2013届高三数学章末综合测试题

2013 届高三数学章末综合测试题(8)数列
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9=( A.24 C.15 B.27 D.54 )

9?a1+a9? 解析 B 由 a3+a4+a8=9,得 3(a1+4d)=9,即 a5=3.则 S9= =9a5=27. 2 1 2.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为( 3 A.14 C.16 B.15 D.17 )

1 解析 C ∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9- a11=(a8+d) 3 1 2 - (a8+3d)= a8=16. 3 3 3.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示{an}的前 n 项的和, a1=3,a2a4=144, 若 则 S5 的值是( ) 69 A. 2 C.93 B.69 D.189

解析 C 由 a2a4=a2=144 得 a3=12(a3=-12 舍去),又 a1=3,各项均为正数, 3 则 a1?1-q5? 3×?1-32? q=2.所以 S5= = =93. 1-q 1-2 4.在数列 1,2, 7, 10, 13,4,?中,2 19是这个数列的第几项( A.16 C.26 B.24 D.28 )

解析 C 因为 a1=1= 1, 2=2= 4, 3= 7, 4= 10, 5= 13, 6=4= 16, a a a a a ?, 所以 an= 3n-2.令 an= 3n-2=2 19= 76,得 n=26.故选 C. 5. 已知等差数列的前 n 项和为 Sn, S13<0, 12>0, 若 S 则在数列中绝对值最小的项为( A.第 5 项 C.第 7 项 B.第 6 项 D.第 8 项 )

解析 C ∵S13<0,∴a1+a13=2a7<0,又 S12>0,

∴a1+a12=a6+a7>0,∴a6>0,且|a6|>|a7|.故选 C. 6. 1 1 1 1 + + +?+ 的值为( 22-1 32-1 42-1 ?n+1?2-1 n+1 A. 2?n+2? 1 3 1 1 C. - ?n+1+n+2? 4 2? ? ) n+1 3 B. - 4 2?n+2? 3 1 1 D. - + 2 n+1 n+2

1 ? 1 1 1 1 1 解析 C ∵ = = = ? - , ?n+1?2-1 n2+2n n?n+2? 2?n n+2? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn= ?1-3+2-4+3-5+?+n-n+2? 2? ? 1 1 1 1 3 3 1 1 = ?2-n+1-n+2?= - ?n+1+n+2?. 2? ? 4 2? ? 7.正项等比数列{an}中,若 log2(a2a98)=4,则 a40a60 等于( A.-16 C.16 解析 C 由 log2(a2a98)=4,得 a2a98=24=16, 则 a40a60=a2a98=16. 8.设 f(n)=2+24+27+210+?+23n 2 A. (8n-1) 7 2 + C. (8n 3-1) 7
+10

) B.10

D.256

(n∈N),则 f(n)=(

)

2 + B. (8n 1-1) 7 2 + D. (8n 4-1) 7


2[1-?23?n 4] 2 n+4 解析 D ∵数列 1,4,7,10,?,3n+10 共有 n+4 项,∴f(n)= = (8 - 7 1-23 1). 1 9.△ABC 中, A 是以-4 为第三项, 为第七项的等差数列的公差, B 是以 为 tan -1 tan 2 第三项,4 为第六项的等比数列的公比,则该三角形的形状是( A.钝角三角形 C.等腰直角三角形 -1-?-4? 3 解析 B 由题意 知,tan A= = >0. 4 7-3 4 又∵tan3B= =8,∴tan B=2>0, ∴A、B 均为锐角. 1 2 3 +2 4 11 又∵tan(A+B)= =- <0,∴A+B 为钝角,即 C 为锐角, 3 2 1- ×2 4 )

B.锐角三角形 D.以上均错

∴△ABC 为锐角三角形. n m 10. 在等差数列{an}中, n 项和为 Sn= , m 项和 Sm= , 前 前 其中 m≠n, Sm+n 的值( 则 m n A.大于 4 C.小于 4 B.等于 4 D.大于 2 且小于 4 )

解析 A 由题意可设 Sk=ak2+bk(其中 k 为正整数),

?an +bn=m, 则? m ?am +bm= n ,
2

n

2

?a= 1 , ? k2 解得? mn ∴Sk= , mn ?b=0, ?

?m+n?2 4mn ∴Sm+n= > =4. mn mn
11.等差数列{an}的前

n 项和为 Sn(n=1,2,3,?),若当首项 a1 )

和公差 d 变化时,a5+a8+ a11 是一个定值,则下列选项中为定值的是( A.S17 C.S15 B.S18 D.S14

解析 C 由 a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8 是定值,可知 a8 是定值.所以 15?a1+a15? S15= =15a8 是定值. 2 1 9 12.数列{an}的通项公式 an= ,其前 n 项和为 ,则在平面直角坐标系中,直线 10 n?n+1? (n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 C.10 ) B.-9 D.9

1 1 1 1 1 1 1 n 解析 B ∵an= - , ∴Sn=?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?= ? ? ? ? n n+1 ? ? n+1, 由 n 9 = ,得 n=9,∴直线方程为 10x+y+9=0,其在 y 轴上的截距为-9. n+1 10
[

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)

13.设 Sn 是等差 数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=________. 7-1 解析 ∵a1=1,a4=7,∴d= =2. 4-1 5×?5-1? 5×4 ∴S5=5a1+ d=5×1+ ×2=25. 2 2 【答案】 25 14.若数列{an}满足关系 a1=3,an+1=2an+1,则该数列的通项公式为________. 解析 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,

∴an+1=4·n 1,∴an=2n 1-1. 2 【答案】 an=2n 1-1 1 15.(20 11· 北京高考)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1| 2 +|a2|+?+|an|=________. 解析 ∵数列{an}为等比数列, 1 1 1 - - ∴a4= ·3=-4,q=-2;an= · q (-2)n 1, |an|= ·n 1, 2 2 2 2 1 ?1-2n? 2 1 1 1 - 由等比数列前 n 项和公式得|a1|+|a2|+?+|an|= =- + ·n=2n 1- . 2 2 2 2 1-2 1 - 【答案】 -2 2n 1- 2 16. 给定: n=logn+1(n+2)(n∈N*), a 定义使 a1·2· ak 为整数的数 k(k∈N*)叫做数列{an} a ?· 的“ 企盼数”,则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和 M=________. 解析 设 a1·2· ak=log23· 34· logk(k+1)· k+1(k+2)=log2(k+2)为整数 m, a ?· log ?· log 则 k+2=2m, ∴k=2m-2. 又 1≤k≤2 013, ∴1≤2m-2≤2 013, ∴2≤m≤10. ∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为 M=(22-2)+(23-2)+?+(210-2) =(22+23+?+210)-18 = 22×?1-29? -18 1-2






=2 026. 【答案】 2 026 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知等差数列{an}的前三项为 a,4,3a,前 k 项的和 Sk=2 550,求通项公式 an 及 k 的值. 解析 法一:由题意知, a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2 550. ∵数列{an}是等差数列, ∴a+3a=2×4, X k b 1 . c o m
[

∴a1=a=2,公差 d=a2-a1=2,

∴an=2+2(n-1)=2n. k?k-1? 又∵Sk=ka1+ · d, 2 k?k-1? 即 k· 2+ · 2=2 550,整理, 2 得 k2+k-2 550=0, 解得 k1=50, k2=-51(舍去), ∴an=2n,k=50. 法二:由法一,得 a1=a=2,d=2, ∴an=2+2(n-1)=2n,w w w .x k b 1.c o m n?a1+an? n?2+2n? ∴Sn= = =n 2+n. 2 2 又∵Sk=2 550, ∴k2+k=2 550, 即 k2+k-2 550=0, 解得 k=50(k=-51 舍去). ∴an=2n,k=50. 18.(12 分)(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求数列{an}的通项公式;新课标 (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3+2n,求 an. 解析 (1)n=1 时,a1=S1=1.

当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 =3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1) = 6n-5, 因为 a1 也适合上式, 所以通项公式为 an=6n-5. (2)当 n=1 时,a1=S1=3+2=5. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n 1)=2n-2n 1=2n 1. 因为 n=1 时,不符合 an=2n 1, 所以数列{an}的通项公式为
?5, n=1, ? an=? n-1 ? ?2 , n≥2.
- - - -

n - 22. (12 分)设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n 1an= (n∈N*) . 3 (1)求数列{an}的通项;

n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an 解析 1 ∴a1= , 3 a1+3a2+32a3+?+3n 2an-1=


n - (1)∵a1+3a2+32a3+?+3n 1an= ,① 3

n-1 (n≥2),② 3

n n-1 1 - ①-②得 3n 1an= - = (n≥2), 3 3 3 1 化简得 an= n(n≥2). 3 1 1 显然 a1= 也满足上式,故 an= n(n∈N*). 3 3 (2)由①得 bn=n·n. 3 于是 Sn=1· 3+2·2+3·3+?+n·n,③ 3 3 3 3Sn=1·2+2·3+3·4+?+n·n 1,④ 3 3 3 3 ③-④得-2Sn=3+32+33+?+3n-n·n 1, 3 3-3n 1 + 即-2Sn= -n·n 1, 3 1-3 n + 1 + 3 Sn= ·n 1- ·n 1+ . 3 3 2 4 4
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