2018_2019学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法课件新人教B版必修1_图文

函数的表示方法

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课标要求 素养达成

.掌握函数的三种表示方法,能根据需要选择恰当的方式表 示函数. .理解分段函数,会求分段函数的值.
通过学习函数的三种表示方法,明确它们各自的优缺点,培 养学生数形结合解决问题的能力,以及直观想象、数学运 算的核心素养.

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.函数的表示方法

知识探究

表示法 列表法 图象法 解析法

定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系
用 图象 表示函数关系 用代数式(解析式)表示函数关系

.在函数的定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着 不同的对应法则, 这样的函数通常叫做分段函数.

【拓展延伸】 .函数的表示方法

表示法

含义

通过列出自变量

与对应函数值的 列表法
表来表示函数关

系的方法

定义域

值域

表格中,自变量 表格中,相应 y 的 x 的取值集合 取值集合

示例
定义域是{1,2,3}, 值域是{0,-1,1}

用“图形”表示 图象法
函数的方法

图象在 x 轴上 的投影所对应 的 x 的取值集 合

图象在 y 轴上的 投影所对应的 y 的取值集合

定义域是[1,2], 值域是[0.6,2.8]

如果在函数 y=f(x)(x∈A) 解 中,f(x)是用代数式(或解析 析 式)来表达的,那么这种表示 法 函数的方法叫作解析法(也
称为公式法)

使解析式 有意义的 自变量 x 的 取值范围

因变量 y 的取 值范围

y= x 的定 义域是{x|x ≥0},值域是 {y|y≥0}

.关于分段函数的几点说明 ()分段函数是一个函数而不是几个函数.处理分段函数问题时,首先要确 定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系. ()分段函数的图象,应根据不同定义域上的解析式分别画出,再将它们组 合在一起得到整个分段函数的图象.特别要考虑区间端点是否包含在内, 若端点包含在内,则用实心点“·”表示;若端点不包含在内,则用空心圆 圈“ ”表示.

()写分段函数的定义域时,要注意区间端点值的取舍,区间端点应不重不 漏.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集 是空集. ()分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集. .分段函数的定义域是各段定义域的并集;分段函数的值域是分别求出各 段上的值域后取并集;分段函数的最大(小)值则是分别在每段上求出最大 (小)值,然后取各段中的最大(小)值.

自我检测

.下列图形可作为函数()的图象的是(

)

解析:选项、、中的图象都存在同一个值与两个值对应的情况不符合函 数的概念.故选.

.已知函数(),则()的解析式为(

)

() ()

() ()

解析:因为(),所以()()().选.

?x ?1, x ? 0,

3.已知 f(x)= ??0, x ? 0, ??x ?1, x ? 0

,则 f(f( 1 2

))的值是(

)

(A) 1 2

(B)- 1 (C) 3

2

2

(D)- 3 2

解析:由题 f( 1 )= 1 -1=- 1 ,

22

2

所以 f(f( 1 ))=f(- 1 )= 1 ,故选 A.

2

22

.某班连续进行了次数学测试,其中王明的成绩如下表所示:

次数 分数

从这张表中看出这个函数的定义域是

,值域是

.

答案:{} {}

课堂探究·素养提升
类型一 函数的表示方法

【例 1】 对于定义域为 R 的函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如表:

x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

y

0

2

3

2

0

-1

0

2

则 f(f(f(0)))=

.

解析:由题意()(())()((()))(). 答案

方法技巧 用列表法表示的函数,可以直接从表格中寻找自变量对应的函 数值及函数值对应的自变量.

变式训练:已知函数()()分别由下表给出. ()

()

则(())的值为

.

解析:由第个表知(), 所以(())(). 答案

变式训练:已知函数()满足()()()∈*,求()()().
解:因为(), 所以()()×, ()()×, ()()×.

类型二 作函数的图象
【例】 作出下列函数的图象: ()(∈且≤);

解:(1)函数 y=1-x(x∈Z 且|x|≤2)的定义域为{-2,-1,0,1,2},

图象为五个点,这些点在直线 y=1-x 上.

列表

x

-2

-1

0

1

2

y

3

2

1

0

-1

所画函数图象如图 1.

()(∈);
解:(2)函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4 且 x=-1,3 时,y=0; 当 x=1 时,y=-4;x=0 时,y=-3. 所画函数图象如图 2.

(3)y= x2 ? x . x ?1
解:(3)函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). 则 y= x2 ? x =x,
x ?1 函数图象如图 3.

方法技巧 画函数图象时,以定义域、对应法则为依据,采用列表、描点 法作图,当已知是一次式或二次式时,可借助一次函数或二次函数的图象帮 助作图.作图象时,应标出某些关键点,如图象的顶点、与坐标轴的交点、 最高点、最低点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

变式训练 2-1:作下列函数的图象:

(1)y= 1 +1; x ?1

解:(1)法一 可用描点作图法,画函数图象,如图所示.

法二 可先作出函数 y= 1 的图象,然后将 y= 1 的图象向右平行移动一

x

x

个单位,再向上平行移动一个单位,得函数 y= 1 +1 的图象,如图所示. x ?1

()∈(]; 解:()∈(],图象如图.

()∈.
解:()法一 可用描点作图法,画出函数图象. 法二 可先作出的图象,将轴下方的图象沿轴翻折到轴上方轴上方的图 象保持不变可得的图象.如图所示.

类型三 分段函数

??x(?1 ? x ? 0,

【例 3】

已知函数

f(x)=

? ?

x

2

?

0

?

x ? 1?,

??x?1 ? x ? 2?,

(1)求

f

? ? ?

f

? ??

?

2 3

?? ????

,f

? ??

3 2

? ??

的值;

思路点拨:()根据自变量的值所在区间选用相应的关系式求值;

解:(1)因为-1≤-

2 3

<0,所以

f

? ??

?

2 3

? ??

=-

? ??

?

2 3

? ??

=

2 3

.



0≤

2 3

<1,所以

f

? ? ?

f

? ??

?

2 ?? 3 ????

=f

? ??

2 3

? ??

=

? ??

2 3

?2 ??

=

4 9

.

由 1≤ 3 ≤2, 2

所以

f

? ??

3 2

? ??

=

3 2

.

()作出函数的简图; ()求函数的值域. 思路点拨:()分段作出函数的图象;()借助图象求函数的值域. 解:()在同一坐标系中分段画出函数的图象,如图所示.
()由图象可知,函数的值域为[].

方法技巧 分段函数的值域是各段函数值的集合的并集,求值时,一定要 注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求得,有多层“”时, 要按照“由里到外”的顺序,画图象时,要注意不同段的图象间的衔接不 要出现“一对多”的现象.

?x ? 2, x ? ?1,

变式训练

3-1:已知函数

f(x)=

? ?

x

2

,

?1

?

x

?

2,

??2x, x ? 2.

(1)求 f(-4),f(3),f[f(-2)]的值;

(2)若 f(a)=10,求 a 的值.

解:()()()×,

[()]().

()当≤时,得,不符合;

当<<时,得±,不符合;

当≥时,得.所以.

类型四 实际应用中的分段函数
【例】 漳州市“网约车”的现行计价标准是:路程在 以内(含 )按起步价 元收取,超过 后的路程按元收取,但超过 后的路程需加收的返空费(即单 价为×()元). ()将某乘客搭乘一次“网约车”的费用()(单位:元)表示为行程(<≤ ,单位)的分段函数; ()某乘客的行程为 ,他准备先乘一辆“网约车”行驶 后,再换乘另一辆 “网约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成 全部行程更省钱?请说明理由.

思路点拨:根据漳州市“网约车”的计价标准,分段将乘客搭乘一次出租 车的费用()(元)表示为行程(<≤,单位)的分段函数.分别计算只乘一辆 车的车费与换乘两辆车的车费,根据两次车费大小比较.
解:(1)由题意得,车费 f(x)关于路程 x 的函数为
?8,0 ? x ? 2,
f(x)= ??8 ?1.9? x ? 2?,2 ? x ? 10,
??8 ?1.9 ? 8 ? 2.85(x ?10),10 ? x ? 60
?8,0 ? x ? 2, = ??4.2 ?1.9x,2 ? x ? 10,
??2.85x ? 5.3,10 ? x ? 60.

()只乘一辆车的车费为()×(元), 换乘两辆车的车费为()×(×)(元). 因为>,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.

方法技巧 由实际问题决定的分段函数,要写出它的解析式,就是根据实 际问题需要分成几类就分成几段,求解析式时,先分段分别求出它的解析 式,再把各段综合在一起写一个函数.

变式训练:为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用 水量不超过吨时,每吨水的水费为元,若超过吨而不超过吨时,超过部分的 水费按原价的收费,若超过吨而不超过吨时,超过部分的水费按原价的收费. 如果某人本季度实际用水量为(≤)吨,试计算本季度他应交的水费(单位: 元).

解:由题意知,当 0<x≤5 时,y=1.2x; 当 5<x≤6 时,y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6; 当 6<x≤7 时,y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.

?1.2x, x ? ?0,5?,

所以应交的水费

y=

? ?2.4

x

?

6,

x

?

?5,

6?,

???4.8x ? 20.4, x ? ?6,7?.

类型五 易错辨析

【例 5】 (2018·广西桂梧月考)已知 f( x +1)=x+2 x ,则 f(x)=

.

错解:令 x +1=t,则 x =t-1. 故 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1.则 f(x)=x2-1.
答案.

纠错:本题的思路方法正确,但换元后 x +1=t 中,由于 x ≥0,则 1+ x ≥1. 即 t≥1.

正解:令 t= x +1≥1,则 x=(t-1)2,故 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 故 f(x)=x2-1(x≥1).

答案(≥)

变式训练:某城市出租车按如下方法收费:起步价元,可行 (含 ), 后到 (含 )每走 加价元 后每走 加价元,某人坐出租车走了 ,他应交费
元.
解析:将收费 y 元看成所求路程 x km 的函数,

?6,0 ? x ? 3,

?6,0 ? x ? 3,



y=

? ?6

?

0.5?

x

?

3?

,3

?

x

?

10,



y=

??0.5x

?

4.5,3

?

x

?

10,

??9.5 ? 0.8? x ?10?, x ? 10,

??0.8x ?1.5, x ? 10.

当 x=12 km 时,y=0.8×12+1.5=11.1(元). 答案


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