2015届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试(文)(PDF版)


2015 届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试 文科数学 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四 一、 一、选择题(本大题共 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数 z = 1 + ai, a ∈ R, i 为虚数单位,若 z 的模为 A. ± 3 B. ± 1 C. ± i

2 ,则复数 z 的虚部是
D. ± 3i

2.已知集合 A = {x | x > 1}, B = { x | x 2 ? x ? 2 < 0} ,则 A ∩ B = A. { x | ? 1 < x < 2} B. { x | x > ?1} C. { x | ?1 < x < 1} D. { x | 1 < x < 2}

3.下列给出的函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y = 2
x

B. y = x

?

1 3

C. y = lg x

D. y = x 2 ? x

4.已知向量 a = (2,1), b = (?1, k ), 若 a ? (? a + 2b) = 0, 则 k= A.

7 2

B.

9 2

C.9

D.7

5.若 a ∈ R ,则下列不等式恒成立的是 A. a 2 + 1 > a B. a +

1 ≥2 a

C. lg( a 2 + 1) > lg 2a ( a ≠ 0)

D.

1 <1 a +1
2

6.在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若

a2 ? a4 = 9 , 则

log 1 a1 + log 1 a2 + log 1 a3 + log 1 a4 + log 1 a5 的值为
3 3 3 3 3

A.6

B.5

C.-6

D.-5

7.执行如右图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是 A. ( , ]

3 7 4 8

B. ( , ]

2 7 3 8

C. ( , ]

5 9 4 8

D. ( ,

5 9 ] 6 10

1

8.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 a sin A ? sin B + b cos 2 A = 且c=

2a ,

5a ,则该三角形中最大角的度数为
B.
3 2

A.不确定

π 3
1 2

C.

3π 4

D.

2π 3

9.已知函数 y = x ? x 与 y = ( ) x ? 2 的图象的一个交点为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 所在的区间为 A. ( 0,1) 10.下列四个命题 B. (1, )

3 2

C. ( ,2)

3 2

D. (2,3)

1 1 P1 : ?x ∈ (0,+∞), ( ) x < ( ) x 2 3

P2 : ?x, y ∈ R, sin( x ? y ) = sin x ? sin y P3 : ?x ∈ (0, π ), f ( x ) = x 3 ? cos x > ?1 P4 : ?a ∈ (0,1), log 1 2 > 1
a

其中正确的命题是 A. P 1 , P2 , P 3 B. P3 , P4 C. P2 , P3 D. P2 , P3 , P4

11.已知函数 f ( x ) = ?2 sin 2 x + 3 cos 2 x , 且 ?x ∈ R, f ( x ) ≤ f (θ ) 恒成立, 则 sin θ ? cos θ 的值为

A.

3 2

B.

21 14

C. ?

7 7

D. ?

2 3 7

12.已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 其 导 函 数 记 为 f ′( x) 。 有 当 x ∈ [ 0,+∞) 时 ,

x ? f ′( x) > f (? x) 恒成立。则满足 3 f (3) > (2 x ? 1) f (2 x ? 1) 的实数 x 的取值范围是
A. (?1, )

1 2

B. ( ?1,2)

C. ( ,2)

1 2

D. (? 2,1)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 二、填空题(本大题共 13.曲线 y =

x 1 在 (1, ) 处的切线方程为 x +1 2

2

?x + y ? 5 ≤ 0 ?x ? y ?1 ≤ 0 ? 14.设 z = 2 x + y ,其中 x,y 满足 ? ,则 z 的最大值为 ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0
15.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 = 6, S5 = 20 ,则数列 ?

?

1 ? ? 的前 20 项的和 ? an a n+1 ?

为 16.如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A,D 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上滑动, 则 OB ? OC 的最大值为 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn = 2n ? 1 + an ( n ∈ N *) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

3

18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

2 3 1 2 x ? ax + x + 2 . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 f ( x ) 的导函数为 f ′( x) .若 ?α ∈ ( 取值范围.

π π , ) 使 f ′(sin α ) = f ′(cos α ) 成立.求 a 的 4 2

19(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = sin 2 x ? cos α + ( 2 sin 2 x ? 1) sin α ( x ∈ R,0 < α < π ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值; (Ⅱ)若函数 y = f ( x ) 向左平移 数 f ( x ) 的单调递减区间.

π π 个单位后,关于直线 x = 对称,求 α 的值,并写出函 4 6

4

20(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 AB ? AC = 3BA ? BC . (Ⅰ)求证 tan B = 3 tan A ;

(Ⅱ)若 a + b ? c =

2

2

2

2 5 ab ,求角 A 的大小. 5

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = x ? 1 ? a ln x (其中 a 为参数,a∈R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对 ?x ∈ (0,+∞ ) 都有 f ( x ) ≥ 0 成立,求 a 的取值集合; (Ⅲ)证明: e > (1 +

1 n ) (其中 n ∈ N * ,e 为自然对数的底) n

5

22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是圆 O 外一点,PA 是切线,割线 PBC 经过圆心 O,且 PB = (Ⅰ)求证:PA=AC; (Ⅱ)若点 D 是弧 AC 的中点,PD 与圆 O 交于另一点 E,PB=1,求 PE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C

1 BC . 2

的极坐标方程为 ρ = 2 cosθ ,直线 l 的参数方程为 ?

? x = ?4 + 4t (t 为参数) ? y = m ? 2t

(Ⅰ)若直线 l 与圆 C 相切,求 m 的值; (Ⅱ)若 m=-1,求圆 C 上的点到直线 l 的最小距离. 24.(本小题满分 10 分) 设 f ( x ) = x + 2 x ? a (a > 0) . (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f ( x ) ≤ 4 ; (Ⅱ)若 f ( x ) ≥ 4 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6

2015 届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试 参考答案 文科数学 文科数学参考答案
1.答案:B 解析: ∵ z = 12 + a 2 = 2.答案:D 解析:解得 B = {x | x ? x ? 2 < 0} = { x | ?1 < x < 2} ,则 A ∩ B = { x | 1 < x < 2}
2

2 ,∴ a = ±1 ,故答案为 B

3.答案:C 解析:A 定义域为 R, f ( ? x ) = 2
?x

= 2 = f ( x ) ,为偶函数;
? 1 3

x

B 定义域为 R, f ( ? x ) = ( ? x)

= ?x

?

1 3

= ? f ( x) ,为奇函数;

C 定义域为 (0,+∞) ,所以为非奇非偶函数; D 定义域为 R, f ( ? x ) = ( ? x ) 2 ? ? x = x 2 ? x = f ( x) ,为偶函数。 4.答案:B 解析: ? a + 2b = (?2 + 2 × (?1),?1 + 2k ) = (?4,?1 + 2k ) , 又 a ? ( ? a + 2b) = 0, ∴ 2 × ( ?4) + ( ?1 + 2k ) = 0 , ∴ k = 5.答案:A 解析:A 因为 a 2 + 1 ? a = ( a ? ) 2 + B 当 a=0 时,不成立; C 当 a=1 时,不成立; D 当 a=0 时,不成立。 6.答案:D 解析: ∵ a2 ? a4 = 9 , ∴ a3 = 9 ,即 a3 = 3
2

9 2

1 2

3 > 0 恒成立,故 a 2 + 1 > a 恒成立; 4

7

log 1 a1 + log 1 a2 + log 1 a3 + log 1 a 4 + log 1 a5
3 3 3 3 3

= log 1 a1a 2 a3 a4 a5
3 5 = log 1 a3 = log 1 35 = ?5 3 3

7.答案:A 解析:根据题意可知该循环体运行三次

1 ,n = 2 2 1 1 3 第二次: s = + 2 = , n = 3 2 2 4 1 1 1 7 第三次: s = + 2 + 3 = , n = 4 2 2 2 8
第一次: s = 此时退出循环体,不满足 S<P,所以 8.答案:C 解 析 : ∵

3 7 < p ≤ ,故选 A 4 8

a sin A ? sin B + b cos 2 A = 2a



















sin 2 A sin B + sin B cos 2 A = 2 sin A ,即 sin B = 2 sin A ,∴ b = 2 a ,


c = 5a





C























cos C =

a 2 + b 2 ? c 2 a 2 + ( 2a ) 2 ? ( 5a ) 2 2 3π = =? 且 C ∈ (0, π ) ,则 C= 2ab 2 4 2a ? 2a

9.答案:C 解析:令 f ( x ) = x 3 ? x 2 ? ( ) x ? 2 ,则有 f ( ) ? f (2) < 0 ,故 x0 所在的区间为 ( ,2) . 10.答案:C 解析:由指数函数性质可知 P1 假;当 x=y=0 时 P2 成立,所以 P2 真;对 P3 中的函数求导, 得 f ′( x ) = 3 x + sin x 在 ( 0, π ) 上恒大于 0,则 f ( x ) 在 ( 0, π ) 上为增函数, f ( 0) = ? 1 ,所 以结论成立, P3 为真;由对数函数性质可知,当 a = 答案为 C. 11.答案:C
8
2

1 2

3 2

3 2

1 时,结论不成立,故 P4 假.故正确 3

解 析 : f ( x) =

7 cos( 2 x + ? ) ≤ f (θ ) , ∴ x = θ 取 最 大 值 , 其 中 sin ? =

2 7 , 7 2 7 , 7

∴ 2θ + ? = 2kπ , ∴ 2θ = 2kπ ? ? , ∴ sin 2θ = sin( 2kπ ? ? ) = ? sin ? = ?

1 7 sin θ cosθ = sin 2θ = ? 2 7
12.答案:B 解析: ∵ f ( x ) 是奇函数,∴不等式 x ? f ′( x ) > f (? x) 等价于 x ? f ′( x ) > ? f ( x) 即 x ? f ′( x) + f ( x ) > 0 ,令 F ( x) = xf ( x ) ,则 F ′( x ) = xf ′( x) + f ( x ) 当 x ∈ [0,+∞) 时, F ′( x ) = xf ′( x) + f ( x ) > 0 ,则 F ( x) 为增函数, ∵ f ( x ) 是奇函数,所以 F ( x) 为偶函数, 又 F ( x) 在 [ 0,+∞) 上为增函数,所以 F ( x) 在 (+∞ ,0) 上为减函数, 即不等式 3 f (3) > (2 x ? 1) f (2 x ? 1) ,等价于 F (3) > F (2 x ? 1) , 所以 3>2x-1,解得-1<x<2, 二、填空题 13.答案: x ? 4 y + 1 = 0 解析: y ′ =

1 1 1 1 ,所以 k = y ′ x =1 = ,由点斜式可求出切线方程 y ? = ( x ? 1) 即 2 ( x + 1) 4 2 4

x ? 4y +1 = 0 .
、 答案:8 14 14、

?x + y ? 5 ≤ 0 ?x ? y ?1 ≤ 0 ? 解析:作出不等式 ? 表示的平面区域 x ≥ 0 ? ? ?y ≥ 0

9

得到如图的四边形 OABC 及其内部,其中 A(0,5),B(3,2),C(1,0),O 为坐标原点 设 Z=F(x,y)=2x+y,将直线 l:Z=2x+y 进行平移, 观察 x 轴上的截距变化,可得 当 l 经过点 B 时,目标函数 Z 达到最大值 ∴Z 最大值=F(3,2)=8 15.答案:

5 11 ?a1 + 4d = 6 ?a1 = 2 ,解得 ? ,所以 an = n + 1, ?d = 1 ?5a1 + 10d = 20

解析:由已知得 ?

1 1 1 1 = = ? an an +1 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2
数列 ?

?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 5 = ? 的前 20 项的和 T20 = ? + ? + ? + ? ? ? + ? 2 3 3 4 4 5 21 22 11 ? an a n+1 ?

16.答案:2 解析:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1,故 OA=cosθ,OD=sinθ,

如图 ∠BAX =

π ? θ ,AB=1,故 2

xB = cos θ + cos( y B = sin(

π ? θ ) = cos θ 2

π ? θ ) = cos θ + sin θ , 2 ,

故 OB = (cos θ + sin θ , cos θ ) ,同理求得 OC = (sin θ , cos θ + sin θ ) , 所以 OB ? OC = (cosθ + sin θ , cosθ ) ? (sin θ , cosθ + sin θ ) = 1 + sin 2θ ,
10

故 OB ? OC 的最大值为 2. 解答题 三、 三、解答题
n ?1 2 n 17.答案:(Ⅰ) an = 2 ;(Ⅱ) S n = n + 2 ? 1

解析:(Ⅰ)设公比为 q, 则2q = 1 + ( q ? 1) ………….2 分
2

∴ q 2 ? 2 q = 0, q = 2 ∴ a n = 2 n ?1.......... .......... .......... .......... ..5分
(Ⅱ) ∵ bn = 2n ? 1 + 2
n ?1

∴ S n = (1 + 3 + 5 + ... + 2n ? 1) + (1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n ?1 )........ 8分 ∴ Sn = (1 + 2n ? 1) n 1 ? 2 n + = n 2 + 2 n ? 1.......... .......... ...12分 2 1? 2

18.答案:(Ⅰ) ? 2 2 ≤ a ≤ 2 2 ;(Ⅱ) a ∈ ( 2,2 2 ) 解析:(Ⅰ)∵ f ′( x ) = 2 x 2 ? ax + 1

∵ f ( x )在R上单调递增,所以 f ′( x ) ≥ 0在 R上恒成立 ........2分 ∴ a2 ? 8 ≤ 0 ∴ -2 2 ≤ a ≤ 2 2................................... ..... 4 分
(Ⅱ) ∵ f ′( x ) = 2 x 2 ? ax + 1关于 x =

a 对称 .............5 分 4

π π 又x ∈ ( , ), sin α > cos α .............................6 分 4 2 a sin α + cos α ∴ = ........................................ ......7 分 4 2
∴ a = 2(sin α + cosα ) = 2 2 sin(α +

π ).................9 分 4

π π π π 3π ∵α ∈ ( , ) ∴ <α + < . 4 ,2 2 4 4
∴ a ∈ ( 2,2 2 ) ............................. . . . . . . . . .
12 分 19.答案:见解析
11

解析:(Ⅰ) f ( x) = sin 2 x cos α ? cos x sin α = sin(2 x ? α )..........2 分

∴ T = π , f ( x ) max = 1 ......................... . . . .
4分 (Ⅱ) 函数f ( x)向左平移

π π π 个单位得到 f ( x + ) = sin(2 x + ? α ) ……6 分 4 4 2 π π 又 函数 y = sin(2 x + ? α )关于 x = 对称
2 6 ∴ sin( ∴

π π + ? α ) = ±1…………………………….7 分 3 2

π π π + ? α = kπ + 3 2 2 π ∴α = ........................................ .............................10 分 3 f ( x ) = sin( 2 x ?
12 分 20.答案: 解析:(Ⅰ)记 AB = c, AC = b, BC = a

π 5π 11π ? ? )的单调递减区间为 x ∈ ?kπ + , kπ + ,k∈Z . . . . . . . . . . . . 3 12 12 ? ? ?

∵ AB ? AC = 3 BA ? BC ∴ bc cos A = 3ca cos B ∴ b cos A = 3a cos B 由正弦定理得 ; sin B cos A = 3sin cos B ∴ sin B sin A =3 ,∴ tan B = 3 tan A.......... .......... .......... .......... ...... 5分 cos B cos A
2 2 2

(Ⅱ) ∵ a + b ? c =

2 5 ab 5 5 5

由余弦定理得: cos C = ∴1 + tan 2 C = 5

∴ tan C = 2(tan C = ?2舍去) tanC = tan[π ? ( A + B) ] = ? tan( A + B)

12

tan A + tan B =2 tan A tan B ? 1 1 解得 tan A = ? (舍去),或 tan A = 1 3 π ∴ A = .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...12分 4
21.答案:见解析 解析:(Ⅰ) ∵ f ′( x ) = 1 ?

a x?a = x x

而 x ∈ (0,+∞ ) ∴ 当a ≤ 0时, f ′( x) > 0, f ( x )在(0, + ∞)单调递增 当a > 0时, x ? a > 0即x ∈ ( a,+∞ ), f ( x )单调递增;

x ? a < 0即x ∈ (0, a )时, f ( x )单调递减;
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... 4分
(Ⅱ)由题意知 f ( x ) min ≥ 0

1 1 当a ≤ 0时 f ( x )在(0, + ∞)单调递增,而 f ( ) = ? 1 + a < 0不合题意 e e ∴ 当a > 0时, f ( x ) min = f ( a) ∴ f ( a ) = a ? 1 ? a ln a ≥ 0 令g ( x ) = x ? 1 ? x ln x 则 g ′( x ) = 1 ? ln x ? 1 = ? ln x ∴ g ( x )在(0,1)单调递增,在(1, + ∞)单调递减 ∴ g ( x ) max = g (1) = 0 ∴ f ( a ) ≤ f (1) = 0 ∴ f ( a ) = 0,∴ a = 1 ∴ 实数 a的取值集合为{ 1}.......... .......... .......... .......... .......... .9分
(Ⅲ)要证 e > (1 +

1 n ) n

两边取对数,只需证 n ln(1 +

1 ) <1 n

1 1 )< n n 1 1 令 1 + = x, 则 = x ? 1 n n
即证: ln(1 + 则只要证: ln x < x ? 1 ,其中1 < x ≤ 2 由(Ⅰ)知当 a = 1时, f ( x ) = x ? 1 ? ln x在(1,2]单调递增
13

∴ f ( x) > f (1) = 0 ∴ x ? 1 ? ln x > 0 ∴ ln x < x ? 1 1 ∴ e > (1 + ) n .......... .......... .......... .......... .......... 12分 n
22.答案:(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) PE =

3 7 7

解析:(Ⅰ)证明:设 BC = 2 R, 则 PB = R, PC = 3R ,因为 PA 为 切线,由切割线定理得, PA = PB ? PC = 3 R ,所以
2 2

PA = 3R, 联结 OA ,则 PA ⊥ OA ,所以 ∠POA = 60°
∠AOC = 120°, 所以 AC = 3R ,所以 PA = AC ...........5 分 A E P B O C D

(Ⅱ) 解:联结 OD , CD ,因为 D 为弧 AC 的中点,所以 ∠COD =

1 ∠AOC = 60° 2

而 OC = OD, 所以 ∠PCD = 60° ,因为 PB = 1 ,所以 PC = 3, CD = 1 ,由余弦定理得

PD 2 = PC 2 + CD 2 ? 2 PC ? CD cos 60° = 3 2 + 12 ? 2 × 3 × 1 ×
所以 PD =

1 =7 2

7 , 再由切割线定理得, PA 2 = PE ? PD ,所以 3 = 7 PE . 3 7 ................................ . . . . . 7

所以 PE =

10 分

23.答案:(Ⅰ) m =

5± 5 7 5 . ;(Ⅱ) ?1 2 5
2 2

解析;(Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) + y = 1 圆心 C 坐标为 (1,0), 半径为 r = 1 直线 l 的普通方程为 x + 2 y = 2m ? 4
14

圆心 C 到直线 l 的距离为 d =

| 1 ? 2m + 4 | 1 +2
2 2

=

| 2m ? 5 | 5

∵直线 l 与圆 C 相切,∴ d = r


| 2m ? 5 | 5

= 1 ,∴ m =

5± 5 . ................... 2

5分

(Ⅱ)当 m = ? 1 时, d =

| 2m ? 5 | 5

=

7 5

=

7 5 , 5

∴ d > r ,直线 l 与圆 C 相离 ∴圆上的点到直线 l 的最小距离 7 5 ? 1.........10 分
5
24.答案:(Ⅰ) { x | ?

2 ≤ x ≤ 2} ;(Ⅱ) [ 4,+∞). 3

解析:(Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x) ≤ 4 ? | x | +2 | x ? 1 | ≤ 4

?x < 0 ?0 ≤ x < 1 ?x ≥ 1 ?? 或? 或? ?? x ? 2( x ? 1) ≤ 4 ? x ? 2( x ? 1) ≤ 4 ? x + 2( x ? 1) ≤ 4 ?? 2 2 ≤ x < 0 或 0 ≤ x < 1 或 1 ≤ x ≤ 2 ? ? ≤ x ≤ 2. 3 3 2 所以,原不等式的解集为 { x | ? ≤ x ≤ 2} ..............5 分 3

?? x ? 2( x ? a ), x < 0 ?? 3 x + 2a, x < 0 ? ? (Ⅱ) f ( x ) =| x | +2 | x ? a | = ? x ? 2( x ? a ),0 ≤ x < a = ?? x + 2 a,0 ≤ x < a. ? x + 2( x ? a), x ≥ a ?3 x ? 2 a , x ≥ a ? ?
所以当 x = a 时, f ( x ) min = a ,所以 f ( x ) ≥ 4 恒成立 即 f ( x ) min ≥ 4 ,亦即 a ≥ 4. 所以实数 a 的取值范围是 [4,+∞). .....................10 分

15


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