2015年全国初中数学联赛四川赛区决赛_图文

2 0 1 5年第 8期 

1 9  



 
2 0 1 5 年全国初中数学联赛四川赛区决赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 : 1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 8- 0 0 1 9一 o 4  





选择题 ( 每小题 7 分, 共4 2 分)  
a   2b   3 c  

其中, i =1 , 2 , …, l 0 , 约定 口 1 1 = 口 1 .  

1 . 已知正实数 a , b 、 c 满足 

若0   , 口 : , …, 口 。 。 中最 大 的数 为  , 最 小 
的数为 m, 则 M— m 的最大值为 (  
( A) 1 3   ( B ) 1 4  

) .  

= 丽
则 

, Y =  
+   +  

a+ — — 2 b 。  
的值 为 (   ) ?  

( C) 1 5   ( D) 1 6  

二、 填空题 ( 每小题 7 分, 共2 8 分)  
7 . 已知 a = 2 s i n   4 5 。 + 1 , b = 2 c o s   4 5 。 一 1 .  

( A ) 1  

( B ) ÷   ( c ) 2  

( D ) 3  

2 . 在△ A B C中, 已知  A C B为钝 角 , C F  

则 代 数 式 (   一 t ) ÷ (   云  ) 的 值 为  
8 . 如图1 , 在 直 角  △A B C 中, 已知  A C B  
=9 0 。 , AC = 2 1, BC = B  

为边 A B上 的 中线 , B E为 边 A C上 的高. 若 
C F= B E , 则/ A C F=(   ) .   ( A) l 5 。  ( B ) 3 0 。   ( C ) 4 5 。  ( D ) 6 0 。   3 . 已知实数 口 、 b 、 c 满足 
口  +b  一4 a≤ 1 。 b  +C  一8 b ≤ 一3 ,  

2 8 , 以A B 为 边 向 外 作 
正方 形 A B D E ,   A C B   的平 分线 与 D E交于 点 C  
F . 则线段 D F 的 长 为 
A 



c   +口  一1 2 c ≤一 2 6 .  

则( 口 + b ) 。 的值为 (  
( A) 1   ( B) 8  

) .  
( C) 9   ( D) 2 7  

图1  

4 . 已知正方形 A B C D的边长为 1 , E为边  A B上 的一 点 , 过点 E作 肼 上 D E与 B C交于  点F . 则线段 B F的长 的最大值为 (   ) .   9 . 设 d为 2   0 1 5的正 因数. 则d 丁 的个 位 
数字的最大值为 
r 2 0 x +0 >0.  

.  

( A )   1( B ) 等 ( c ) 号( D )  
5 . 已知直线 Y=一  十 4与  轴 、 Y 轴分别 
交于 A 、 B两 点 , 与反 比例 函数 Y=  ( k > 0 )  

1 O . 已知 a 、 6 为实数 , 关 于  的不等式组 
I   1 5 x—b ≤0  

的整数解仅为 2 、 3 、 4 . 则口 6 的最大值为  三、 解答题 ( 共7 O分 )  

.  

的图像交于 c 、 D两点. 若A B: √ 2   C D, 则 k的 
值为 (   ) .  

l 1 . ( 2 0分 ) 若关于  的方程 
+   一1 2= 0与 3   一8  一 3 k= 0  

( A ) 1  
数, 满足 

( B ) √ 2  

( c ) 2  

( D ) 2 , / 2  

有一个公共根 , 求实数  的所 有可能值.  

6 . 已知 0 。 , 0 : , …, 口 。 。 为十个不 同 的正整 


1 2 . ( 2 5 分) 如图2 , 在等腰△ A B C中, A B  
A C , 0为线段 A B的中点. 线段 O C与以 A B  
为直径 的o0交 于点 D, 射线 B D与 A C交 于 

1   0   + l 一0   I :2或 3 ,  

2 0  

中 等 数 学 

点E . 若A E= C D, 证明:   B A C= 9 0 。 .  

由条件知  ( 0   + 6   一 4 0 ) + ( b   + c 2 — 8 b ) + ( c 2 + 0 2 — 1 2 c ) ≤一 2 8  
=  

( O , r 一1 )  +( b 一2 )  +( c一 3 )  ≤O  
( 0+ b )  =3 。 =2 7 .  

=   0 =1, b=2, c=3  

4. A 
A 

A  
图 2  

E 

C 

1 3 . ( 2 5 分) 在一个 n× 6 ( r t 12 > ) 的矩 形  方格表 的 6 n 个单位小方格 中 , 将每一个单位  小方格均填上 0或 1两数之 一. 若 某种填 法  使得表 中不存 在一个 矩形方 格表 , 它 的 四角  所在 的四个单 位小 方格填有 相 同 的数 , 则称  该填法 为“ Ⅳ - 一 填法 ” , 否则 称为 “ y  填 法 ” .   求正整数 r t 的最小值 , 使得无论 怎样填数 , 填 
法均为  填法.  

EB  1一 则  =   .   易知 ,   AA D E   B E F     ∽△ 

1/   l /   I /  

一   I l   I  

E 

F 

L - ——————_ J  

BF =A   E. BE 

图4  





(   一   )   +   1 < ~   1 ,  


当且仅 当  =   1 即 E ̄ 2   A B的 中点 时 , 线  段B F的长有最大值  .  

参 考 答 案 




1. A.  

注 意 到 , 南 l +  0 =  景  十 Z D 十 j C   ,  
上 一   1+Y—a+26+3 c’  
竺   1+z一   +26+3c’  
一   . 

故 
2. B.  

+  

+  

如 图 3, 过点 F作 F D上 A C于点 D.  
图5  

设 C (   0 , Y 0 ) .   由对 称 性 得 
图3  
=  

c   j 

=  

=  

则 肋=B E = 丢  
从而 ,   A C F= 3 0 。 .  
3. D.  

j  CE =2一  

=  Y 0 = 2一 √ 2,   0 = 2+√ 2  
=   k =X 0 Y o   2 .  

2 0 1 5年第 8 期 

2 1  

由 对 称 性 知 DF=AG .  

由条件不妨设 m= 口   = 1 , 最大值 M = 口  
直 定口   一0 l  


4G 

C  21   3  

G 曰 一   C 一2 8—4  

(  一  一 1 ) +(  — l 一  一 2 )+ …+ ( 口 2 一 a 1 )  


AG =  

=  

-I 5 .  

≤l a j一  

l  

I +l  



l — 

一2  

I +… + l a 2—0 1   I  

≤3 (   一 1 ) .  
又 c t j 一口 l  


① 

所以。 D F=1 5 .  
9. 7.  

(  一  + 1 ) +(  + l 一  + 2 ) + …+ ( 口 l 0 —   1 )  

注意到 , 2   0 1 5= 5×1 3× 3 1 .  

≤I   一a j + l   l +l a j + l 一  + 2   I +… + l al 0 一n l   l  

于是 , 2   0 1 5有八个正 因数.   用 G ( n ) 表示 n的个位数 字 , 则  G ( 1   叭   )=G( 3 1   )=1 ,  
G ( 2   0 1 5   )=G ( 5 螂 )=G ( 6 5  )  


≤3 ( 1 1 一   ) ,  
贝 U   2 ( M —m)= 2 ( 口   一 口 1 )   ≤3 (  一1 )+ 3 ( 1   l- j )= 3 0 .   故 M —m≤1 5 .  

② 

G ( 1 5 5 坞)= 5 .   )  

若 M— m= 1 5 , 则式① 、 ②等号均成立.  
从而, 口 2 =C / , l 0 , 矛盾.  
所以,   —m≤1 4 .  

由G ( 3   )=1 , 知  G ( 1 3   )=c ( 3   )=c ( 3   :c ( 3 。 )= 7 ,  

取口 1 = 2 ,   2= 4 , 口 3 =7 , 5 7 , 4 =1 0, 0 5:1 3 ,  

G ( 4 0 3   )=c ( 3   )= 3 .  

0 6 =1 6 , a l 0 : 5 , 口 9 = 8 , 0 8 =1   1 , 口 7 =1 4符 合 
条件.  

从而 , d 了 的个位数字的最大值为 7 .  
1 0. 一 1   2 0 0 .  

因此 ,  — m 的最大值为 1 4 .  
二 、 7. 1 .  

由 条 件 知 ~  <   ≤ 去 .  
又不等式组 的整数解仅为 2 、 3 、 4 , 则 
一  

(   一   ) ÷ S b _ b 2   )  


<2, 4≤ 

<5,  

(  二   2 : .  

±   2  

2 a b   ( 口+6 ) ( 0一b )  
=  

即  一 4 0<n ≤一 2 0 , 6 0 ≤6< 7 5 .   故一 3   0 0 0< a b ≤ 一1   2 0 0 .  

8. 1 5 .  

从而 , 当 0= 一2 0 , b= 6 0时 , 口 6 有 最 大  值 一1   2 0 0 。   三、 1 1 . 设  =   。 为题设 的公共根.  
则 X o 2 +k x o -1 2= 0,

如图 6 , 设 C F分别 与 A B、 A D 交 于 点 
G、 0.  

则  B C O- ' - 4 5 。  
:   OAB.   B  

3k  0 .  

.  

詈 ②  
③ 

①× 3 一 ②得( 3  + 8 )   。 = 3 6 — 3 k .  
显然 ,  ≠ 一   8
.  

于是, 0、 A、 C 、 B   四点共 圆.  
故  A B O  
=  

C  

A  

从 而  =  
图6  

.  

OC A =4 5   O .  

将式③代人式①得 

因此 , O A=O B .  

从而 , 0为正方形 A B D E的中心.  

( 【   丽 J  ’ ?   丽 一- 一 1 2 = 0  

2 2  

中 等 数 学 

=  9 k  +1 5k  +5 0 4 k一5 2 8=0  

为表 2 .  

1  
0  

j ( k一1 ) ( 9  + 2 4 k+ 5 2 8 ): 0 .  

2  
1  
1  

因为 9 I i } 2 + 2 4 k+ 5 2 8= 0的判 别 式 
△ =2 4  一4 ×9 ×5 2 8<0.  

0  
l  

0  
0  

1  
0  

0  
l  

所 以, 9   +2 4 k +5 2 8> 0 .  

0  

0  

1  

0  

1  

1  

从而 , k=1 .  

经检验 , 当k = 1 时, ‰= 3 符合条件.  
1 2 . 联结 A D . 则  A D B= 9 0 。 .   对△ O A C及截线 B D E应用 梅涅劳斯 定 
理 得 
C D 0B AE  ,  
一 ● …  

( 3 ) 考虑 4× 6的矩形方格 表.   假设某种 填法 为 Ⅳ _ 一填法 , 由上可 设 表  的前三行填法如表 2 . 设第 i 行第 列 的数 为  a  现考虑第 四行.   若a 4 l :0 , 则 a 4 2=a 4 3 =a  =a 4 5 =1 . 如 
表3 .  

Do BA  EC

一  

因为 C D= A E, O B=O D, A B= A C, 所以,  
CD = C E? C A  =   .  

又  D C E=   A C D, 于是 ,  
△ C DE( / 9 △ C A D.  

则  C A D=   C D E=   O D B=   A B D .  

故  B A C=   B A D+   C A D  
=   B AD +   ABD =9 O。 .  

此时 , 表中a 2 2 = a 2 4 = a 4 2 =a 4 4 =1 , 矛盾.  

若a   。 = 1 , 则依 次可确定 a  = O , a  = 0 ,  
a 4 2 =1 , a 4 3 =1 , a 4 6 = 0 . 如表 4 .  
表 4  
1   1   0  

1 3 . 若r t : 4时 , 表 1的填法为 Ⅳ 一填法.  

1   0  
0  

1  
l   1  
0  

0   1  
0  

0   0  
1  

1   0  
1  

0   1  
1  

1  

0  

0  

0  
0  

1  
0  

0  
1  

1  
0  

0  
1  

1  
l  

1  

l  

1  

0  

O  

0  

l  

1  

l  

0  

0  

0  

所 以, n> t5 .  

下面证 明 : 当 n= 5时 , 无论怎样填数 , 填  法均为  填法.  

此时, 在前三行填法确定 的条件下 , 第四  
行的填法也是确定 的.   ( 4 ) 考虑 5× 6的矩形方格表.  

( 1 ) 若某种填法为 

填法, 则任意交 换 

两行 ( 或两列 ) 数 的填法仍为  填法.  
( 2 ) 考虑 3   X 6的矩 形 方格 表 .  

假设 某种填 法 为 Ⅳ _ 一 填法 , 由( 3 ) , 知在  前三行填法 确定 的条 件下 , 第 四行 的填 法与 
第五行 的填 法 完全 相 同 , 故 该填 法 为 y _填  法. 所以, 假设 不成立.  

若某种填法为 Ⅳ 一填法 , 则任意两列 的填  法不完全相 同. 此时 , 表 中每列 的填法 不能 出  
现三个 1 , 也 不 能 出现 三个 0 . 否则 , 必 有 某 列 

因此 , 当n = 5 时, 无论怎样填数 , 填法 均 
为y _填法.   综上 , 所求正整数 n的最小值为 5 .  

与该列会 出现四个角数字相同的矩形表格.  

因此 , 对3 × 6的矩形 方格表 , 若 填法 为 
Ⅳ _ 一填法 , 在不 考 虑行 、 列顺序时, 填 法 只 能 

( 李 昌勇   提供 )  


相关文档

2015年全国初中数学联赛(初二组)决赛试卷(四川版)
2012年全国初中数学联赛四川赛区决赛
2015年全国初中数学联赛四川赛区决赛_李昌勇
2013年全国初中数学联赛四川赛区决赛
2016年全国初中数学联赛四川赛区决赛
2014年全国初中数学联赛四川赛区决赛
2014年全国初中数学联赛四川省
2012年全国初中数学联赛决赛试卷(四川)
2015年全国初中数学联赛初二组初赛试卷(四川,扫描版)
2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(四川版)
电脑版