高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数课件北师大版选修22_图文

§3 计算导数

1.能根据导数的定义求几种常用函数的导数,并能熟练运用. 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等 函数的导数.

1.计算函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤

(1)通过自变量在 x0 处的改变量 Δx,确定函数在 x0 处的改变

量:Δy=f (x0+Δx)-f (x0).

(2)确定函数 y=f(x)在 x0 处的平均变化率:

Δ Δ

=

(0 + ΔΔ)-(0).

(3)当 Δx 趋于 0 时,得到导数:

f '(x0)=

lim
Δ →0

f(x0

+

x)-f(x0 x

).

2.导函数

一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,

导数值记为

f'(x):f'(x)=

lim
Δ→0

f(x+x)-f(x) x

,

则′()是关于的函数,

称′()为()的导函数, 通常也简称为导数.

3.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数 y=c(c 是常数) y=xα(α 是实数)
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax (a>0,a≠1)

导函数

y'=0

y'=αxα-1

y'=axln a

特别地(ex)'=ex

y'=

1 x a

特别地(ln x)'= 1

x

函数 y=sin x y=cos x
y=tan x

导函数

y'=cos x y'=-sin x

y'=

1 2

y=cot x

y'=?

1 2

【做一做 1】 下列结论正确的是( )

A.若 y=sin x,则 y'=cos x

B.若 y=2,则 y'=2

C.若

y=

1

,

则′

=

1 2

D.若 y=

, 则′

=

1 2



答案:A

【做一做2】 求下列函数的导数: (1)y=10;(2)y=x10;(3)y=cos x;(4)y=3x; (5)y=lg x. 解:(1)y'=0. (2)y'=(x10)'=10x10-1=10x9. (3)y'=(cos x)'=-sin x. (4)y'=(3x)'=3xln 3. (5)y'=(lg x)'= ln110.

题型一 题型二 题型三
题型一 利用定义求导数
【例1】 已知曲线y=f(x)=ax2+bx-5在点(2,1)处的切线方程为y=3x+7,求a,b的值.

题型一 题型二 题型三

解:

Δ Δ

=

(+Δ)-() Δ

=

(+Δ)2+(+Δ)-5-(2+-5) Δ

=2ax+b+aΔx.



Δx

趋于

0时,

Δ Δ

趋于2ax+b,即

y'=2ax+b.

∴当 x=2 时,y'=4a+b.

∴直线 y-1=(4a+b)(x-2)与直线 y=-3x+7 表示同一条直线,

由此可得 4a+b=-3.



∵点(2,1)在曲线上,∴4a+2b-5=1.



由①②联立方程组,得 4 + = -3,
4 + 2-5 = 1,

解得 = -3, = 9.

题型一 题型二 题型三
反思只要知道函数的表达式以及函数图像上某点的横坐标,就可 以利用导数写出函数在此点处的切线的斜率,从而写出切线方程.

题型一 题型二 题型三

【变式训练1】 如果某物体在时间段t内的位移函数为s=2t-5t2(s

的单位为m,t的单位为s),那么该物体在t s末的瞬时速度是多少?求1

s末的瞬时速度.

分析:在t s末的瞬时速度即为s在t处的导数,1 s末的瞬时速度即为

s在t=1处的导数.

解:利用导数的定义知

Δ 2( + Δ)-5( + Δ)2-(2-52)

Δ =

Δ

= 2 ? 10 ? 5Δ.

当Δt趋于0时,2-10t-5Δt趋于2-10t.

即t s末的瞬时速度为(2-10t)m/s.

当t=1时,2-10t=-8,

故1 s末的瞬时速度为-8 m/s.

题型一 题型二 题型三
题型二 利用公式求导数
【例 2】 求下列函数的导数: (1)y=x4;(2)y=x-2;(3)y=ex;(4)y=log2x; (5)y=2x. 解:(1)y'=(x4)'=4x4-1=4x3. (2)y'=(x-2)'=-2x-2-1=-2x-3=? 23. (3)y'=(ex)'=ex. (4)y'=(log2x)'= l1n2. (5)y'=(2x)'=2xln 2.
反思熟记求导公式,直接运用求导公式求函数的导数.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 2】 给出下列结论:

π

π1

① cos 6 ′ = ?sin 6 = ? 2 ;

②若

y=

2 3

,

则′

=

?6

?

4;

③若 f(x)=3x,则[f'(1)]'=3;

④若

y=

5

x, 则′

=

1 5

5

.

其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

题型一 题型二 题型三

解析:∵cos

π 6

=

3 2

为常数,



cos

π 6

′ = 0, 故①错误;

y'=

2 3

′ = (2 ? 3)′ = ?6 ? 4, 故②正确;

∵f(x)=3x,∴f'(x)=3.

∴f'(1)=3,[f'(1)]'=0,故③错误;

∵y'=( 5

)′

=

1
(x 5 )′

=

1 5



-45

,

故④错误.

答案:A

题型一 题型二 题型三

题型三 利用导数的几何意义及物理意义解题

【例 3】 已知曲线 y=f(x)= , 求:

(1)曲线上与直线 y=x-4 平行的切线的方程;

(2)过点 P(0,3)且与曲线相切的直线的方程.

解:(1)设切点坐标为(x0,y0),由 y=
故 f'(x0)= 2 10.
∵切线与直线 y=x-4 平行,

,

1
得y'=(2)′

=

1 2

·-12

=

21.



2

1 0

=

1,

解得x0=

1 4

,



0

=

12.

故所求切线方程为

y?

1 2

=



?

1 4

,

即4x-4y+1=0.

题型一 题型二 题型三
(2)∵点 P(0,3)不在曲线 y= 上,

∴设切点坐标为 M(t,u),当切线斜率存在时,则切线斜率为

1 2



(≠0).

∵切线斜率为

-3

,



1 2



=

-3

=

-3.

即 2t-6 = , 解得t=36.

∴切点坐标为 M(36,6),切线斜率为 112,

故切线方程为

y-6=

1 12

(

?

36),

即x-12y+36=0.

当切线斜率不存在时,由题意知,直线 x=0 也是所求的切线.故所

求的切线方程为 x=0 或 x-12y+36=0.

反思本题的两问均是未知切点求切线方程的问题,关键是设出切 点,根据导数的几何意义,由条件求出切点坐标,从而求出切线方程.

题型一 题型二 题型三

【变式训练 3】 已知直线 l1 与曲线 y= 相切于点,

直线2 过点且垂直于1, 若2 交轴于点, 作垂直轴于点,

求的长.

解:设切点

P

的坐标为(x0,y0),则1

=

2

1 0

.

因为 l1 与 l2 垂直,所以2 = ?2 0,

故 l2:y-y0=-2 0( ? 0).

令 y=0,则-y0=-2 0( ? 0),

即 ? 0 = ?2 0( ? 0),

解得

xQ=

1 2

+

0.

又因为xK=xP=x0,

所以 KQ=|xQ-x0|= 12.

1已知f(x)=x2,则f'(3)等于( )
A.0 B.2x C.6 D.9 解析:f'(x)=2x?f'(3)=6. 答案:C

1 2 3 4 56

1 2 3 4 56

2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)=sin x,则下列等式正确的是

()

A.f

π 3

=f '

2π 3

C.f

π 4

=f '

3π 4

B.f

2π 3

=f '

π 3

D.f

3π 4

=f '

π 4

答案:D

1 2 3 4 56

3f(x)=cos

x



x=

π 6

处的切线斜率为_________.

解析:f'(x)=-sin x,f′

π 6

=

?sin

π 6

=

?

12.

1 答案: ? 2

1 2 3 4 56

4若直线l与幂函数y=xn的图像相切于点A(2,8),则直线l的方程



.

答案:12x-y-16=0

1 2 3 4 56
5.已知f(x)=cos x,g(x)=x,求适合f'(x)+g'(x)≤0的x的值.
解∵f(x)=cos x,g(x)=x, ∴f'(x)=(cos x)'=-sin x,g'(x)=x'=1.
由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin x+1≤0, 即sin x≥1,但sin x∈[-1,1],
∴sin x=1,∴x=2kπ+π2,k∈Z.

1 2 3 4 56

6.求曲线y=7x2的斜率为4的切线方程.

解设切点坐标为 P(x0,y0),则由定义可得 y'=(7x2)'=14x.当 x=x0

时,4=14x0,故 x0=27.当 x0=27时,y0=47,即切点 P 的坐标为

2 7

,

4 7

.故所求切

线方程为 y-47=4

-

2 7

,28x-7y-4=0.


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