2017届北京市东城区高三上学期期末考试理科数学试题及答案

东城区 2017 学年第一学期期末教学统 一检测 高三数学 (理科) 学 校 _____________ 班 级 _______________ 姓 名 ______________考号___________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将 答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出 的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? {0,1}, B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? (A) {0,1} (C) {x | 0 ? x ? 2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 (3)设 a ? R ,则“ a 2 ? a ”是“ a ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (B ) {0,1, 2} (D) {x | 0 ? x ? 2} i 对应的点位于 1+ i (B)第二象限 (D)第四象限 (D)既不充分也不必要条件 (4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? 4 ,则 S11 等于 (A) 12 (C) 22 (B) 18 开始 (D) 44 输入 n (5)当 n ? 4 时,执行如图所示的程序框图, k ? 1, S ? 0 输出的 S 值为 ( A) 6 ( B) 8 (C) 14 (D) 30 k ? n? 否 输出 S 是 k ? k ?1 S ? S ? 2k S 结束 (6)已知函数 是 ?log 1 x, x ? 0, ? f ( x) ? ? 3 若 f (a) ? 1 ,则实数 a 的取值范围 2 x ? ? 2 , x ? 0, (A) (?1,0) ? ( (C) (?1, 0) ? ( 3, ??) 3 , ??) 3 (B) (?1, (D) (?1, 3) 3 ) 3 ( 7) 在空间直角坐标系 O ? xyz 中, 一个四面体的顶点坐标为分 别为 (0, 0, 2) , (2, 2, 0) , (0, 2, 0) , (2, 2, 2) .画该四面体三视图中 的正视图时,以 xOz 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( A) ( D) (B) ( C) (8)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上. 若存在圆 C 上的点 Q , 使得 ?OPQ ? 45?( O 为坐标原点) , 则 x0 的取值范围是 (A) [0,1] ( D) [ ? 1 , 8 ] 2 5 (B) [0, 8 ] 5 (C) [? 1 ,1] 2 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9) 若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为 1 , 则该抛 物线的方程为 . ? x ? y ? 1 ? 0, (10)若实数 x, y 满足 ? ? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 3, ? 则 z ? 3x ? y 的最大值为 _______. (11)在△ ABC 中, a ? 3 , b ? ABC 的面积为 13 , B ? 60? ,则 c ? ;△ _______. (12)已知向量 a , b 不共线,若( ? a ? b )∥( a ? 2b ) ,则实数 ? ? _______. (13)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若 f (1) ? 1 , 则 f (8) ? f (9) ? . (14)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, PD ? AD ? 2 , M , N 分别为线段 AC 上的点.若 ?MBN ? 30? , 则三棱锥 M ? PNB 体积的最小值为 . P D M A N B C 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 图所示. ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 部分图象如 2 (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? 6 个单位长度得到函数 2 y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在 y 区间 [0, ? ] 上的最大值和 ?? 3 最小值. 1 o ?1 ?? 12 x (16) (本小题共 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列, 满足 a2 ? 3 ,a5 ? 6 , 数列 {bn ? 2an } 是 公比为 3 等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn} 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn . (17) (本小题共 14 分) 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2BC ? 2 , M 为 PB 的 中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求 PD 的 PC 值. A M P D C B (18) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ? 1) ln x ? 2 , g ( x) ? ?2a ln x ? 2 ,其中 a ? R .

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