高中数学第二章随机变量及其分布22二项分布及其应用例题与探究新人教A版选修23

2.2 二项分布及其应用 典题精讲 【例 1】 掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率. 思路分析:首先搞清所求概率是在什么条件下的事件的概率.利用古典概率进行求解. 解:设事件 A 为“两颗点数之和为 7”,事件 B 为“一颗点数为 1”.两颗点数之和为 7 的种 数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1,故所求概率为 P= 1 . 3 绿色通道: 在等可能性事件的问题中,求条件概率可采用古典概型的方法更容易理解.计算出 基本事件的总数,然后算出有利事件数,从而求出概率. 变式训练 掷两颗均匀的骰子,已知点数不同,求至少有一个为 6 的概率. 1 1 解:在“点数不同”(事件 A)的条件下,总的基本事件数为 C6 C5 =30,至少有一个点数为 6 1 的(事件 B)事件的个数为 C5 ×2=10,∴P(B|A)= 10 1 ? . 30 3 【例 2】 某学校一年级共有学生 100 名,其中男生 60 人,女生 40 人;来自北京的有 20 人, 其中男生 12 人,若任选一人是女生,问该女生来自北京的概率是多少? 思路分析:与例 1 不同的是此题适合运用条件概率的公式来求解,分清事件 A,事件 AB. 解:A={任选一人是女生},B={任选一人来自北京},依题意知道北京的学生有女生 8 名,这 是一个条件概率问题,即计算 P(B|A). 8 40 8 P( AB) 100 1 由于 P(A)= ,P(AB)= ,则 P(B|A)= ? ? . 40 5 100 100 P( A) 100 绿色通道: 求条件概率问题要把握在什么前提条件下的概率问题,也就是搞清事件 A、 事件 B、 以及事件 AB 和它们发生的概率,再利用条件概率公式进行求解. 变式训练 根据历年气象资料统计,某地四月份刮东风的概率是 率是 8 ,既刮东风又下雨的概 30 7 . 问该地四月份刮东风与下雨的关系是否密切?以“四月份刮东风”的条件下, 30 “某地四月份下雨”的概率的大小来说明. 8 7 ,P(B)= ,在 30 30 7 P( AB) 30 7 “某地四月份刮东风”的条件下,“某地四月份下雨”的概率 P(B|A)= ? ? . 8 P( A) 8 30 1 1 【例 3】 甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为 和 ,求: 3 4 解:设 A 为“某地四月份刮东风”,B 为“某地四月份下雨”,则 P(A)= (1)两个人都译出密码的概率; (2)两个人都译不出密码的概率; (3)恰有一人译出密码的概率; (4)至多一人译出密码的概率; (5)至少一人译出密码的概率. 1 思路分析:把甲独立破译记为事件 A,乙独立破译记为事件 B,A 与 B 相互独立, A 与 B 也相互 独立. 解:记 A 为甲独立的译出密码,B 为乙独立的译出 密码. (1)两个人都译出密码的概率 P(AB)=P(A)P(B)= ? (2) 两 个 人 都 译 不 1 1 1 ? . 3 4 12 出 密 码 的 概 率 为 P( AB )=P( A )P( B )=[1-P(A)][1-P(B)]= (1 ? )(1 ? ) ? 1 3 1 4 1 . 2 (3)恰有一人译出密码分为两类:甲译出乙译不出;乙译出甲译不出,即 AB ? AB ∴P( AB ? AB )=P( AB )+P( AB )=P(A)P( B )+P( A )P(B)= . (4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码, ∴1-P(AB)=1-P(A)P(B)= 1 ? 1 1 1 1 5 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 3 4 3 4 12 1 11 ? . 12 12 (5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码, ∴1-P( AB )= 1 ? 1 1 ? . 2 2 绿色通道: 求相互独立事件同时发生的概率时,运用公式 P(AB)=P(A)P(B).在解决问题时,要 搞清事件是否独立,同时要注意把复杂事件分解为若干简单事件来处理 ,同时还要注意运用 对立事件把问题简化. 变式训练 甲、 乙、 丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为 三人全做错的概率为 1 1 ,三人都做对的概率为 , 2 24 1 . 4 (1)分别求乙、丙两人各自做对此题的概率; (2)求甲、乙、丙中恰有一人做对此题的概率. 解:(1)设甲、乙、丙三人各自做对此题分别为事件 A、B、C,则 P(A)= 1 ,由题意可知: 2 1 ?1 P ( B ) P (C ) ? , ? ?2 24 ? 1 ?(1 ? 1 )[1 ? P ( B)][( 1 ? P ( C )] ? . ? 2 4 ? 解得 P(B)= 1 1 1 1 ,P(C)= 或 P(B)= ,P(C)= . 3 4 4 3 11 . 24 (2)设甲、乙、丙中恰有一人做对此题为事件 D,则 P(D)=P(A)P( B )P( C )+P( A )P(B)P( C )+P( A )P( B )P(C)= 【例 4】 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5. (1)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率; (2)若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率. 2 思路分析:至少一人命中可考虑对立事件无人命中;恰有两人命中要分为三个互斥事件,具体 哪两个命中;甲单独射击目标 3 次就是独立重复试验 问题. 解:(1)设 Ak 表示“第 k 人命中目标”,k=1、2、3.这里,A1,A2,A3 独立,且 P(A1)=0.7, P(A2)=0.6,P(A3)=0.5.从而,至少有一人命中目标的概率为 1-P( A1 A2 A3 )=1-P( A1 ) P( A2 )P( A3 )=1-0.3×0.4×0.5=0.94. 恰有两人命中目标的概率为 P(A1A

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