2013年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理科数学试题及答案

2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案)
一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 12 题解析: 11-12BD

由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 4) 可知, 函数 F ( x) 的零点即为 f ? x ? 4 ? 的零点或 g ? x ? 4? 的零 点.

f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2012 ,
当 x ? ?1 时, f ( x)?1? x ? x ? x ????? x
' 2 3 2012

1? x 2013 ? ?0 成立, 1? x

f ' (?1) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2012 ? 1 ? 0 ,
当 x ? ?1 时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
' 2 3 2012

?

1 ? x 2013 ? 0 也成立, 1? x

即 f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ???? ? x2010 ? 0 恒成立, 所以 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ??? ? 在 R 上单调递增. 2 3 4 2013

1 1 ? ? 1 1? ? f (0) ? 1, f ? ?1? ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ??0, ? 2 3? ? 2012 2013 ?

f ? x ? 的惟一零点在 ? ?1,0? 内, f ? x ? 4? 的惟一零点在 ? ?5, ?4? 内.
同理 g ? x ? 4? 的惟一零点在 ?5,6? 内,因此 b ? 6, a ? ?4, a ? b ? 2. 二、填空题: 13. -33 14.

3? + 3 2

15.

4 3 3

16.

? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 (a2 )2 ? a1 ? a4 ,…………2 分

又首项为 2 ,得

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,

因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,……………4 分 所以 an ? 2n .………………6 分 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 由(Ⅰ)知 an ? 2n , , 所以 bn ?

1 1 = bn ? 2 (2n ? 1)2 ? 1 ……………8 分 (a n ? 1) ? 1

=

1 1 1 1 1 ) ,…………10 分 ? = ?( 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n .………………12 分 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

18. (本小题满分 12 分) 解法一: (Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时, PM∥平面 BCA ,……………1 分 取 EB 的中点 N,连接 PN,MN,则 MN∥BA,PN//CB, 所以平面 PMN//平面 ABC, ……………3 分 因为 PM 在平面 PMN 内, 所以 PM∥平面 ABC.………………5 分 (Ⅱ)连接 PH,NH ,可知 PN ? 平面ABE , 所以 PH 与平面 ABE 所成角为 ?PHN ,

PN , PN ? 2 , NH 所 以 当 N H ? A B时 , PH 与 平 面 ABE 所 成 角 最
又 tan ?PHN ? 大,……………7 分 可得 BH ?

2 ,…………………8 分 2

过 H 做 HR ? EB 交 EB 于 R , 则 HR ? 平面BCDE ,且 BR ? HR ?

1 , 2

过 R 做 RG ? CD 垂足为 G ,连接 HG , 则 HG ? CD ,

所以 ?HGR 为二面角 H ? PC ? E 的平面角,………………10 分 所以在直角 ?HRG 中 tan ?HGR ? 所以 cos ?HGR ?

HR 1 ? , RG 4

4 17 4 17 ,所以二面角 H ? PC ? E 的余弦值为 . 17 17

解法二: (Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCA ,………1 分 建立如图所示空间直角坐标系,则 A?0,0,2? , M ?0,0,1? , P?2,1,0? , B?0,2,0?

C ?2,2,0? ,
AB 中点 F ?0,1,1? ,
所 以

???? ? PM ? ? ?2 ?
EF ? ?0,1,1?

? , BC ? ?2,0,0? , AB ? ?0,2,?2? ,

,

1

可 知 EF ? BC ? 0 , EF ? AB ? 0 , ? EF ? 平 面

ABC ,…………3 分
又 EF ? PM ? 0 ,

? PM // 平面 ABC .……………5 分
(Ⅱ) 可知 P ( 2, 1,0 ),A(0,0,2),E(0,0,0) ,B(0,2,0) , 设 H ( x,y,z ) ,则 BA ? ?0,?2,2? , BH ? ( x,y ? 2,z) , 设 BH ? ? BA ,则得 H (0,? 2?, ) , 2 2? 所以 PH ? (?2, 2?, ) ,因为点 P 到平面 ABE 的距离为定值 2,……………7 分 1? 2? 所以当 PH 最小时 PH 与平面 ABE 所成角最大, 此时 PH ? BA ,即 PH ? BA ? 0 ,得 ? ?

1 3 1 ,所以 H (0, , ) , 2 2 4

? 所以 BH ? (0,

1 1 , ) ,…………………8 分 2 2

设平面 PCH 的一个法向量为 n ? ( x0,y0,z0 ) ,

???? ??? ? 1 1 PC ? (0,1,0) , PH ? (?2, , ) 2 2

? y0 ? 0; ??? ? ???? 1 ? 则由 n ? PC ? 0 , n ? PH ? 0 ,可得 ? ,则 n ? ( ,0, , 2) 1 1 2 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?

平面 PBE 的一个法向量为 EA ? ?0,0,2? ,…………………10 分 设二面角 H ? PC ? E 的大小为 ? ,

??? ? n ? EA 4 17 则 cos ? ? . ……………………12 分 ??? ? ? 17 n ? EA
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设商店某天销售 A 商品获得的利润为 ? (单位:元) 当需求量为 3 时, Y ? 15 ? 3 ? 5 ? (4 ? 3) ? 40 ,

当需求量为 4 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , 当需求量为 5 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , ………………2 分

? 的分布列为
Y P
40 60 0.7

0.3

……………4 分 则 E (? ) ? 40 ? 0.3 ? 60 ? 0.7 ? 54 (元) 所以商店该天销售 A 商品获得的利润均值为 54 元.……………………………6 分 (Ⅱ)设销售 A 商品获得的利润为 Y, 依题意, 视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件,4 件,5 件. 当购进 A 商品 3 件时,

E (Y ) = [(30 ?15) ? 3] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.4 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.3 ? 45 ,
当购进 A 商品 4 件时,

E (Y ) =
[(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ?1] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4] ?
……………8 分 当购进 A 商品 5 件时,

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 4] ? ? 54 100 100

E (Y )
? [(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ? 2] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4 ? (15 ? 10) ?1] ?
? 63 ? 0.2x ……………10 分 由题意 63 ? 0.2 x ? 54 ,解得 x ? 45 ,又知 x ? 100 ? 30 ? 70 ,
所以 x 的取值范围为 ?45,70? , x ? N .………………12 分
*

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 5] ? 100 100

20. (本小题满分 12 分)

1 1 4 4 ???? ? ? 1 ???? 1 ???? 1 ??? 1 MP 则 MF ? (? x, ), ? (0, y ? ), FM ? ( x, ? ), FP ? ( x, y ? ) ,…………………2 分 2 4 2 4 ???? ???? ??? ???? ? ? 由 MP ? MF ? FP ? FM ,得 y ? x 2 ,动点 P 的轨迹 E 的方程为 y ? x 2 .………………4 分
解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则 M ( x, ? ) ,又 F (0, ) (Ⅱ)将抛物线 E : y ? x 2 代入圆 Q : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? r 2 ( r ? 0 )的方程,消去 x 2 ,整 理得 y 2 ? 7 y ? 16 ? r 2 ? 0 ....... , ......(1) 抛物线 E : y ? x 2 与圆 Q : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? r 2 ( r ? 0 )相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点 的充要条件是:方程(1)有两个不相等的正根 y1、y 2 ,

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 15 ? ∴ ? y1 ? y 2 ? 7 ? 0 解这个方程组得 ? r ? 4 ,………………6 分 2 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 16 ? r ? 0
设四个交点的坐标分别为 A( y1,y1 ) 、 B(? y1,y1 ) 、 C(? y2 ,y2 ) 、 D( y2,y2 ) , 则 S ?| y2 ? y1 | ( y1 ?

y2 ) ,

2 2 2 2 r 所以 S ? [( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ]( y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ) ? (7? 2 16? r )(4 ? 15) ,…………8

分 设 t ? 16 ? r 得 t ? (0, ) 代入上式,则 S ? (7 ? 2t ) (7 ? 2t ) ,并令 f (t ) ? S ,
2
2 2

7 2

2

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2
∴ f `(t ) ? ?24t ? 56t ? 98 ? ?2(2t ? 7)(6t ? 7) ,……………10 分
2

令 f `(t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `(t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `(t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `(t ) ? 0 6 6 6 2
7 527 2 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,此时 r ? , 6 36
527 36 .……………12 分

故当且仅当 t ?

2 2 圆的方程为 x ? ( y ? 4) ?

21. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)定义域为 (??, ?) , f ' ( x) ? e 2 x ? a , ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x ) 在 (??, ?) 上为增函数;………………2 分 ? 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(

ln a ln a ,且当 x ? ( ?? , ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ) 时 f ' ( x) ? 0 , ? 2 ln a ln a , ?) 为增函数.………………4 分 ? 所以 f (x ) 在 x ? ( ?? , ) 为减函数,在 x ? ( 2 2 1 2x 1 2x 2 (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ( x ? m)( e ? x) ? e ? x ? x , 2 4
若 g (x) 在区间 (0, ?) 上为增函数, ? 则 g '( x) ? ( x ? m)(e2 x ?1) ? x ? 1 ? 0 在 (0, ?) 恒成立, ?

x ?1 ? x 在 (0, ?) 恒成立, ? e2 x ? 1 x ?1 ? x , x ? (0, ?) ;………………6 分 令 h( x ) ? 2 x ? e ?1
即m ?

h' ( x) ?

e 2 x (e 2 x ? 2 x ? 3) , x ? (0, ?) ;令 L( x) ? e 2 x ? 2 x ? 3 , ? 2x 2 (e ? 1)

2 可知 L ( ) ? e ? 4 ? 0 , L(1) ? e ? 5 ? 0 ,

1 2

又当 x ? (0, ?) 时 L' ( x) ? 2e ? 所以函数 L( x) ? e 设为 ? ,即 e
2?

2x

? 2 ? 0,

2x

? ? 2x ? 3 在 x ? (0, ?) 只有一个零点,………………8 分

1 1 ) ? 2? ? 3 ,且 ? ? ( , ; 2

由 上 可 知 当 x ? (0,? ) 时 L( x) ? 0 , 即 h' ( x) ? 0 ; 当 x ? (?, ?) 时 L( x) ? 0 , 即 ?

h' ( x ) ? 0 ,
所以 h( x ) ? 把e
2?

x ?1 ? ?1 ? x , x ? (0, ?) ,有最小值 h(? ) ? 2? ? ? ,……………10 分 ? 2x e ?1 e ?1 1 1 3 1 ) ( ? 2? ? 3 代入上式可得 h(? ) ? ? ? ,又因为 ? ? ( , ,所以 h(? ) ? 1, ) , 2 2 2

又 m ? h( x) 恒成立,所以 m ? h(? ) ,又因为 m 为整数, 所以 m ? 1 ,所以整数 m 的最大值为 1.…………………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲
0 解: Ⅰ) ( 连结 BD , 在直角三角形 ABC 中, 易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 , …………

2分 所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以 5分 (Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切.……………6 分 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中 线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB , 所以 ?OBD ? ?ODB , ……………… 8分 所以

BC 2 9 CD BC ? ? .………… ,所以 CD ? BC AC AC 5

?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 900
,所以直线 ED 与圆 O 相切.……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)法一: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ,…………… 2分 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4)……………5 分 法二: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y ? ? x 联立①②解得 ? ①…………2 分



?x ? 0 ?x ? 4 (舍)或 ? ?y ? 0 ? y ? ?4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4)…………5 分 法三:由 ? ? 4 2 cos(? ?

?

) 得圆心 C 极坐标 ( 2 2 ,? ) , 4 4

?

所以射线 OC 的方程为 ? ? ? 代入 ? ? 4 2 cos(? ?

?

?
4

4

,……………2 分

)得? ? 4 2

所以点 A 的极坐标为 ( 4 2 ,?

?
4

)

化为直角坐标得 A(4,-4).…………………5 分 (Ⅱ)法一:圆 C 的直角坐标方程为 ( x ?

2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

直线 l 的方程为 y=2x.

?
所以圆心 C(

2 2 a,? a )到直线 l 的距离为 2 2

2 a ? 2a 2 5

,……………8 分

∴d=2 a 2 ?

10 9a 2 = a. 5 10

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 将?

? x ? 2t 化为标准参数方程 ? y ? 4t

2 ? ? x ? 20 m 10 10 ? 2 代入得 m ? am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, ? 5 4 5 ?y ? m ? 20 ?
∴d= | m1 ? m2 | =

10 a ,…………………8 分 5

,所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 直线 l 的方程为 y=2x. 联立 ?

? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ? y ? 2x
2

得 5x ? 2ax ? 0 解得 x1 ? 0, x 2 ? ?

2 a 5 10 a ,…………………8 分 5

∴d= 2 2 ? 1 | x1 ? x2 | =

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .………………10 分 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?2 时,设函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2)

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 >0,
令 g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2

? ?2 x ? 3 ? 则 g ( x ) ? ?1 ?2 x ? 3 ?
若 g ( x) ? 0, 则 x ? ?

x ? ?2; ? 2 ? x ? ?1; …………………3 分 x ? ?1.
1 5 , x?? . 2 2 或
5 2 1 2

? ? 所以 f ( x ) 定义域为 ( ?? , ) ? ( ? , ?) .…………………5 分
( Ⅱ ) 由 题 意 , | x ? 1 | ? | x ? a |? 2 在

R

上 恒 成 立 , 因 为

| x ? 1| ? | x ? a |?|1 ? a | ,……………8 分
所以 | 1 ? a |? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1.………………10 分


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