2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 2 章《基本初等 函数、导数及其应用》 (第 12 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 3 1.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( ) A.0≤a<1 B.0<a<1 1 C.-1<a<1 D.0<a< 2 2 2 解析:选 B.∵y′=3x -3a,令 y′=0,可得:a=x . 又∵x∈(0,1),∴0<a<1.故选 B. 4x 2.(2013·威海调研)函数 y= 2 ( ) x +1 A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,有最小值-2 D.无最值 2 2 4? x +1? -4x·2x -4x +4 解析:选 C.∵y′= = 2 2 2 2. ? x +1? ? x +1? -4 令 y′=0,得 x=1 或-1,f(-1)= =-2,f(1)=2.结合图象故选 C. 2 3 2 3.已知函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[- 2,2]上的最小值是( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 解析:选 A.f′(x)=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当 x=0 时,f(0)=m 最大, ∴m=3,而 f(-2)=-37,f(2)=-5,∴f(x)min=-37. 2 4.已知函数 f(x)=x +2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围 是( ) A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4 解析:选 C.∵f′(x)=2x+2+ ,f(x)在(0,1)上单调, ∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立, 2 2 即 2x +2x+ a≥0 或 2x +2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 2 2 所以 a≥-(2x +2x)或 a≤-(2x +2x)在(0,1)上恒成立. 2 记 g(x)=-(2x +2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, ∴a≥0 或 a≤-4,故选 C. 2 5. (2011·高考湖南卷)设直线 x=t 与函数 f(x)=x , (x)=lnx 的图象分别交于点 M, g N,则当|MN|达到最小时 t 的值为( ) 1 A.1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2

a x

1

1 2 2 解析:选 D.由题意|MN |=t -lnt(t>0),不妨令 h(t)=t -lnt,则 h′(t)=2t- ,

t

令 h′(t)=0, 解得 t= >0,所以当 t=

2 2? ? ? 2 ? , 因为 t∈?0, ?时, ′(t)<0, t∈? ,+∞?时, ′(t) h 当 h 2 2? ? ?2 ?

2 时,|MN|达到最小. 2

二、填空题 2 6.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取值范围是________. 解析:f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0,则 x= ,由题设得 ∈[-2,-1],故 m∈[-4, 2 2 -2]. 答案:[-4,-2] ? π π? 7.函数 y=sin2x-x,x∈?- , ?的最大值是________,最小值是________. ? 2 2? π 解析:∵y′=2cos2x-1=0,∴x=± . 6 3 π 3 π π ? π? ?π ? ? π? π ?π ? 而 f?- ?=- + ,f? ?= - ,端点 f?- ?= ,f? ?=- ,所以 y 的 6? 6? 2 2? 2 2? 2 6 6 2 ? ? ? ? π π 最大值是 ,最小值是- . 2 2 π π 答案: - 2 2 8.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间 1 2 的函数关系为 P=24200- x ,且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x(元).则该厂每月生产 5 ________吨该产品才能使利润达到最大,最大利润是________万元.(利润=收入-成本) 解析:每月生产 x 吨时的利润为 1 f(x)=(24200- x2)x-(50000+200x) 5 1 3 =- x +24000x-50000(x≥0). 5 3 2 由 f′(x)=- x +24000=0,解得 x1=200,x2=-200(舍去).因 f(x)在[0,+∞) 5 内只有一个极值点 x=200 使 f′(x)=0, 1 3 故 它 就 是 最 大 值 点 , 且 最 大 值 为 f(200) = - ×200 + 24000×200 - 50000 = 5 3150000(元). 所以每月生产 200 吨产品时的利润达到最大,最大利润为 315 万元. 答案:200 315 三、解答题 x 9.(2011·高考北京卷)已知函数 f(x)=(x-k)e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. x 解:(1)f′(x)=(x-k+1)e . 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞) f′(x) - 0 +
2

m

m

?↘ -e ?↗ 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在 区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1] k-1 上的最小值为 f(k-1)=-e ; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 10.(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正 方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B, C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上,是被 切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).

f(x)

k-1

(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? 3 (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值. 解:设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm. 60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15) +1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. 2 3 2 (2)V=a h=2 2(-x +30x ),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0, 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 = .即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2

2

一、选择题 1.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元,

?400x-1x2 ? 0≤x≤400? ? 2 已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)=? ?80000 ? x>400? ?
利润最大时,每年生产的产品是( ) A.100 B.150 C.200 D .300 解析:选 D.由题意得,总成本函数为 C=C(x)=20000+100x, 所以总利润函数为 P=P(x)=R(x)-C(x)

,则总

3

?300x-x -20000 ? 0≤x≤400? ? 2 =? ?60000-100x ? x>400? ?
? ?300-x ? 0≤x≤400? , 而 P′(x)=? ?-100 ? x>400? , ?

2



令 P′(x)=0,得 x=300,易知 x=300 时,P 最大. 3 2 2.已知函数 f(x )=x +ax +bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的 切线斜率均为-1,给出以下结论: 3 ①f(x) 的解析式为 f(x)=x -4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:选 C.∵f(0)=0,∴c=0, 2 ∵f′(x)=3x +2ax+b. ?f′? 1? =-1 ?3+2a+b=-1 ? ? ∴? ,即? . ? ? ?f′? -1? =-1 ?3-2a+b=-1 解得 a=0,b=-4, 3 2 ∴f(x)=x -4x,∴f′(x)=3x -4. 2 令 f′(x)=0,得 x=± 3∈[-2,2], 3 ∴极值点有两个. ∵f(x)为奇函数,∴f(x)max+f(x)min=0. ∴①③正确,故选 C. 二、填空题 1 2 3.(2013·嘉兴质检)不等式 ln(1+x)- x ≤M 恒成立,则 M 的最小值是________. 4 1 2 解析:设 f(x)=ln(1+x)- x , 4 1 2 则 f′(x)=[ln(1+x)- x ]′ 4 1 1 -? x+2? ? x-1? = - x= , 1+x 2 2? 1+x? ∵函数 f(x)的定义域需满足 1+x>0,即 x∈(-1,+∞). 令 f′(x)=0 得 x=1, 当 x>1 时,f′(x)<0,当-1<x<1 时,f′(x)> 0, 1 ∴函数 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=ln2- . 4 1 2 ∴要使 ln(1+x)- x ≤M 恒成立, 4 1 1 ∴M≥ln2- ,即 M 的最小值为 ln2- . 4 4 1 答案:ln2- 4 4.将边长为 1 m 的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是 2 ? 梯形的周长? 梯形,记 s= ,则 s 的最小值是________. 梯形的面积
4

1 解析:设剪成的小正三角形的边长为 x,则梯形的周长为 3-x,梯形的面积为 ·(x+ 2 1)· 3 ? 3-x? ·(1-x),所以 s= 2 1 3 ·? x+1? · ·? 2 2 2 4 ? 3-x? 由 s(x)= · ,得 2 1-x 3
2

= 1-x?

4

? 3-x? · (0<x<1). 2 1-x 3

2

s′(x)=

4

3 4 -2? 3x-1? ? x-3? = · . 2 2 ? 1-x ? 3

·

?

2x-6? ·?

1-x ? -? 3-x? 2 2 ? 1-x ?

2

2

·? -2x?

1 令 s′(x)=0,且 0<x<1,解得 x= . 3 ? 1? ?1 ? 当 x∈?0, ?时,s′(x)<0;当 x∈? ,1?时,s′(x)> 0. ? 3? ?3 ? 1 32 3 故当 x= 时,s 取最小值 . 3 3 32 3 答案: 3 三、解答题 3 2 5.(2013·大同调研)已知函数 f(x)=ax +x +bx(a、b 为常数,g(x)=f(x)+f′(x) 是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并 求 g(x)在区间[1,2 ]上的 最大值、最小值. 2 解:(1)∵f′(x)=3ax +2x+b, 3 2 ∴g(x)=f(x)+f′(x)=ax +(3a+1)x +(b+2)x+b. ∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x),
?3a+1=0 ? ∴? ? ?b=0

?a=-1 ? 3 ,解得:? ?b=0 ?

.

1 3 2 ∴f(x)的解析式为 f(x)=- x +x . 3 1 3 2 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x,∴g′(x)=-x +2. 3 令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2, ∴当 x∈(-∞,- 2),( 2,+∞)时,g(x)单调递减, 当 x∈ (- 2, 2)时,g(x)单调递增, 5 4 2 4 又 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 4 2 4 ∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= ,最小值为 g(2)= . 3 3

5


相关文档

2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习课件:第二章第12课时导数与函数的最值及在实际生活中的应用(新人教A版)
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第10课时)知识过关检测 理 新人教A版
电脑版