福建省泉州一中2013-2014学年高二数学下学期期末考试试题文_图文

高二下学期期末考试数学(文)试题
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A={x∈R | x+1≥2},B={–2,–1,0,1,2},则 A A.{2} B.{1,2} 2.下列有关命题的说法正确的是( C.{0,1,2} )

B= (



D.{–l,0,1,2}

A.若向量 a、b 满足 a·b = 0 ,则 a = 0 或者 b = 0;

1 ”的必要不充分条件; 2 C.命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”;
B. “ ? ? 30 ”是 “ sin ? ? D.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

( 0, ??) 3.下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的函数为(
A. y ? sin x A.A、B、C 三点共线 C. A、B、D 三点共线 B. y ? ln x C. y ? 2 x D. y ? x 3 ) 4. 已知 +5 b a +8 b ,,b 4a aa +2 b AB AB AB ? ? ? a a a ? ? ? 5 5 5 b bb ,, BC , BC BC?– ? ?2 ? 2 2 a 2 a a ? ? ? 8 8 b 8 b ,CD CD , CD ?? 3( ? 3( 3( ? a ? b ? ) b,则( b ))



B. B、C、D 三点共线 D. A、C、D 三点共线 )

5.已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a9 ? 4 ,那么数列 {an } 的前 11 项和等于( A.22 B.24 C.44 D.48

6.如图,已知 AB , ,, BD ,用 , b? 表示 AB AB ??aa ? ? ,a AC 5 ,b AC , BC ?b ?, b ? BD ?2 ?a3 ? ? DC 3 8 DC b, CD ?a 3( a b) AD ,则 AD ? ( A.



7 3 a? b 4 4 1 3 C. a ? b 4 4
2

7 3 a? b 4 4 3 1 D. a ? b 4 4
B.

A

7.设 a ? log 1 3, b ? ( ) , c ? 2 3 ,则 (
0.2

1 3

1

) C.c<a<b

B D. a<b<c

D

C

A.b<a<c

B.c<b<a

4 ? ? 8.已知 sin x ? , x ? ( , ? ) ,则 tan( x ? ) ? ( ) 5 2 4 1 1 A. B. 7 C. ? D. ?7 7 7 ? 1 ? 9.已知数列 ?an ? 中, a n ? n ,则数列 ? ) ? 的前 100 项和为( a a ? n n ?1 ? 99 99 100 101 A. B. C. D. 100 101 101 100
10.设向量 a ,b 满足|a|=|b|=1,且 a ,b 的夹角为 120°,则|a+2b|=( A. 2 B. 3
2 x



C. 5

D. 7 )

11.当 a>0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图象大致是(

1

12.对任意实数 a,b 定义运算“

":a

b= ?

?b, a ? b ? 1, 设f ( x) ? ( x 2 ? 1) ?a, a ? b ? 1,
)

(4 ? x) ? k ,

若函数 f(x)的图象与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是 ( A.[-2,1) B.[0,1] C. (0,1] 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分) 13. sin 510 ? ? ;

D. (-2,1)

14.已知向量 a=(1,1),b=(–2 ,3 ),若 ? a–b 与 a 垂直,则实数 ? = 15.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 2Sn=3an -2 (n ? N*),则 a 5 = ;



16.已知函数 f ( x) ,其中 x ? R , f (1) ? 2 ,且 f ( x) 在 R 上的导数满足 f ?( x) ? 1 ,则 不等式 f ( x ) ? x ? 1 的解集为
2 2



三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分) 17.设全集是实数集 R, A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} ,B= {x | x ? a ? 0} .
2 2

(Ⅰ)当 a=4 时,求 A∩B 和 A∪B; (Ⅱ)若 B ? C R A ,求实数 a 的取值范围.

18.已知在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边, C ? (1,sinA) ,n=(2,sinB)且 m// n. (Ⅰ)求 b,c; (Ⅱ)求角 A 的大小及 ?ABC 的面积.

?
3

, a ? 3 ,若向量 m=

19.已知 {an } 是等差数列, S n 为其前 n 项和,若 a7 ? 20, S3 ? 15


2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b4 ? a 2 ? a 4 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位,再向上平移 a ( a ? 0 )个单位,得到函数 3

y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值与最小值的和为 5,求 a 的值. 4

?

21.已知椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F a2 3
3

的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为
3 5 1 ,求椭圆上到 l 的距离为 的点的个数; 5 2

(Ⅲ)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求| S1 - S 2 |的最大值.

22.设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的图象与直线 y ? 4 相切于 M (1, 4) .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的极值; (Ⅲ)是否存在两个不等正数 s, t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的值
3 2

域也是 [ s, t ] ,若存在,求出所有这样的正数 s, t ;若不存在,请说明理由.

4

泉州一中高二下学期期末考试卷 数 学(文 科) 参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 [网] 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D

2014.7

8 B

9 C

10 B

11 A

12 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 15.

1 2
162

14. 16.

1 2
(??,?1) ? (1,??)

三、解答题(本大题共 6 题,共 74 分)

18.

19.

5

20. 【解析】 (Ⅰ)由题意得

f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3

? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) 3 由周期为 ? ,得 ? ? 1 .
得 f ? x ? ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?

……………………3 分

?

?
2

? 2x ?

?
3

3

)

………………………………4 分

? 2 k? ?

?
2

,得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ? (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 因为 x ? [0,

?
12

, k? ?

?

5? ] ,k ?Z 12

5? ,k ?Z 12
…………6 分

?
3

3

个单位,再向上平移 a 个单位, ………………………………8 分

)?a

? 5? ? 1 ? [ , ] , sin( 2 x ? ) ? [ ,1] , 4 3 3 6 3 2 所以 g ( x) ? [1 ? a,2 ? a ] ………………………………10 分 令1 ? a ? 2 ? a ? 5 得a ?1 …………………………………………12 分
?
] , 2x ?

?

6

21. (Ⅰ)因为椭圆的焦点为 F(-1,0),所以 c=1, 又 b 2 ? 3 所以 a 2 ? 4 ,

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

……………………2 分

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线为 x=-1,此时 C (?1,? ) , D (?1, ) △ABD 与△ABC 面积相等,|S1-S2|=0 当直线 l 斜率存在时,显然 k ? 0 , 设直线为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 )联立椭圆方程得 ……………………7 分

3 2

3 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0
显然△>0,且 x1 ? x 2 ? ? 此时 | S1 ? S 2 |?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

……………………8 分

1 ? AB ? | y1 | ? | y 2 | ? 2 y1 ? y 2 ? 2 k ( x1 ? 1) ? k ( x 2 ? 1) 2 12 k ……………………10 分 ? 2 k ( x1 ? x 2 ) ? 2k ? 3 ? 4k 2 12 12 3 因为 k ? 0 ,上式 ? 时等号成立 ? ? 3 当k ? ? 3 2 3 ? 4k 2 ?4k k k
综上的,|S1-S2|的最大值为 3 ………………………………12 分

7

22. (1) f '( x) ? 3 x ? 2ax ? b .
2

依题意则有: ?

? f (1) ? 4 , ? f '(1) ? 0

所以 ?

?1 ? a ? b ? 4 ?a ? ?6 ,解得 ? , 所以 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x . ………………3 分 ?3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? 9
2

(2) f '( x) ? 3 x ? 12 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) ,由 f '( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? 3 .……4 分

x
f '( x)
f ( x)
3

(??,1)
+ 增函数
2

1 0 4

(1,3)
— 减函数

3 0 0

(3,??)
+ 增函数 ……………………7 分

所以函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x 极大值是 4,极小值是 0.

则①、②可得 ?

?s ? t ? 3 ,即 s, t 是方程 x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 的两根, ? st ? 1

即s ?

3? 5 3? 5 ,t ? 不合要求; 2 2
……………………14 分

综上,不存在正数 s, t 满足要求.

8


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