高三数学统测试题(含答案)

14-15 学年度第一学期高三数学统测试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、复数

? x ? 1, ? 5、已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? 2, 那么 x 2 ? y 2 的取值范围是(D ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
(A) [1, 4] (B) [1,5] (D) [ ,5]



5 = 2+ i
(B)

( A )

(C) [ , 4]

(A) 2 - i

2 1 + i 5 5

(C) 10 - 5i

(D)

10 5 - i 3 3

4 5

4 5

6、已知 a, b ? R .下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是( A ) (A) a ? b ? 1 (C) | a | ? | b | (B) a ? b ? 1 (D) 2 ? 2
a b

2 、 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 输 出 的 i 值 为 ( A ) (A)5 (C)7 (B)6 (D)8 开始 i=1,s=0 s=s+2 i -1i s≤100 否 输出 i 结束 3、已知圆的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,该圆的方程为( B ) (A) ? ? 2cos ? (C) ? ? ?2cos ? (B) ? ? 2sin ? (D) ? ? ?2sin ? i= i +1 是 (A) f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 (C) f ( x) 是周期函数 (B) f ( x) 在 [- ?, 0] 上恰有一个零点 (D) f ( x) 在 ( ,

7、已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin x ,那么下列命题中假命题 是 ...

( B



? ?? ? 上是增函数 2 ?

a 8、若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2时, f(x1)-f(x2)>0,则实数 a 的取值范围为 A.(0,1)∪(1,3) C.(0,1)∪(1,2 3) 解析 B.(1,3) D.(1,2 3) ( ).

a “对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤ 时,f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数单调 2

4、定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: (1)1*1=1, (2) (n+1)*1=n*1+1,则 n*1 等于 A.n B.n+1 C.n-1 D.n 答案 A 解析 由(n+1)*1=n*1+1, 得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=?=1*1+(n-1). 又∵1*1=1,∴n*1=n.
2

递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于 g(x)=x2-ax+3
( )

a>1, ? ? a 在 x≤2时递减,从而? ?a? g? ?>0. ? ? ?2? 答案 D

由此得 a 的取值范围为(1,2 3).故选 D.

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9、对于函数 f ( x) ? lg x ? 2 ?1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x) 在区间 (?? , 2) 上是减函数,在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ?2 , ? ?? 上是增函数. 其中正确命题的序号是(A) (A)①② (B)①③

a>0 ? ? f(a)>f(-a)?? 1 或 ?log2a>log2a ? a<0 ? ?a<0 ? ?a>0 ? ? 1 ?? 或? ?a>1 ?-1<a ? ? ?log2?-a?>log2?-a? ?a>1 或-1<a<0.] 15、已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b =f( log 1 3 ),c=f(0.2
-0.6

),则 a,b,c 的大小关系是

c < b <a

.

(C)②③

(D)①②③

2

10.已知点 A(?1, ?1) .若曲线 G 上存在两点 B, C ,使 △ ABC 为正三角形,则称 G 为 ? 型 曲线.给定下列三条曲线: ① y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 3) ; ② y ? 其中, ? 型曲线的个数是(C (A) 0 (B) 1 ) (C) 2 (D) 3

16、若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是_ (1,+∞)_______.

x

2 ? x2 (? 2 ? x ? 0) ; ③ y ? ?

1 ( x ? 0) . x

解析

令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,

若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示.

二、填空题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,把答案填在题中横线上.

2-x 11、函数 y= 的定义域是 (0,1)或(1,2] lg x
12、( x + 1) 的展开式中 x 的系数是 字作答) 13、如图, PA 是圆 O 的切线, A 为切点, PBC 是 圆 O 的割线.若
5
2

答案
.

(1,+∞)

17、某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须
排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排法共有________种.

5

. (用数

答案 24 解析 甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在一起,用插空法,不同的排法共有

2A2 A2 2· 3=24(种).

PB PA 3 ? ___1/2___. ? ,则 BC BC 2

18.对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.在 实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[x]就是 x. 这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那 么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=________. 解析
+1

?log 2 x, x ? 0, ? 14、若函数 f(x)= ?log ( ? x), x ? 0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围 1 ? ? 2
a>1 或-1<a<0 . [由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论.

当 1≤n≤2 时, [log3n]=0, 当 3≤n<32 时, [log3n]=1, ?, 当 3k≤n<3k

时,[log3n]=k.
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故 [log31] + [log32] + [log33] + [log34] + ? + [log3243] = 0×2 + 1×(32 - 3) + 2×(33-32)+3×(34-33)+4×(35-34)+5=857. 答案 857

(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看做有放回的抽样),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 20.解 (1)依题意及频率分布直方图知 1×(0.02+0.1+x+0.37+0.39)=1, 解得 x=0.12. ??????????3 分

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19、 (本小题满分 10 分)已知幂函数 f(x)= x
( m2 ? m )?1

(2)由题意知,X~B(3,0.1).
3 因此 P(X=0)=C0 3×0.9 =0.729, 2 P(X=1)=C1 3×0.1×0.9 =0.243, 2 P(X=2)=C2 3×0.1 ×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 3×0.1 =0.001.

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值 范围. 19.解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N+, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. ∴ 函 数 f(x) = x 数. (2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), ∴ 2= 2
( m2 ? m )?1
1

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

( m2 ? m )?1

(m∈N + ) 的 定 义 域 为 [0 , + ∞) , 并 且 在 定 义 域 上 为 增 函 ??????????3 分

??????????11 分 X 的数学期望为 E(X)=3×0.1=0.3. ??????????12 分 21、 (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),

,即 2 2 = 2

( m2 ? m )?1

.

当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? 21 解 由 题 意 得 x = - 3 和 x = 2 是 函 数 f(x) 的 零 点 且 a≠0 , 则

∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2. ??????????5 分 又∵m∈N+,∴m=1.∴f(x)= x . 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ? ?2-a>a-1. 3 3 解得 1≤a< .∴a 的取值范围为[1, ).??????????10 分 2 2 20、 (本小题满分 12 分)如图,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨) 的频率分布直方图.
1 2

?0=a· ?-3?2+?b-8?· ?-3?-a-ab, ? ? 2 ?0=a· 2 +?b-8?· 2-a-ab, ? ? ?a=-3, 解得? ∴f(x)=-3x2-3x+18. ??????????3 分 ? ?b=5,

(1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].??????????5 分 (2)方法一 令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ∵g(x)在[ ,+∞)上单调递减, 6 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,

(1)求直方图中 x 的值;

则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ??????????10 分
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∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 方法二 不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立, 即 c≤3x2-5x 在[1,4]上恒成立. 令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4],且 g(x)在[1,4]上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2. 即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.


3 即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2. ??????????14 分 23、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 23、 (本小题满分 14 分)

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 22.(本小题满分 14 分) 解:设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ??????????2 分
x
-x

所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1.

x(1 ? a ? ax) , x ? (?1, ??) . x ?1 1 依题意,令 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? . 3 1 经检验, a ? 时,符合题意. 3 x (Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x ?1
(Ⅰ)解: f ?( x) ? 故 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

??????2 分 ??????3 分 ??????4 分

1 (1)因为 f(1)>0,所以 a- >0,又 a>0 且 a≠1, a 所以 a>1.
- -

??????5 分

??????????3 分

1 ?1 . a
( x2 , ? ?)

因为 f′(x)=axln a+a xln a=(ax+a x)ln a>0, 所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), 所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, 所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.??????????8 分 3 1 3 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = , 2 a 2 1 即 2a2-3a-2=0,所以 a=2 或 a=- (舍去).??????????9 分 2 所以 g(x)=22x+2
- -2x

x
f ?( x) f ( x)

(?1, x1 )
?


x1
0

( x1 , x2 )

x2
0

?


?


f ( x1 )

f ( x2 )

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) . ?6 分 a a 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调减区间是 (?1,??) . ??????7 分
所以, f ( x ) 的单调增区间是 (0, 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

-4(2x-2 x)=(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2.
- - -

令 t(x)=2x-2 x(x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),

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x
f ?( x) f ( x)

(?1, x2 )
?


x2
0

( x2 , x1 )

x1
0

( x1 , ? ?)

?


?


f ( x2 )

f ( x1 )

所以, f ( x ) 的单调增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . ?8 分 a a
??9 分

③ 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 (0,

1 1 ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) ; a a

当 a ? 1 时, f ( x) 的减区间是 (?1,??) ; 当 a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a
??????10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,由 f (0) ? 0 ,知不合题意. ??????11 分 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 的最大值是 由 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,知不合题意. 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 单调递减, 可得 f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 f (0) ? 0 ,符合题意. 所以, f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 时, a 的取值范围是 [1, ??) . ????14

1 f ( ? 1) a ,
??????12 分

1 a

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