第2章极限与连续习题课_图文

第二章

“极限与连续”复习
内容提要

一、极限 数列极限与函数极限的定义及其性质; 单侧极限: lim f ( x) 存在 ? f ( x0 ? 0), f ( x0 ? 0) 存在且相等;
x ? x0

无穷小与无穷大,无穷小的比较,高阶、低阶、 同阶、等价的定义;

sin x ~ x , arcsin x ~ x, 重要的等价无穷小:当 x ? 0 时, 1 2 tan x ~ x , arctan x ~ x, 1 ? cos x ~ x ,(1 ? x )? ? 1 ~ ?x , 2 ln(1 ? x ) ~ x, e x ? 1 ~ x , a x ? 1 ~ x ln a .
1

极限的四则运算法则; 极限存在的两个判定准则:单调有界准则和 夹逼准则; 两个重要极限:

1 x sin x lim ? 1 , lim(1 ? ) ? e . x ?0 x ?? x x
二、函数的连续性 函数连续的定义:
形式一 形式二
?x ? 0

lim ?y ? lim ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 )? ? 0
?x ? 0

x ? x0

lim f ( x ) ? f ( x0 )
2

函数间断点的类型: 第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y ? sin 1 x

y 可去型

y 跳跃型

o

x0

x

o

x0

x

o

x0

x 振荡型
3

无穷型

一切初等函数在其定义域内连续. 闭区间上连续函数的性质(有界性定理,最值定理, 介值定理,零点定理).

4

“求极限的方法”小结
1. 连续函数代入法
例1

1 lim sin x sin2 x sin3 x ? . ? 2 x?
4
2 ? x 2 ? 100 x ? 100 ? ? lim lg ? lg? lim 2 2 ? x ?? x ? ? 100x ? 1 ? 100x ? 1 ? ?

例2

1 ? lg ? ?2 . 100
5

2. 变量代换法
例3

1 令x ? 1 / t sin t lim x sin lim ?1. x ?? t ? 0 x t

例4 lim(1 ? x ) tan
x ?1

?x
2

令1 ? x ? t

lim t cot
t ?0

?
2

t

? lim
t ?0

t tan

?
2

?
t

2

?

.
6

3. 根式有理化(共轭因子法 )
例5
x ???

lim ( x ? 1 ? x ) ? lim
2

1 x ?1 ? x
2

x?? ?

?0.

例6

x?? ?

lim (sin x ? 1 ? sin x )

和差化积

x ?1 ? x x ?1 ? x ? lim 2 sin( ) cos( ) x?? ? 2 2 1 x ?1 ? x ? lim 2 sin cos( ) x?? ? 2 2( x ? 1 ? x )

?0.

无穷小

有界
7

4. 无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小
例7

x ?1 ? lim 3 3 ? cos x ? ? 0 . x ?? x ? 1
2

例8

x 2 arctan x ?0. lim x ?? x ?1

3

8

5. 等价无穷小替换法
sin3 x 2 3x2 ? lim 2 ?6. 例9 lim x ? 0 1 ? cos x x ?0 x / 2
共轭因子法 1 ? x sin x ? cos x 例10 lim x ?0 x2 1 ? x sin x ? cos x ? lim 2 x ? 0 x ( 1 ? x sin x ? 拆 cos x ) 项 1 1 ? cos x 1 x sin x 3 ? . ? lim ? lim 2 2 4 2 x ?0 x 2 x ?0 x
9

例11

e ? cos x lim x ?0 x sin x
? lim
x ?0

x2

添加辅助项

e

x2

? 1 ? 1 ? cos x x sin x e x 2 ? 1 ~ x 2

e ?1 1 ? cos x ? lim ? lim x ? 0 x sin x x ? 0 x sin x

x2

1 3 ? 1? ? . 2 2
10

6. 重要极限法
例12

“1 ”
1
2

?

lim(1 ? x 2 )cot
x ?0

x

? lim(1 ? x 2 ) x
x ?0

2 2 ? cot x ? x 2

?e

lim

x2 x

x?0 tan 2

?e.

? 1 ? tan x ? sin 3 x 例13 lim? ? x ?0 1 ? sin x ? ?
tan x ? sin x ? ? ? lim? 1 ? ? x ?0 1 ? sin x ? ?

1

tan x ? sin x lim x ?0 sin3 x 1 ? cos x 1 ? lim 2 ? . x ? 0 x cos x 2
1? sin x tan x ? sin x 1 ? ? 3 tan x ? sin x 1? sin x sin x

?e .

1 2

11

x 例14 求极限 lim cos x . ? x ?0

P102 例64(2)



原式 ? lim (cos x ) ?
x ?0

1 x

1 ? ? cos x ?1 ? lim [ 1 ? ( cos x ? 1 ) ] ? ? x ?0 ? ?

? ? ? ? ?

cos x ?1 x

因为

1 2 ? ( x ) cos x ? 1 1 2 lim ? lim ?? , ? ? x ?0 x ?0 x x 2
? 1 2

所以 原式 ? e

.
12

7. 求和式的极限
? 1 ? 1 1 ? ? ? ?? 例15 lim? ? ? n? ? 1 ? 4 4 ? 7 ( 3 n ? 2 )( 3 n ? 1 ) ? ?
1? 1 1 1 1 1 ? ? lim ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n? ? 3 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 4 4 7
1? 1 ? 1 ? lim ? 1 ? ? ? . n? ? 3 3n ? 1 ? ? 3
? n( n ? 1) n ? ? 1 ? 2 ? ?? n n ? ? ? ? ? ? lim? ? 例16 lim ? ? n ? ? 2( n ? 2 ) n? ? 2 n ? 2 2 ? ? ? ?

n( n ? 1) ? n( n ? 2) ?n 1 ? lim ? lim ? ? . n ? ? 2( n ? 2) n? ? 2( n ? 2) 2
13

例17

1 . 求极限 lim ? n? ? k ?1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k
n

n

2 解 原式 ? ? k ?1 k ( k ? 1)

? 2?
k ?1

n

1 1 ( ? ) k k ?1

1 ? 2(1 ? ), n?1
所以 原式 ? 2 .
14

8. 其它
例18

2 x 2 ? x ? 15 ( x ? 3)( 2 x ? 5) 11 lim 2 ? lim ? . x ? 3 5 x ? 7 x ? 24 x ? 3 ( x ? 3)( 5 x ? 8) 23
n n

( ?2) ? 5 例19 lim n ? ? ( ?2) n ? 1 ? 5 n ? 1 ( ?2 / 5) n ? 1 1 ? . ? lim n n ? ? ( ?2 ) ? ( ?2 / 5 ) ? 5 5
例20

? 2 x ? 3? lim
x ??

? ( 3 x ? 2) 30 2 20 ? 3 30 ? . 50 50 (5 x ? 1) 5
15

20

二、其它例题
x 3 ? ax 2 ? x ? 4 1. 设 lim ? l , 试 求a ? ?, l ? ? x ? ?1 x ?1

解 ? lim ( x ? 1) ? 0,
x ? ?1

? lim ( x 3 ? ax 2 ? x ? 4) ? ? a ? 4 ? 0 ,? a ? 4 .
x ? ?1

x 3 ?4x 2 ? x ? 4 ( x 2 ? 1)( x ? 4) 原式 ? lim ? lim x ? ?1 x ? ?1 x ?1 x ?1
? lim ( x ? 1)( x ? 4) ? 10 .
x ? ?1
16

x2 2. 已知 lim( ? ax ? b) ? 0 , 则 a ? , b? x ?? 1 ? x x2 分析 此题实际上是求曲线 y ? 的渐近线方程 . x ?1 2 x ? ax ? b) 解 lim( x ?? 1 ? x
(1 ? a ) x 2 ? (a ? b) x ? b ? lim ? 0, x ?? 1? x

.

?1 ? a ? 0 ?a ? 1 得到? ,? ? . ?a ? b ? 0 ? b ? ?1

x 即曲线 y ? 的渐近线方程为 y ? x ? 1 . x ?1

2

17

x lim( ? ax ? b) ? 0 x ?? 1 ? x
或解

2

x a ? lim( x) ? 1 . x ?? 1 ? x
x2 b ? lim( ? ax) x ?? 1 ? x

2

x2 ? x2 ? x ? lim ? ?1 . x ?? 1? x
本解法具有一般意义。
18

? sin 2 x ? e 2 ax ? 1 ? , x ? 0 在( ? ?, ? ? ) 3. 若函数 f ( x ) ? ? x ? a , x?0 ? 上连续,求a的值.


sin2 x ? e 2ax ? 1 lim f ( x ) ? lim x ?0 x ?0 x

sin 2 x e 2ax ? 1 ? 2 ? 2a , ? lim ? lim x ?0 x ?0 x x
欲使 f ( x ) 在 ( ??, ? ? ) 上连续 , 只需在 x ? 0 处连续即可 ,

所以

f (0) ? a ? 2 ? 2a ,

? a ? ?2 .

19

? 1 , x?0 ? 1/ x ,则 x ? 0 是 f ( x ) 的 4. 设 f ( x ) ? ? 1 ? e ? x?0 ? 1,
(1)连续点 (2)可去型间断点
(4)第二类间断点 (3)跳跃型间断点



1 解 lim f ( x ) ? lim ? 1 , ? 1 / x ? x ?0 x ?0 1 ? e 1 lim f ( x ) ? lim ? 0 , ? 1 / x ? x ?0 x ?0 1 ? e
故x=0是f(x)的(第一类)跳跃型间断点.
20

1 5 .讨论函数 f ( x ) ? x /( 1? x ) 的间断点及其类型. 1? e
解 间断点为 x ? 1 及 x ? 0 ,
x ?1

lim f ( x ) ? 0 , lim f ( x) ? 1, ? ?
x ?1

所以 x ? 1 为(第一类)跳跃间断点;

lim f ( x ) ? ? ,
x?0

所以 x ? 0 为(第二类)无穷型间断点。
21

? ? ?? 6. 证明: 方程 sin x ? x ? ?1 在 ? ? , ? 内至少有一个实根. ? 2 2?
解 设 f ( x ) ? sin x ? x ? 1 ,

? ? ?? f ( x ) 在 ? ? , ? 连续, ? 2 2?
而 f (?

?
2

)??

?
2

? 0,f ( ) ? 2 ?

?

?
2

2

? 0,

? ? 由介值定理, f ( x ) 在( ? , ) 内至少有一个零点, 2 2
即为原方程的实根。
22

7. 证明方程 x 4 ? 2 x ? 4 ? 0 在( ?2,2) 之间至少有两个实 根.
证 令 f ( x) ? x4 ? 2 x ? 4 ,
显然 f ( x ) 在 [ ? 2,2 ] 连续 .

f ( ? 2 ) ? 16 ? 0 , f ( 0 ) ? ? 4 ? 0 , f ( 2 ) ? 8 ? 0 .

由介值定理可知,

f ( x ) 在 ( ? 2,0 ) 和( 0,2) 内至少各有一个零点,
因此在 ?? 2, 2? 之间至少有两个零点 .

23

练习题
1.求下列极限:

(1) lim (sin x 2 ? 1 ? sin x ) .
1 3 sin x ? x cos x . ( 2) lim x ? 0 ?1 ? cos x ? ln?1 ? x ?
2

x ???

( 3) lim ?
x?0

e

x3

?1

1 ? cos x (1 ? cos x )

.

1 ? tan x ? 1 ? tan x (4) lim . x x ?0 e ?1
?
x (5) lim (cos x ) . ? x ?0
24

x 2 ? ax ? b ? 5 , 求 a, b 的值 . 2. 已知 lim x ?1 1? x

? ln cos x ? , x?0 2 3. 设函数 f ( x ) ? ? x 在 x ? 0 处连续, ? a , x?0 ? 则a= .
1 4. 点 x ? 0 是函数 f ( x ) ? arctan 的( x
(A)连续点 (C)跳跃间断点 (B)可去间断点 (D)无穷间断点
).

25

练习题答案
3 1. (1) 0 ( 2) ( 3)4 (4) 1 (5) e 2 1 2. a ? ?7, b ? 6 3. a ? ? 2
4. (C )
?

? 2

26

1. (1) lim (sin x 2 ? 1 ? sin x ) .
x ???

解: 用和差化积公式
x2 ? 1 ? x 2 sin cos 原式 ? xlim ?? ? 2 x2 ? 1 ? x 2

x2 ? 1 ? x 1 2 sin ? lim 2 sin ?0 因为 xlim 2 ? ?? x ? ?? 2 2( x ? 1 ? x )

x ?1 ? x 而 cos 有界 2
2

(sin x ? 1 ? sin x ) ? 0 所以 xlim ???
2
27

x 2 ? ax ? b ? 5 , 求 a, b 的值 . 2. 已知 lim x ?1 1? x 2

x ? ax ? b ? 5 ,且 lim(1 ? x ) ? 0 . 因为 lim x ?1 x ?1 1? x
( x 2 ? ax ? b ) ? 0 ,从而1 ? a ? b ? 0 . 所以 lim x ?1

b ? ?(1 ? a ) .
x 2 ? ax ? b x 2 ? ax ? (1 ? a ) ? lim 因此 lim x ?1 x ?1 1? x 1? x

( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? lim ? ? ( a ? 2) ? 5 x ?1 1? x

所以 a ? ?7,

从而

b ? 6.
28

? ln cos x ? , x?0 2 3. 设函数 f ( x ) ? ? x 在 x ? 0 处连续, ? x?0 ? a , 则a = .



ln cos x ln(1 ? cos x ? 1) a ? lim ? lim 2 2 x ?0 x ?0 x x
cos x ? 1 1 ? lim ?? . 2 x ?0 x 2

29


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