江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第5讲 导数(1)教学案

赣榆智贤中学 2014-2015 学年度第二学期教学案例
年 级:ZX-12 编写时间:2015-03-13 主备人: 学科:SX 编号:NO:013 复备人: 复备栏

教学内容:导数及其应用(1) 教学目标: 1.导数的几何意义 2.利用导数研究函数的性质 教学重点: 1.导数的实际运用; 2.导数的综合运用 教学难点: 导数的综合运用 教学过程: 一、知识点复习: 1.必记的概念与定理 (1)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数.f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. (3)函数的极值 ①函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a) =0,而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. ②函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大, f′(b) =0,而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函数 y=f(x) 的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. (4)函数的最值 ①在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,要注意端点值与 极值比较. ②若函数 f(x)在[a, b]上单调递增, 则 f(a)为 函数的最小值, f(b)为函数的最大值; 若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 2.记住几个常用的公式与结论 四个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x)′=cos x. (2)(cos x)′=-sin x. 1 (3)(ax)′=axln a(a>0,且 a≠1). (4)(logax)′=xln a(a>0,且 a≠1).

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(5)[f(x)· g(x) ]′=f′( x)g(x)+f(x)g′(x). f(x f′(xg(x-f(xg′(x (6) g(x ′= [g(x]2 (g(x)≠0). 3.需要关注的易错易混点 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调 递增,但 f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有 f′(x)=0 时,则 f(x)为常数,函数不具有单调性. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题, 函数的最值是对整个定义域而言的, 是在整 个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值, 开区间内的函数不一定有最值, 若有惟一的极值, 则此极值一定是函数的最值. 二、基础训练: 1.(2014· 太原模拟)曲线 y=x3-3x 在点(0,0)处的切线方程为________. 解析: 因为曲线方程为 y=x3-3x,所以 y′=3x2-3,故 y′(0)=-3=k,则切线方程 为 y-0=-3(x-0),即 y=-3x. 答案:y=-3x 1 2.函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为________. 1 1 解析: 因为 y=2x2-ln x,所以 y′=x-x ,由 y′≤0,及 x>0,可得 0<x≤1. 答案: (0, 1] 3.(2014· 天津模拟)若函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 x=-3 时取得极值,则 a 等于 ________. 解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0,∴a=5. 答案:5 4.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1)=________. 1 解析:f′(x)=2f′(1)+x ,令 x=1 得 f′(1)=2f′(1)+1,所以 f′(1)=-1 答案:-1 三、例题教学: 例 1、 (2014· 大连模拟)若曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的方程为 y=2x+1,则 曲线 f(x)=g(x)+ln x 在点(1,f(1))处切线的斜率为________,该切线方程为________. [解析] 由题意,g′(1)=2,故曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的方程为 y-g(1)= 2(x-1),即 y=2x+g(1)-2,对比 y=2x+1,得 g(1)=3.由 f(x)=g(x)+ln x,得 f(1)= 1 1 g(1)+l n 1=3,又 f′(x)=g′(x)+x ,所以 f′(1)=g′(1)+1=3.故曲线 f(x)=g(x)+ln x 在点(1,f(1))处切线的斜率为 3,切线方程为 y-f(1)=f′(1)(x-1),即 y-3=3(x- 1),即 3x-y=0. [答案] 3 3x-y=0

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变式训练: 1.(2014· 高 考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y =2x,则 a=________. 1 解析:y′=a-x+1,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. 答案:3 例 2、设函数 f(x)=x3+ax2-(2a+3)x+a2,a∈R. (1) 若 x=1 是 f(x)的极大值点,求实数 a 的取值范围; (2)设函数 g(x)=bx2-(2b+1)x+ln x(b≠0,b∈R),若函数 f(x)有极大值,且 g(x)的极 大值点与 f(x)的极大值点相同.当 a>-3 时,求证:g(x)的极小值小于-1. [解] (1) 因 f′(x)=3x2+2ax-(2a+3)=(x-1)(3x+2 a+3),由于 x=1 是 f(x)极大值 2a+3 点,故- 3 >1,即 a<-3. (2)证明:f′(x)=3x2+2ax-(2a+3)=(x-1)(3x+2a+3). 1 (x-1(2bx-1 g′(x)=x +2bx-(2b+1)= x . 2a+3 由于函数 f(x)有极大值,故- 3 ≠1,即 a≠-3. 2a+3 2a+3 当 a>-3 时,即- 3 <1,则 f(x)的极大值点 x=- 3 ,所以 g(x)的极大值点为 1 x=2b,极小值点为 x=1. 1 1 所以<1,故, 3 此时,g(x)的极小值 g(1)=b-(2b+1)=-1-b<-2<-1. 巩固练习: 1.(2014· 石家庄模拟)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)上零点的个 数为________. 1 解析:由 y=cos x∈[-1,1],可先研究区间[0,1]内的零点,因 f′(x )= +sin x>0, 2 x 知 f(x)在[0,1]上单调增,且 f(0)=-1<0,f(1)=1-cos 1>0,所以 f(x)在[0,1]内有惟 一零点,当 x>1 时,f(x)= x-cos x>1-cos x≥0,故函数 f(x)在[0,+∞)内有且仅有 一个零点. 答案:1 2、 已知 a>0, 函数 f(x)=x3-ax 在[1, +∞)上是单调增函 数, 则 a 的最大值是________. 解析:f′(x)=3x2-a 在 x∈[1,+∞)上有 f′(x)≥0,则 f′(1)≥0?a≤3.[ 答案:3 3、已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=________. 解析: 设 f(x)=x3-3x+c, 对 f(x)求导可得, f′(x)=3x2-3, 令 f′(x)=0, 可得 x=±1, 易知 f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.若 f(1)=1-3 +c=0,可得 c=2;若 f(-1)=-1+3+c=0,可得 c=-2. 答案:-2 或 2 4、已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m∈[-1,1],则 f(m)的最小 值为________.

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解析:求导得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f′(2)=0,即-3×4 +2a×2=0,故 a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x) 在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以对 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=- 4. 答案:-4 课后反思:

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