[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]:第九篇 第4讲 椭圆

第4讲 椭 圆 A级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) x2 1.椭圆 4 +y2=1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, 一个交点为 P,则|PF2|= 7 A.2 解析 3 B. 2 C. 3 D.4 ( ). a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= 3,不妨设 F1 为左焦点,P 在 x ?- 3?2 轴上方,则 F1(- 3,0),设 P(- 3,m)(m>0),则 4 +m2=1,解得 m 1 1 =2,所以|PF1|=2,根据椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|= 1 7 2×2-2=2. 答案 A x2 y2 2.(2012· 江西)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别 是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 1 A.4 解析 5 B. 5 1 C.2 D. 5-2 ( ). 因为 A,B 为左、右顶点,F1,F2 为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2| =2c,|F1B|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2. c 5 所以离心率 e= = ,故选 B. a 5 答案 B ?1 ? 3.(2013· 嘉兴测试)已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e∈?2,1?,则实数 m 的取值范 ? ? 围是 3? ? A.?0,4? ? ? 3? ?4 ? ? C.?0,4?∪?3,+∞? ? ? ? ? 解析 ?4 ? B.?3,+∞? ? ? 4? ?3 ? ? D.?4,1?∪?1,3? ? ? ? ? ( ). y2 1 ?1 ? 4 椭圆标准方程为 x2+ 1 =1.当 m>1 时,e2=1-m∈?4,1?,解得 m>3; ? ? m 1 m-1 3 ?1 ? 2 当 0<m<1 时,e = 1 =1-m∈?4,1?,解得 0<m<4,故实数 m 的取值范围 ? ? m 3? ?4 ? ? 是?0,4?∪?3,+∞?. ? ? ? ? 答案 C x2 y2 4.(2012· 温州测试)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的中心为 O,左焦点为 F,A 是椭 →· → =0 且OA →· → =1OF → 2,则该椭圆的离心率是 圆上的一点.OA AF OF 2 A. 10- 2 2 B. 10+ 2 2 ( ). C.3- 5 解析 D.3+ 5 →· → =0,且OA →· → =OA →· → -OA → ),所以OA →· → =OA → 2,所以|OA → 因为OA AF AF (OF OF 2→ 2 → |= 2c,且∠AOF=45° |= 2 |OF |= 2 c,所以|AF ,设椭圆的右焦点是 F′, 2 在△AOF′中,由余弦定理可得 AF′= 1 2c+ 答案 A 5 2c,由椭圆定义可得 AF+AF′= 10- 2 5 c 2 2 c = 2 a ,即 (1 + 5) c = 2 2 a ,故离心率 e = = = . 2 a 1+ 5 2 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) x2 y2 5.(2013· 青岛模拟)设椭圆m2+n2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点 1 相同,离心率为2,则此椭圆的方程为________. 解析 1 2 抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴m2-n2=4①,e=2=m,∴m=4,代 x2 y2 入①得,n2=12,∴椭圆方程为16+12=1. 答案 x2 y2 16+12=1 6.(2013· 佛山模拟)在等差数列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,则椭圆 C: x2 y2 a6+a5=1 的离心率为________. 解析 由题意,得 a4=10,设公差为 d,则 a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20- 16-13 3 = 4 4. 3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16>a5,∴e= 答案 3 4 三、解答题(共 25 分) x2 y2 7.(12 分)已知 F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆上位 2 →· → 于第一象限内的一点,AF 2 F1F2=0,若椭圆的离心率等于 2. (1)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点); (2)直线 AO 交椭圆于点 B,若三角形 ABF2 的面积等于 4 2,求椭圆的方程. 解 →· → (1)由AF 2 F1F2=0,知 AF2⊥F1F2, 2 2 1 ∵椭圆的离心率等于 2 ,∴c= 2 a,可得 b2=2a2. 设椭圆方程为 x2+2y2=a2. →· → 设 A(x0,y0),由AF 2 F1F2=0,知 x0=c, 1 ∴A(c,y0),代入椭圆方程可得 y0=2a, 2 ? 2 1 ? ∴A? a, a?,故直线 AO 的斜率 k= 2 , 2 ? ?2 2 直线 AO 的方程为 y= 2 x. (2)连接 AF1,BF1,AF2,BF2, 由椭圆的对称性可知,S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2, 1 1 ∴2· 2c· 2a=4 2. 2 又由 c= 2 a,解得 a2=16,b2=16-8=8. x2 y2 故椭圆方程为16+ 8 =1. x2 y2 8.(13 分)设 F1,F2 分别为椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 直线 l 的倾斜角为 60° , F1 到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距; → → (2)如果AF2=2F2B,求椭圆 C 的方程. 解 =2. 所以椭圆

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