【三维设计】高中数学 教师用书 第一部分 第2章 2.2.1 第一课时 函数的单调性课件 苏教版必修1_图文

理解教 材新知 第 2 章 2.2 2.2.1 知识点一 知识点二 考点一 把握热 点考向 第 一 课 时 考点二 考点三 应用创 新演练 2.2 函数的简单性质 2.2.1 函数的单调性 考察函数y1=x,y2=-x和y3=x2. 问题1:你能作出它们的图象吗? 提示:图象如下: 问题2:从图象的左边向右边看,图象是什么变化趋势? 提示:图象(1)从左向右看,一直呈上升的趋势; 图象(2)从左向右看,一直呈下降的趋势; 图象(3)从左向右看,呈先下降后一直上升的趋势. 问题3:如果取x1,x2,且x1<x2,那么它们对应函数值的 大小是确定的吗? 提示:对于y1=x和y2=-x来说是确定的;对于y3=x2来 说是不确定的. 问题4:这几个函数图象上升或下降对应的区间分别是什 么? 提示:对y1=x,只有上升对应的区间(-∞,+∞);对于 y2=-x,只有下降对应的区间(-∞,+∞);对于y3=x2,上升 对应的区间是(0,+∞),下降的区间是(-∞,0). 1.单调增函数与单调增区间 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I?A. 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时, 都有 f(x1)<f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函 数,I称为y=f(x)的单调增区间. 2.单调减函数与单调减区间 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为 y=f(x)的单调减区间. 3.单调性 如果函数y=f(x)在区间I上是 单调增函数 或单调减函数 , 那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性. 如图是某市一天24小时内的气温变化图. 问题1:该城市在这一天内气温随时间变化的特点是什 么? 提示:气温从开始到4点下降,4点到14点呈上升,14点 到24点又呈下降趋势. 问题2:这一天中的最高气温和最低气温分别是多少? 提示:最高气温是10 ℃,最低气温为零下2 ℃. 问题3:设f(x0)是x0时刻的温度,则f(x0)的范围是什么? 提示:-2≤f(x0)≤10. 定义 如果存在x0∈A,使得对于 最 任意的x∈A,都有 大 一般地, f(x)≤f(x0) ,那么称f(x0)为y 值 设y=f(x) =f(x)的最大值 的定义域 如果存在x0∈A,使得对于 最 为A 任意的x∈A,都有 小 f(x)≥f(x0) ,那么称f(x )为 0 值 y=f(x)的最小值 记法 ymax=f(x0) ymin=f(x0) 1.函数单调性的理解 (1)函数单调性定义中的x1,x2有三个特征:一是任意 性,即“任意两数x1,x2∈A”,“任意”两个字绝不能去掉; 二是有大小关系,即“x1<x2(或x1>x2)”;三是同属一个单 调区间,三者缺一不可. (2)函数的单调性反映在图象上,若函数y=f(x)在区 间A上是单调增(减)函数,则函数在区间A上的图象从左 向右是上升(下降)的. 2.函数的最值的理解 (1)函数的最值是函数整个定义域上的性质,函数的最 值与函数的值域是不同的,函数的值域是一个集合,函数 的最值属于这个集合,即f(x0)首先是一个函数值,它是值 域的一个元素.函数的最值是具体的一个函数值,对于定 义域内的全部元素,都有f(x)≤(≥)f(x0)成立. (2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小) 值. 第一课时 函数的单调性 4 [例 1] 证明函数 f(x)=x+ 在(2, +∞)上是单调增函数. x [思路点拨] 按照函数是单调增函数的定义证明. [精解详析 ] 任取 x1, x2∈ (2,+∞ ),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)= x1+ - x2- x1 x2 4? x2- x1? = (x1- x2)+ x1 x2 x1x2- 4 = (x1- x2) . x1 x 2 ∵ 2<x1<x2,∴ x1- x2<0, x1x2>4, x1x2- 4>0,∴ f(x1)- f(x2)<0. 即 f(x1)<f(x2). 4 ∴函数 f(x)= x+ 在 (2,+∞ )上是单调增函数. x [一点通] 定义法证明函数的单调性的步骤 第一步:取值.设x1,x2是该区间内的任意两个值, 且x1<x2. 第二步:作差变形.作差f(x1)-f(x2),并通过因式分 解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方 向变形. 第三步:定号.确定差的符号,当符号不确定时,要 进行分类讨论. 第四步:判断.根据定义得出结论,注意下结论时不 要忘记说明区间. 1.证明:函数 f(x)=x2-2x 在区间(1,+∞)内是单调 增函数. 证明:设 x1,x2 是区间(1,+∞)内的任意两个值,且 x1<x2,则 2 2 2 f(x2)-f(x1)=x2 2- 2x2-(x1- 2x1)= x2- x1+ 2(x1- x2)= (x2-x1)(x2+x1-2). ∵x2>x1>1,∴x2-x1>0,x2+x1-2>0, ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1). 故函数 f(x)=x2-2x 在(1,+∞)内是单调增函数. 2.判断例 1 中函数在(0,2)上的单调性. 4 解:函数 f(x)=x+ 在(0,2)上单调递减. x 证明:任取 x1,x2∈(0,2),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 4? x2- x1? = (x1- x2)+ x1x2 x1x2- 4 = (x1- x2) . x1 x2 ∵ 0<x1<x2<2, ∴ x1- x2<0,0<x1x2<4, x1x2- 4<0, ∴ f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 4 ∴函数 f(x)= x+

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