配套K12高三数学上学期期中试卷(含解析)3

小学+初中+高中+努力=大学
2015-2016 学年江苏省苏州市常熟市高三(上)期中数学试卷

一、填空题:

1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=



2.函数 y=ln(x2﹣x﹣2)的定义域是



3.已知 sinα = ,α ∈( ,π ),则 tanα =



4.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=2x﹣x2,则 f(﹣1)+f(0)+f(3)=



5.函数 y= sinx﹣cosx﹣2(x>0)的值域是



6.等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 S4=8a1,a4=4+a2,则 S10=



7.设函数 f(x)=

,若 f(a)>f(1),则实数 a 的取值范围是



8.等比数列{an}的公比大于 1,a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3=



9.将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 φ (0<φ < )个单位后,得到函数 f(x)的图象,

若函数 f(x)是偶函数,则 φ 的值等于



10.已知函数 f(x)=ax+ (b>0)的图象在点 P(1,f(1))处的切线与直线 x+2y﹣1=0 垂直,

且函数 f(x)在区间[ ,+∞)上是单调递增,则 b 的最大值等于



11.已知 f(m)=(3m﹣1)a+b﹣2m,当 m∈[0,1]时,f(m)≤1 恒成立,则 a+b 的最大值是



小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

12.在△ABC 中,若 tanA=2tanB,a2﹣b2= c,则 c=



13.已知 x+y=1,x>0,y>0,则 + 的最小值为



14.设 f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≤0 在区间 I

上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x3﹣2ax 与 g(x)=x2+2bx

在开区间(a,b)上单调性相反(a>0),则 b﹣a 的最大值为



二、解答题: 15.已知函数 f(x)=2cos ( cos ﹣sin )(ω >0)的最小正周期为 2π . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 θ ∈(0, ),且 f(θ )= + ,求 cosθ 的值.

16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1﹣2n+1+1,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1,a2 的值; (2)求证:{an+2n}是等比数列.并求数列{an}的通项公式.

17.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+1.

(1)若函数 g(x)=loga[f(x)+a](a>0,a≠1)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

(2)当 x>0 时,恒有不等式

>lnx 成立,求实数 a 的取值范围.

18.如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两 个报名点,满足 A,B,C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两处 游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘游轮前往 C 岛.据 统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 4 元,游轮每千米耗费 24 元.设∠CDA=α ,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 (2)问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?
19.设函数 f(x)=x|x﹣1|+m,g(x)=lnx. (1)当 m>1 时,求函数 y=f(x)在[0,m]上的最大值; (2)记函数 p(x)=f(x)﹣g(x),若函数 p(x)有零点,求 m 的取值范围. 20.已知数列{an}的奇数项是公差为 d1 的等差数列,偶数项是公差为 d2 的等差数列,Sn 是数列{an} 的前 n 项和,a1=1,a2=2. (1)若 S5=16,a4=a5,求 a10; (2)已知 S15=15a8,且对任意 n∈N*,有 an<an+1 恒成立,求证:数列{an}是等差数列; (3)若 d1=3d2(d1≠0),且存在正整数 m、n(m≠n),使得 am=an.求当 d1 最大时,数列{an}的通 项公式.
小学+初中+高中+努力=大学

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2015-2016 学年江苏省苏州市常熟市高三(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题: 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B= {x|0≤x≤2} . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由题意通过数轴直接求出 A 和 B 两个集合的公共部分,通过数轴求出就是 A∩B 即可. 【解答】解:集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4}, 所以 A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2} 故答案为:{x|0≤x≤2}

【点评】本题是基础题,考查集合间的交集及其运算,考查观察能力,计算能力.
2.函数 y=ln(x2﹣x﹣2)的定义域是 (﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) . 【考点】对数函数的定义域. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】根据对数函数的定义,真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 【解答】解:∵函数 y=ln(x2﹣x﹣2), ∴x2﹣x﹣2>0, 即(x+1)(x﹣2)>0, 解得 x<﹣1,或 x>2; ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞). 故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞). 【点评】本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题,是基础题目.

3.已知 sinα = ,α ∈( ,π ),则 tanα = ﹣



小学+初中+高中+努力=大学

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【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得 tanα 的值.

【解答】解:∵sinα = ,α ∈( ,π ),∴cosα =﹣

=﹣ ,

则 tanα =

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.

4.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=2x﹣x2,则 f(﹣1)+f(0)+f(3)= ﹣2 . 【考点】函数奇偶性的性质;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=2x﹣x2,先求出 f(1),f(0),f(3),进而 求出 f(﹣1),相加可得答案. 【解答】解:∵定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=2x﹣x2, ∴f(1)=1,f(0)=0,f(3)=﹣1, ∴f(﹣1)=﹣1, ∴f(﹣1)+f(0)+f(3)=﹣2, 故答案为:﹣2 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,难度不大,属于基础题.

5.函数 y= sinx﹣cosx﹣2(x>0)的值域是 [﹣4,0] . 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值 域. 【解答】解:函数 y= sinx﹣cosx﹣2=2sin(x﹣ )﹣2 的值域为[﹣4,0], 故答案为:[﹣4,0]. 【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的定义域和值域,属于基础题.
小学+初中+高中+努力=大学

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6.等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 S4=8a1,a4=4+a2,则 S10= 120 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得首项和公差的方程组,解方程组代入等差数列的求和公式可得. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵S4=8a1,a4=4+a2,

∴4a1+

d=8a1,a1+3d=4+a1+d,

联立解得 a1=3,d=2

∴S10=10×3+

×2=120

故答案为:120 【点评】本题考查等差数列的求和公式,求出数列的公差 d 是解决问题的关键,属基础题.

7.设函数 f(x)=

,若 f(a)>f(1),则实数 a 的取值范围是 a>1 或 a<﹣1 .

【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】把不等式转化为两个不等式组,解不等式组可得. 【解答】解:由题意可得 f(1)=21﹣4=﹣2,

∴f(a)>f(1)可化为





分别解不等式组可得 a>1 或 a<﹣1 故答案为:a>1 或 a<﹣1. 【点评】本题考查分段不等式的解法,转化为不等式组是解决问题的关键,属基础题.

8.等比数列{an}的公比大于 1,a5﹣a1=15,a4﹣a2=6,则 a3= 4 . 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】根据等比数列的通项公式为 an=a1qn﹣1 求出 a1 和 q 得到通项公式即可求出 a3.
小学+初中+高中+努力=大学

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【解答】解:∵等比数列的通项公式为 an=a1qn﹣1 由 a5﹣a1=15,a4﹣a2=6 得: a1q4﹣a1=15,a1q3﹣a1q=6 解得:q=2 或 q= 则 a3=a1q2=4 或﹣4 ∵等比数列{an}的公比大于 1, 则 a3=a1q2=4 故答案为 4 【点评】考查学生利用等比数列性质的能力.

9.将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 φ (0<φ < )个单位后,得到函数 f(x)的图象,

若函数 f(x)是偶函数,则 φ 的值等于



【考点】函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性, 求得 φ 的值.

【解答】解:将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 φ (0<φ < )个单位后,得到函数 f(x)

=sin[2(x﹣φ )+ ]=sin(2x﹣2φ + )的图象,

若函数 f(x)是偶函数,则﹣2φ + =kπ + ,即 φ =﹣ ﹣ ,k∈Z,∴φ = ,

故答案为: . 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称 性,属于基础题.

10.已知函数 f(x)=ax+ (b>0)的图象在点 P(1,f(1))处的切线与直线 x+2y﹣1=0 垂直,

且函数 f(x)在区间[ ,+∞)上是单调递增,则 b 的最大值等于



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用;不等式的解法及应用.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得 a﹣b=2,再由题意可得 a﹣
≥0 在区间[ ,+∞)上恒成立,即有 ≤x2 的最小值,解 b 的不等式即可得到最大值. 【解答】解:函数 f(x)=ax+ (b>0)的导数为 f′(x)=a﹣ , 在点 P(1,f(1))处的切线斜率为 k=a﹣b, 由切线与直线 x+2y﹣1=0 垂直,可得 k=a﹣b=2,即 a=b+2, 由函数 f(x)在区间[ ,+∞)上是单调递增,可得 a﹣ ≥0 在区间[ ,+∞)上恒成立, 即有 ≤x2 的最小值, 由 x≥ 可得 x2 的最小值为 . 即有 ≤ ,由 b>0,可得 b≤ . 则 b 的最大值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性,考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒 成立问题的解法,属于中档题.

11.已知 f(m)=(3m﹣1)a+b﹣2m,当 m∈[0,1]时,f(m)≤1 恒成立,则 a+b 的最大值是



【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】把已知函数解析式变形,结合当 m∈[0,1]时,f(m)≤1 恒成立,得到关于 a,b 的约束 条件,然后利用线性规划知识求得 a+b 的最大值. 【解答】解:f(m)=(3m﹣1)a+b﹣2m=(3a﹣2)m﹣a+b, ∵当 m∈[0,1]时,f(m)≤1 恒成立,



,即



画出可行域如图,

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联立

,解得 A(

),

令 z=a+b,化为 b=﹣a+z,

由图可知,当直线 b=﹣a+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为



故答案为: . 【点评】本题考查函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,训练了利用线性规划知识求最值, 是中档题.

12.在△ABC 中,若 tanA=2tanB,a2﹣b2= c,则 c= 1 .

【考点】余弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】解三角形.

【分析】由 tanA=2tanB,可得

,利用正弦定理可得:acosB=2bcosA,由余弦定理化简

整理可得:a2﹣b2= c2,结合 a2﹣b2= c,即可解得 c 的值.

【解答】解:∵tanA=2tanB,可得:

,利用正弦定理可得:acosB=2bcosA,

∴由余弦定理可得:a×

=2b×

,整理可得:a2﹣b2= c2,

又∵a2﹣b2= c, ∴ c= c2,解得:c=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,正弦定理,余弦定理的综合应用,熟练掌握相关公 式及定理是解题的关键,属于基本知识的考查.
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13.已知 x+y=1,x>0,y>0,则 + 的最小值为



【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

【分析】消元可得 + =﹣1+

,然后换元令 3x+2=t,x= (t﹣2),代入要求的式子

由基本不等式可得. 【解答】解:∵x+y=1,x>0,y>0,∴y=1﹣x

∴+ =+ =

=

=﹣1+



令 3x+2=t,则 t∈(2,5)且 x= (t﹣2),

∴﹣1+

=﹣1+

=﹣1+

=﹣1+



由基本不等式可得﹣2t﹣ =﹣2(t+ )≤﹣2?2 当且仅当 t= 即 t=3x+2=4 即 x= 时取等号,

∴﹣2t﹣ +20≤4,∴

≥,

=﹣16,

∴﹣1+

≥,

故答案为: . 【点评】本题考查基本不等式求最值,涉及消元和换元的思想,属中档题.

小学+初中+高中+努力=大学

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14.设 f′(x)和 g′(x)分别是 f(x)和 g(x)的导函数,若 f′(x)g′(x)≤0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)和 g(x)在区间 I 上单调性相反.若函数 f(x)= x3﹣2ax 与 g(x)=x2+2bx

在开区间(a,b)上单调性相反(a>0),则 b﹣a 的最大值为



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】由条件知 g′(x)>0 恒成立,得 f′(x)≤0 恒成立,从而求出 a、b 的取值范围,建立 b﹣a 的表达式,求出最大值.

【解答】解:∵f(x)= x3﹣2ax,g(x)=x2+2bx,

∴f′(x)=x2﹣2a,g′(x)=2x+2b; 由题意得 f′(x)g′(x)≤0 在(a,b)上恒成立, ∵a>0,∴b>a>0,∴2x+2b>0 恒成立, ∴x2﹣2a≤0 恒成立,即﹣ ≤x≤ ; 又∵0<a<x<b,∴b≤ , 即 0<a≤ ,解得 0<a≤2;

∴b﹣a≤ ﹣a=﹣

+,

当 a= 时,取“=”, ∴b﹣a 的最大值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性问题,也考查了不等式的解法问题,是易错题.

二、解答题: 15.已知函数 f(x)=2cos ( cos ﹣sin )(ω >0)的最小正周期为 2π . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 θ ∈(0, ),且 f(θ )= + ,求 cosθ 的值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】(1)把已知的函数解析式变形,结合其最小正周期求出 ω ,则函数解析式可求;

(2)把 f(θ )= + 代入函数解析式求得

,结合 θ 的范围得到 cos



),再由 cosθ =cos[

]展开两角和的余弦得答案.

【解答】解:(1)f(x)=2cos ( cos ﹣sin )

=

= =

=



∵f(x)的最小正周期为 2π ,∴ω =1,

∴f(x)=



(2)f(θ )=





= +,

∵θ ∈(0, ),∴



则 cos(

)= .

),

则 cosθ =cos[

]=cos(

)cos ﹣sin(

)sin

=

=



【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查了三角恒等变换中的应用,是基础的计算题.

16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1﹣2n+1+1,且 a1,a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1,a2 的值; (2)求证:{an+2n}是等比数列.并求数列{an}的通项公式. 【考点】等比数列的通项公式;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(1)由已知得 a1+a3=2(a2+5),2a1=a2﹣3,2(a1+a2)=a3﹣7,由此能求出 a1,a2 的值. (2)由 2Sn=an+1﹣2n+1+1,得 2Sn﹣1=an﹣2n+1,(n≥2),两式相减整理得{an+2n}是首项为 3,公比为 3 的等比数列.由此能求出 an=3n﹣2n. 小学+初中+高中+努力=大学

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【解答】(1)解:∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1﹣2n+1+1,且 a1,a2+5,a3 成等差数列, ∴a1+a3=2(a2+5),①, 当 n=1 时,2a1=a2﹣3,② 当 n=2 时,2(a1+a2)=a3﹣7,③ ∴联立①②③解得,a1=1,a2=5,a3=19. (2)证明:由 2Sn=an+1﹣2n+1+1,①得 2Sn﹣1=an﹣2n+1,(n≥2),②, 两式相减得 2an=an+1﹣an﹣2n(n≥2),

=

=3(n≥2).



=3,∴{an+2n}是首项为 3,公比为 3 的等比数列.

∴an+1+2n+1=3(an+2n),又 a1=1,a1+21=3, ∴an+2n=3n,即 an=3n﹣2n. 【点评】本题考查数列中前两项的求法,考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,是中 档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

17.已知函数 f(x)=x2﹣2ax+1.

(1)若函数 g(x)=loga[f(x)+a](a>0,a≠1)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

(2)当 x>0 时,恒有不等式

>lnx 成立,求实数 a 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)由题可知 x2﹣2ax+1+a>0 在 R 上恒成立,利用二次函数的性质可得 a 的范围;

(2)整理不等式得 x+ ﹣lnx>2a,构造函数 f(x)=x+ ﹣lnx,利用导数求出函数的最小值即可.

【解答】(1)由题意可知, x2﹣2ax+1+a>0 在 R 上恒成立, ∴△=4a2﹣4﹣4a<0,

∴0<a<

,且 a≠1;

(2)∵

>lnx,

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∴x+ ﹣lnx>2a,

令 f(x)=x+ ﹣lnx,

∴f'(x)=﹣ ﹣ +1,

令 f'(x)=﹣ ﹣ +1=0,

∴x=



∴x∈(

,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增;

x∈(0,

)时,f'(x)<0,f(x)递减;

∴f(x)≥f(

)= ﹣ln



∴a< ( ﹣ln

).

【点评】考查了对数函数,二次函数的性质和恒成立问题的转换.难点是利用导函数求出构造函数 的最小值.

18.如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两 个报名点,满足 A,B,C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两处 游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘游轮前往 C 岛.据 统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 4 元,游轮每千米耗费 24 元.设∠CDA=α ,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】应用题;导数的综合应用. 【分析】(1)由题在△ACD 中,由余弦定理求得 CD、AD 的值,即可求得运输成本 S 的解析式. (2)利用导数求得 cosα = 时,函数 S 取得极小值,由此可得中转点 D 到 A 的距离以及 S 的最小值.
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【解答】解:(1)由题在△ACD 中,∵∠CAD=∠ABC=∠ACB= ,∠CDA=α ,∴∠ACD= ﹣α . 又 AB=BC=CA=10,△ACD 中,

由正弦定理知

,得 CD=

,AD=



∴S=8AD+16BD+24CD=

+160

=40 ?

+120( <α < ).…

(2)S′=40 ×

,令 S′=0,得 cosα = .…

当 cosα > 时,S′<0;当 cosα < 时,S′>0,∴当 cosα = 时 S 取得最小值.…

此时,sinα = ,AD=

=5+ ,

∴中转站距 A 处 5+ 千米时,运输成本 S 最小.… 【点评】本题主要考查正弦定理,利用导数研究函数的单调性,由函数的单调性求极值,属于中档 题.

19.设函数 f(x)=x|x﹣1|+m,g(x)=lnx. (1)当 m>1 时,求函数 y=f(x)在[0,m]上的最大值; (2)记函数 p(x)=f(x)﹣g(x),若函数 p(x)有零点,求 m 的取值范围. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数零点的判定定理. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】(1)化简函数 f(x)的解析式,分别在[0,1]和(1,m]上求函数的最大值. (2)函数有零点即对应方程有解,得到 m 的解析式 m=h(x),通过导数符号确定 h(x)=lnx﹣x|x ﹣1|的单调性,由 h(x)的单调性确定 h(x)的取值范围,即得 m 的取值范围. 【解答】解:(1)当 x∈[0,1]时,f(x)=x(1﹣x)+m=
∴当 时,
当 x∈(1,m]时,f(x)=x(x﹣1)+m= ∵函数 y=f(x)在(1,m]上单调递增,∴f(x)max=f(m)=m2
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得:

又 m>1



∴当

时,f(x)max=m2;



时,



(2)函数 p(x)有零点即方程 f(x)﹣g(x)=x|x﹣1|﹣lnx+m=0 有解, 即 m=lnx﹣x|x﹣1|有解 令 h(x)=lnx﹣x|x﹣1|,当 x∈(0,1]时,h(x)=x2﹣x+lnx



∴函数 h(x)在(0,1]上是增函数,∴h(x)≤h(1)=0 当 x∈(1,+∞)时,h(x)=﹣x2+x+lnx.



=

<0

∴函数 h(x)在(1,+∞)上是减函数,∴h(x)<h(1)=0 ∴方程 m=lnx﹣x|x﹣1|有解时,m≤0, 即函数 p(x)有零点时 m≤0 【点评】本题考查用分类讨论的方法求函数最大值,利用导数求函数值域,及化归与转化的思想方 法.

20.已知数列{an}的奇数项是公差为 d1 的等差数列,偶数项是公差为 d2 的等差数列,Sn 是数列{an} 的前 n 项和,a1=1,a2=2. (1)若 S5=16,a4=a5,求 a10; (2)已知 S15=15a8,且对任意 n∈N*,有 an<an+1 恒成立,求证:数列{an}是等差数列; (3)若 d1=3d2(d1≠0),且存在正整数 m、n(m≠n),使得 am=an.求当 d1 最大时,数列{an}的通 项公式. 【考点】数列的应用;等差关系的确定. 【专题】综合题;等差数列与等比数列. 【分析】(1)确定数列的前 5 项,利用 S5=16,a4=a5,建立方程,求出 d1=2,d2=3,从而可求 a10; (2)先证明 d1=d2,再利用 S15=15a8,求得 d1=d2=2,从而可证数列{an}是等差数列;

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

(3)若 d1=3d2(d1≠0),且存在正整数 m、n(m≠n),使得 am=an,在 m,n 中必然一个是奇数,一

个是偶数.不妨设 m 为奇数,n 为偶数,利用 am=an,及 d1=3d2,可得

,从而可求当

d1 最大时,数列{an}的通项公式. 【解答】(1)解:根据题意,有 a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16, a4=a5, ∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1∴d1=2,d2=3. ∴a10=2+4d2=14

(2)证明:当 n 为偶数时,∵an<an+1 恒成立,∴2+



∴ (d2﹣d1)+1﹣d2<0

∴d2﹣d1≤0 且 d2>1

当 n 为奇数时,∵an<an+1 恒成立,∴



∴(1﹣n)(d1﹣d2)+2>0 ∴d1﹣d2≤0 ∴d1=d2

∵S15=15a8,∴8+

+14+

=30+45d2

∴d1=d2=2 ∴an=n ∴数列{an}是等差数列; (3)解:若 d1=3d2(d1≠0),且存在正整数 m、n(m≠n),使得 am=an,在 m,n 中必然一个是奇数, 一个是偶数 不妨设 m 为奇数,n 为偶数

∵am=an,∴

∵d1=3d2,∴ ∵m 为奇数,n 为偶数,∴3m﹣n﹣1 的最小正值为 2,此时 d1=3,d2=1

∴数列{an}的通项公式为 an=



小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 【点评】本题考查数列的通项,考查数列的求和,考查学生分析解决问题的能力,确定数列的通项 是关键.
小学+初中+高中+努力=大学


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