2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含解析)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,含解 析)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1、若集合 ? ? x ?5 ? x ? 2 , ? ? x ?3 ? x ? 3 ,则 ? ? ? ? ( A. x ?3 ? x ? 2 C. x ?3 ? x ? 3 【答案】A

?

?

?

?



?

?

B. x ?5 ? x ? 2 D. x ?5 ? x ? 3

?

?

?

?

?

?

考点:集合的交集运算. 2、圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

) B. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得圆的半径为 r ? 考点:圆的标准方程. 3、下列函数中为偶函数的是( A. y ? x sin x
2

2 ,则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2


2

B. y ? x cos x

C. y ? ln x

D. y ? 2

?x

【答案】B 【解析】 试题分析:根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定 义域为 (0, ??) 不具有奇偶性,D 选项既 不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 考点:函数的奇偶性. 4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况, 在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( A.90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 人数 ) D.300

100 B.

180 C.

900

1800 1600
4300

1600 16 ? ;设样本中老年教师的人 900 9

数为 x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即

320 16 ? ,解得 x ? 180 . x 9
考点:分层抽样. 5、执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为( A. 3 B. 4 C. 5 ) D. 6

【答案】B

考点:程序框图. 6、设 a , b 是非零向量, “ a ? b ? a b ” 是“ a //b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析: a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? ,由已知得 cos ? a, b ?? 1,即 ? a, b ?? 0 , a //b . 而当 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a ? b ? ? | a || b | ,故“ a ? b ? a b ”是“ a //b ” 的充分而不必要条件. 考点:充分必要条件、向量共线. 7、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

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? ? ? ?

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? ?

【答案】C 【解析】 试题分析:四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知, SC ? 平面 ABCD,SA 是四棱锥最长的棱,

SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 3 .
考点:三视图. 8、某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015 年 5 月 1 日

12

35000

2015 年 5 月 15 日

48

35600

注: “累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均 耗油量为( A. 6 升 【答案】B ) B. 8 升 C. 10 升 D. 12 升

【解析】 试题分析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量

V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间
内,该车每 100 千米平均耗油量为 考点:平均耗油量. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9、复数 i ?1 ? i ? 的实部为 【答案】-1 【解析】 试题分析:复数 i(1 ? i) ? i ? 1 ? ?1 ? i ,其实部为-1. 考点:复数的乘法运算、实部. 10、 2 , 3 2 , log2 5 三个数中最大数的是 【答案】 log2 5 【解析】 试题分析: 2
?3
?3

48 ? 100 ? 8 升,故选 B. 600



1



?

1 1 ? 1 , 32 ? 3 ? 1 , log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log2 5 最大. 8

考点:比较大小. 11、在 ??? C 中, a ? 3 , b ? 【答案】 【解析】 试题分析: 由正弦定理, 得

6 , ?? ?

? 4

2? ,则 ?? ? 3



a b ? 3 6 2 ? , 即 , 所以 sin B ? , 所以 ?B ? . ? sin A sin B 4 2 3 sin B 2

考点:正弦定理.

y2 12、已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ? 2 ? 1( b ? 0 )的一个焦点,则 b ? b
2



【答案】 3

【解析】 试题分析:由题意知 c ? 2, a ? 1 , b ? c ? a ? 3 ,所以 b ? 3 .
2 2 2

考点:双曲线的焦点. 13 、如 图, ??? C 及其内部 的点组成 的集合记为 D , ? ? x, y ? 为 D 中任意 一点,则

z ? 2 x ? 3 y 的最大值为



【答案】7

考点:线性规划. 14、高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在 全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看, ①在 甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 【答案】乙、数学 【解析】 试题分析:①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成 . ;

绩排名靠前,故填乙. ②由图可知, 比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多; 而总成绩的排名中比丙排名靠后的人 数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学. 考点:散点图. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 15、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ?0,
2

x . 2

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

【答案】 (1) 2? ; (2) ? 3 .

考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 16、 (本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

【答案】 (1) an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ; (2) b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学生的分析问题 解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和 d,解方程得到 a1 和 d 的值,直接写出等差数列的通项公式即可;第二问,先利 用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用等比数列的通项公式,将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q, 解出 b1 和 q 的值,得到 b6 的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出 n 的值,即 项数. 试题解析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2

(n ? 1, 2,?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 考点:等差数列、等比数列的通项公式. 17、 (本小题满分 13 分)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四 种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ 甲 乙 丙 丁

100

217
200 300 85 98

× √ √ √ ×

√ √ × × √

× √ √ × ×

√ × × × ×

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】 (1)0.2; (2)0.3; (3)同时购买丙的可能性最大. 【解析】 试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、计算能力.第一问,由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200,计算出概率; 第二问,先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的人数 100+200,再计 算概率;第三问,由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为 200,顾客同时购买甲和丙的 人数为 100+200+300,顾客同时购买甲和丁的人数为 100,分别计算出概率,再通过比较大 小得出结论. 试题解析: (Ⅰ) 从统计表可以看出, 在这 1000 位顾客中, 有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计 表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、 丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 (Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

100 ? 200 ? 0.3 . 1000

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 1000 100 ? 0.1 , 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率. 18、 (本 小题满分 14 分)如图,在三棱锥 V ? ??C 中,平面 V?? ? 平面 ?? C , ?V?? 为等边三角形, ?C ? ?C 且 ?C ? ?C ?

2 , ? , ? 分别为 ?? , V? 的中点.

(Ⅰ)求证: V? // 平面 ??C ; (Ⅱ)求证:平面 ??C ? 平面 V ?? ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? ??C 的体积.

【答案】 (1)证明详见解析; (2)证明详见解析; (3) 【解析】

3 . 3

试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、 三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑 推理能力、 转化能力、 计算能力.第一问, 在三角形 ABV 中, 利用中位线的性质得 OM / /VB , 最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问,先在三角形 ABC 中得到 OC ? AB ,再利 用面面垂直的性质得 OC ? 平面 VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱 锥进行等体积转化, 利用 VC ?VAB ? VV ? ABC , 先求出三角形 VAB 的面积, 由于 OC ? 平面 VAB, 所以 OC 为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析 : (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面 MOC, 所以 VB / / 平面 MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以 OC ? 平面 VAB. 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直 角三角形 ACB 中, AC ? BC ?

2,

所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形 VAB 的面积 S?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S?VAB ?

1 3

3 . 3

又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为

3 . 3

考点:线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公 式. 19、 (本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

?

?

【答案】 (1)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值

f ( k) ?

k (1 ? ln k ) ; (2)证明详见解析. 2

所以, f ( x ) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x ) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

k (1 ? ln k ) . 2

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.
1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0, 2 2

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ?

所以 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 综上可知,若 f ( x ) 存在零点,则 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点 . 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点 问题. 20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 3 ,过点 D ?1,0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线 与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D ? 的位置关系,并说明理由. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线 的斜率、两直线的位置关系 等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将椭 圆方程化为标准方程,得到 a,b,c 的值,再利用 e ?

6 ; (2)1; (3)直线 BM 与直线 DE 平行. 3

c 计算离心率;第二问,由直线 AB a

的特殊位置,设出 A,B 点坐标,设出直线 AE 的方程,由于直线 AE 与 x=3 相交于 M 点,所 以得到 M 点坐标,利用点 B、点 M 的坐标,求直线 BM 的斜率;第三问,分直线 AB 的斜率存 在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出 直线 AB 和直线 AE 的方程,将椭圆方程与直线 AB 的方程联立 ,消参,得到 x1 ? x2 和 x1 x2 , 代入到 kBM ? 1中,只需计算出等于 0 即可证明 kBM ? kDE ,即两直线平行.

x2 ? y 2 ? 1. 试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 3
所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

2.

c 6 ? . a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) .

令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 kBM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

由?

? x2 ? 3 y 2 ? 3 ? y ? k ( x ? 1)

,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 .

所以 x1 ? x2 ?

6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.


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