2015高考数学一轮复习必考解答题——基础满分练2

必考解答题——基础满分练(二) 数
(1)求数列{an}的通项公式;
n 1 1 (2)记 bn=log3an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证 ? T <2. k=1 k



1.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=1-an.

(1)解

1 当 n=1 时,2S1=1-a1,2a1=1-a1,∴a1=3;

?2Sn=1-an, 当 n≥2 时,? ?2Sn-1=1-an-1, 两式相减得 2an=an-1-an(n≥2), an 1 即 3an=an-1(n≥2),又 an-1≠0,∴ = (n≥2), an-1 3 1 1 ∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列. 1 ?1?n-1 ?1?n ?3? =?3? . ∴an=3· ? ? ? ? (2)证明 1?1? 由(1)知 bn=log3?3?n=n, ? ?

n2+n ∴Tn=1+2+3+…+n= 2 , + +…+ ? T= n?n+1? k=1 k 1×2 2×3 1 1 1 1 1 ? ? =2?1-2+2-3+…+n-n+1? ? ? 1 ? ? =2?1-n+1?<2. ? ? 2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,且 Sn=Sn-1+2n(n≥2,n∈N*). (1)求 Sn; (2)是否存在等比数列{bn}满足 b1=a1, b2=a3, b3=a9?若存在, 求出数列{bn} 的通项公式;若不存在,说明理由.
n

1

2

2

2



(1)因为 Sn=Sn-1+2n,

所以有 Sn-Sn-1=2n 对 n≥2,n∈N*成立, 即 an=2n 对 n≥2 成立,又 a1=2· 1. 所以 an=2n 对 n∈N*成立. 所以 an+1-an=2 对 n∈N*成立,所以{an}是等差数列, a1+an 所以有 Sn= 2 · n=n2+n,n∈N*. (2)存在. 由(1),得 an=2n,n∈N*成立, 所以有 a3=6,a9=18,又 a1=2, b2 b3 所以由 b1=a1,b2=a3,b3=a9,则b =b =3.
1 2

所以存在以 b1=2 为首项,公比为 3 的等比数列{bn}, 其通项公式为 bn=2· 3n-1. 3.已知数列{an}是首项 a1=1 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,数列{bn}是首项 b1=2 的等比数列,且 b2S2=16,b1b3=b4. (1)求 an 和 bn; (2)令 c1=1,c2k=a2k-1,c2k+1=a2k+kbk(k=1,2,3,…),求数列{cn}的前 2n+1 项和 T2n+1. 解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,

则 an=1+(n-1)d,bn=2qn-1. b4 由 b1b3=b4,得 q=b =b1=2,
3

由 b2S2=2q(2+d)=16,解得 d=2. ∴an=2n-1,bn=2n. (2)∵T2n+1=c1+a1+(a2+b1)+a3+(a4+2· b2)+…+a2n-1+(a2n+nbn)=1+S2n +(b1+2b2+…+nbn). 令 A=b1+2b2+…+nbn, 则 A=2+2· 22+…+n· 2n, ∴2A=22+2· 23+…+(n-1)2n+n· 2n+1, ∴-A=2+22+…+2n-n· 2n+1,∴A=n· 2n+1-2n+1+2.

2n?1+a2n? 又 S2 n = =4n2, 2 ∴T2n+1=1+4n2+n· 2n+1-2n+1+2 =3+4n2+(n-1)2n+1. 4.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2, a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 3 (2)设数列{S }的前 n 项和为 Tn,求证:6≤Tn<8.
n

(1)解

因为数列{an}是等差数列,

n?n-1? 所以 an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d. ?S5=70, ?5a1+10d=70, 依题意,有? 2 即? 2 ?a7=a2a22, ??a1+6d? =?a1+d??a1+21d?, 解得 a1=6,d=4.所以数列{an}的通项公式为 an=4n+2(n∈N*). (2)证明 1 所以S =
n

由(1)可得 Sn=2n2+4n, 1 ? 1 1 1? 1 = =4?n-n+2?, 2n +4n 2n?n+2? ? ?
2

1 1 1 1 1 所以 Tn=S +S +S +…+ +S S 1 2 3 n n-1 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? =4?1-3?+4?2-4?+4?3-5?+…+ ? ? ? ? ? ? 1 ? 1?1 1 ? 1? 1 ?n-1-n+1?+ ?n-n+2? 4? ? 4? ? 1 1 1 ? 1? =4?1+2-n+1-n+2? ? ? 1 ? 3 1? 1 =8-4?n+1+n+2?, ? ? 1 ? 3 1? 1 3 因为 Tn-8=-4?n+1+n+2?<0,所以 Tn<8, ? ? 1 ? 1? 1 因为 Tn+1-Tn=4?n+1-n+3?>0,所以数列{Tn}是递增数列. ? ? 1 1 3 所以 Tn≥T1=6,所以6≤Tn<8.


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