2013年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛_论文

2 0 1 4年第 2期  3 1   2 0 1 3年全 国高 中数学联赛辽宁赛 区预赛  中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 :A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 2— 0 0 3 1— 0 5   一 、 选择题 ( 每小题 6分 , 共3 6 分)   任意的  ∈( 0 , + O 0 ) , 均有  ) 一 l o g :  )= 6 .   1 . 已知集合  A={  I x   一 3 x 一1 0 ≤0 } ,   B={  I   m+1 ≤ ≤2 m 一1 } .   若 ‰ 是方程  )一 f   (  )= 4的一个解 , 且 。∈   ( o一 1 , 口 ) ( 口∈ Z+ ) , 贝 0 口 =(   ( A) 1   ( B ) 2   ( C ) 3   ) .   ( D ) 4   若 n  =  , 则实数 m的取值范围是(   ( A) 2 < m< 4   ) .   5 . 内直径 为  J  + 2 、 高为 2 0的 圆柱 形容 器  ( B ) m< 2 或 m> 4   ( A )3 O   ( c ) 一   < m < 4( D ) m < 一 丢 或 m > 4   2 . 过原点的直线 f 与双 曲线 x y=一 2   交于  中最多可放人直径为 2 的小球的个数是(   ( B ) 3 3   ( C ) 3 6   6 . 设实数 、 y满足  ) .   ( D) 3 9   P、 Q两 点 , 点 P在 第二 象限 , 将下 半平 面沿  轴  折起使之与上半 平面 成直 二面 角. 则 线段 P Q 的  最短长度为 (   ) .   1 7 ( x   + ) , 2 ) - 3 0 x y 一 1 6 = 0 .   则 ̄ / 1 6 x   + 4 y   一1 6 x y 一1 2 x + 6 ) , + 9 的最大值  为(   ) .   ( A ) 2   ( B ) 3 A -   ( c ) 4   ( o ) 4   ( A ) 7   ( B ) , / N  ( C )  ̄ / / 1 9   ( D) 3   3 . 设 口 、 6 、 c 均 为 非 零 复 数 , 令 ∞ = 一   + 譬 i .   若 詈 = 告 = 詈 , 则   笺  = (  ) .   ( A) 1   ( B )± ∞   二、 填空题 ( 每小题 9 分, 共5 4 分)   7 . 若2 “ + 2   = 2   , 2   + 2   + 2 。 = 2 。   , 贝 0   2   的最大值 为一   8 . 在长方体 A B C D— A 。 B 。 C 。 D 1 中, 已知 A B=   。 = 4 , A D=3 . 则 异面直线 A   D与  。 D 。 的距离  为— — .   9 . 已知椭 圆  ( C ) 1 ,  ,   ( D ) 1 , 一 ∞,   4 . 已知_ 厂 (  ) 是( 0 , +O 0 ) 上 的单调 函数 , 且对  r  +  + … + r D k   . 1 - 0 ( m o d   P ) .   ①  故  c   =   三0 ( m 0 d p ) .   欲证 r   , r : , …, r   互 不相 同, 只 需证 对任 意  的 6∈ { 1 , 2 , …, P一1 } , 存在 i ∈{ 1 , 2 , …, P一1 } ,   使得 6 =  .   否则 , 存在正整数 6 ( 1 ≤b ≤p一1 ) , 对任意的  i ∈{ 1 , 2 , …, P一 1 } , 6 ≠r   , 存在整数 c ( 1 ≤ c ≤ p一 1 ) ,   使得 6 c 兰1 ( m o d   p ) .   由6 ≠  ( o r o d   P ) , 知  1 ≠  c ( m o dP ) .   兰 所 以 , 曼f  ,  三 0 ( m 0 d   p ) .   另一方面 , 由式①和费马小定理知  i =1   、   ②   (  ,   c   ) 三  ( 鐾r   ) C k   =1   ,   =1 、 i =1   ∑r : ~ c  三一 1 ( m o d   p ) .   ③   由式② 、 ③有 0 兰一 1 ( o r o d P ) , 矛盾.   从而 , 结论成立.   ( 吴 忠麟 提供 )   从而 , ( 1 一  C , P )= 1 .   利用 费马小定理 , 知 (  c )   三  c ( o r o d P ) .   3 2   中 等 数 学  +   =1 ( 口>b> 0 )   a   D   存在点 P, 满足 P D∥A E , 且  P A B=   E A C, 证  明:   P B A=   P C A .   的 离心率为  、 斜率 为 1 , 过点 M( b , 0 ) 的直线 与  椭 圆交于点 A、 B . 设 0为坐标原点. 若  一 . O B =3   2 c 。 t   AO B,   B  D  E  则该椭 圆的方程为— — .   1 O . 将1   1 个完全一样 的小球放入六个各不相  网 1   1 6 . 设 P为圆 C 1 :   +Y  =2上 的 动 点 , 过 P   同的盒 子 中, 使 得 至 多有 三 个 空盒 子 的放 法 有  种.   作  轴的垂线, 垂足为Q , 点M满 ̄ : AM O= P Q .   ( 1 ) 求点  的轨迹 C : 的方程 ;   ( 2 ) 过直线  = 2 上 的点 7

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