ? (a11 ? d )q ? 4 ? a11 ? 1 ? ? 3 ? 3 3 ?a43 ? a13 q ? (a11 ? 2d )q ? , 解得 ?d ? 1 , 8 ? ? 1 ?a24 ? a14 q ? (a11 ? 3d )q ? 2 ?q ? ? 2 ? ? 1 i -1 i-1 i-1 所以aij=a1 j q =[a11+( j-1)d ]q =j ( ) . 2

1 n-1 ? 2 ?由?1? ann=n( ) , 2 得S n=a11+a22+a33+?+ann 1 1 2 1 n-1 =1+2 ? +3 ? ( ) +?+n ? ( ) ,① 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 所以 S n=1? +2 ? ( ) +3 ? ( ) +?+n ? ( ) 2 2 2 2 2 由①-②得 1 1 1 2 1 n-1 1 n S n=1+ +( ) +?+( ) -n ? ( ) , 2 2 2 2 2 1 n-1 故S n=4-( n+2)( ) 2

本节内容主要从三个方面考查: 一是等差、等比数列的混合运算, 要在熟记公式的基础上,巧用等差、等 比数列的一些性质,正确列出方程(组),

再灵活、巧妙地运用运算法则,减少运
算量,提高解题速度;

二是与函数、不等式结合,运用 函数的性质求最值或证明不等式; 三是解决生活中的实际问题,关

键是从等差、等比数列的定义出发思
考、分析,建立适当的数学模型,再 用通项公式求解,或者通过归纳、验 证得出结论,再用数列知识求解.

1.在解决数列实际问题时,首先要弄 清需要哪些数列知识,是求通项,还是求和, 或是递推关系问题,先将问题数学化,再函 数化,最后数列化,即建立恰当的数列模型,

进行合理的推理和运算,以得出实际问题所
需要的结论. (1)一个实际问题,可建立等差数列的模 型的必要条件是:离散型的变量问题,且变 量取相邻两个值的差是同一个常数(如:利

息中的单利问题).

(2)一个实际问题,可建立等比数列的

模型的必要条件是:离散型的变量问题,
且变量取相邻两个值的比是同一个常数(如:

增长率、复利、分期付款问题等).
(3)在解决数列实际问题时,必须准确 计算项数,例如与“年数”有关的问题,

必须确定起算的年份,而且要准确定义an
是表示“第n年”还是“n年后”.

2.数列是一种特殊的函数.解数
列综合问题要恰当运用函数、不等式和 方程的思想方法.等价转化和分类讨论 的思想在本节也有重要体现.复杂的问 题总是要通过转化,变为等差、等比或

常见的特殊数列问题来解决.

3.根据等差、等比数列的通项公
式及求和公式,列出方程或方程组,求 首项和公差或公比,是等差、等比数列 混合运算常见的求解过程.因而,公式 记忆准确无误、消元方法的灵活运用等

数学基本功一定要扎实.


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