2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案:2.3.1 等比数列的概念

2.3.1 学习目标 等比数列的概念 1.通过实例, 理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应 用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 知识点一 等比数列的概念 思考 观察下列 4 个数列,归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16,…; ③1,1,1,1,…; 1 1 1 1 ②1, , , , ,…; 2 4 8 16 ④-1,1,-1,1,…. 梳理 等比数列的概念和特点. (1)定义:如果一个数列从第 ________项起,每一项与它的 ________一项的________都等于 ____________常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常 用字母 q 表示(q≠0). an+1 an (2)递推公式形式的定义: =q(n>1)(或 a =q,n∈N*). an-1 n (3)等比数列各项均________为 0. 知识点二 等比中项的概念 思考 在 2,8 之间插入一个数,使之成等比数列.这样的实数有几个? 梳理 等差中项与等比中项的异同,对比如下表: 对比项 定义 定义式 公式 等差中项 若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项 A-a=b-A A= a+b 2 等比中项 若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 G b a =G G=± ab a 与 b 的等比中项有两个,且互为相反 数 只有当 ab>0 时,a 与 b 才有实数等比 中项 个数 a 与 b 的等差中项唯一 备注 任意两个数 a 与 b 都有等差中项 类型一 等比数列的判定 例 1 判断下列数列是不是等比数列. (1)0,1,2,4;(2)1,1,1,1;(3)0.1,0.01,0.001,0.000 1; (4)3,-3 3,9,-9 3. 反思与感悟 (1)等比数列任一项均不为 0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数. 跟踪训练 1 根据下列条件,写出等比数列的前 4 项. (1)a1=1,q=2;(2)a1=-1,q=2;(3)a1=1,q=-2; (4)a1=-1,q=-2. 类型二 证明等比数列 7 1 1 例 2 已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1= an+ ,n∈N*. 8 2 3 2 求证:{an- }是等比数列. 3 an+1 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义, 即 =q(与 n 无关的常数). an 1 跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求 a1,a2; (2)证明:数列{an}是等比数列. 1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则 a3=________. 2.若等比数列的首项为 4,公比为 2,则这个数列的第 6 项为________. 3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则公比 q=________. 4.45 和 80 的等比中项为________. 1.等比数列的判断或证明 an+1 (1)利用定义: a =q(与 n 无关的常数). n * (2)利用等比中项:a2 n+1=anan+2(n∈N ). 2. 两个同号的实数 a、 b 才有等比中项, 而且它们的等比中项有两个(± ab), 而不是一个( ab), 这是容易忽视的地方. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 从第 2 项起,每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 (1)二 前 (3)不能 知识点二 G 8 思考 设这个数为 G.则 =G,G2=16,G=± 4.所以这样的数有 2 个. 2 题型探究 例1 解 1 (1) 无意义,不是等比数列. 0 比 同一个 公比 (2)每项与前一项的比均为 1,是等比数列. 0.01 0.001 0.000 1 (3) =0.1, =0.1, =0.1,是等比数列. 0.1 0.01 0.001 -9 3 3 3 9 (4)- =- 3, =- 3, =- 3,是等比数列. 3 9 -3 3 跟踪训练 1 解 (1)a1=1,a2=a1×2=2,a3=a2×2=4,a4=a3×2=8. (2)a1=-1,a2=a1×2=-2,a3=a2×2=-4,a4=a3×2=-8. (3)a1=1,a2=a1×(-2)=-2,a3=a2×(-2)=4,a4=a3×(-2)=-8. (4)a1=-1,a2=a1×(-2)=2,a3=a2×(-2)=-4,a4=a3×(-2)=8. 例 2 证明 1 1 ∵an+1= an+ . 2 3 2 1 1 2 1 1 1 2 ∴an+1- = an+ - = an- = (an- ), 3 2 3 3 2 3 2 3 2 7 2 5 ∵a1- = - = ≠0, 3 8 3 24 2 3 1 ∴ = ,n∈N*, 2 2 an- 3 an+1- 2 1 ∴{an- }是公比为 的等比数列. 3 2 跟踪训练 2 (1)解 1 1 ∵a1=S1= (a1-1),∴a1=- . 3 2 1 1 又 a1+a2=S2= (a2-1),∴a2= . 3 4 1 (2)证明 ∵Sn= (an-1), 3 1 ∴Sn+1= (an+1-1), 3 1 1 两式相减得,an+1= an+1- an, 3 3 1 即 an+1=- an, 2 1 1 ∴数列{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列. 2 2 当堂训练 1.32 2.128 3.2 4.-60 或 60

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